Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая электродинамика. Учебное пособие
.pdf
8.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФРЕНЕЛЯ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ДЛЯ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Перейдём к следующей поставленной нами задаче – определению
напряжённости полей преломлённой и отражённой волн. Используем
введённое понятие плоскости падения, как плоскости, в которой лежат
векторы n0 и k1. В общем случае направление вектора
&
E
падающей
1
волны может быть произвольным, но он всегда может быть разложен
на составляющую, лежащую в плоскости падения, и составляющую,
перпендикулярную ей (или составляющую, лежащую в плоскости S).
Рассмотрим первый случай:
1. Вектор
кально поляризованной). Вектор
&
E
и, значит, параллелен S.
1
Связь будем искать в виде
&
E
лежит в плоскости падения (считаем волну верти-
1
&
H
соответственно перпендикулярен
1
;
EREEТE == ,
1||31||2
mmmm
где R|| и T|| – коэффициенты Френеля для вертикально поляризованной
отражённой и преломлённой волн соответственно. В этом случае век-
торы
пендикулярны ей и параллельны плоскости раздела сред S , причём
&r&r&
,, EEE
лежат в плоскости падения, а векторы
321
r
&
r
&
r
&
0
=== nHnHnH
030201
.
&r&r&
,, HHH
пер-
321
61
Коэффициенты Френеля для вертикально (параллельно) поляри-
r
r&r&r&r
r
r
r
r
зованной волны имеют вид:
cos2
θ
=
T
||
N
NN
cos2
θ
=
T
||
Z
ZZ
2. Во втором случае вектор
11
coscos
12
coscos
coscos
;
=
R
θ+θ
||
2112
;
=
R
θ+θ
||
2211
&
E
лежит в плоскости, перпендику-
1
NN
coscos
NN
coscos
ZZ
coscos
ZZ
θ−θ
2112
. (8.9)
θ+θ
2112
θ−θ
2211
. (8.9а)
θ+θ
2211
лярной плоскости падения. Амплитудную связь будем искать в том же
виде
;
&
EREETE
== ,
1312
mmmm
⊥⊥
где R⊥ и T⊥ – коэффициенты Френеля отражённой и преломлённой
волн соответственно для случая горизонтальной (перпендикулярной)
поляризации вектора Е.
Векторы
&r&r&
,, EEE
лежат в плоскости S, причём
321
r
&
r
== .
&
nEnEnE
030201
r
&
62
Векторы
r
−
=
Френеля в этом случае имеют вид
=
T
=
T
&r&r&
,, HHH
лежат в плоскости падения. Коэффициенты
321
cos2
θ
N
11
;
=
R
coscos
θ+θ
NN
cos2
θ
Z
12
coscos
ZZ
⊥⊥
2211
;
=
R
θ+θ
⊥⊥
2112
coscos
NN
coscos
NN
coscos
ZZ
coscos
ZZ
θ−θ
2211
, (8.10)
θ+θ
2211
θ−θ
2112
. (8.10а)
θ+θ
2112
Иначе коэффициенты Френеля ещё называют коэффициентами
отражения и преломления (прохождения).
Иногда интересуются не амплитудными соотношениями между
отражёнными, преломлёнными и падающими волнами, а энергетическими. Если среднее за период значение мощности падающей волны
обозначим П
ствии с законом сохранения энергии запишем
Пронормируем это выражение:
, отражённой – П
ср1
и преломлённой П
ср3
ППП +=
. (8.11)
ср3ср2ср1
П
П
ср3
2ср
П
П
1ср
. (8.12)
1
=+
ср1
, то в соответ-
ср2
Первый член равенства (8.12) есть коэффициент прохождения T, а
второй – коэффициент отражения R. Они определяются из соотношений через коэффициенты Френеля. В общем случае коэффициенты
Френеля являются комплексными, поэтому запишем коэффициент
отражения через комплексный и комплексно сопряжённый коэффициенты Френеля:
;1
RT
*
&&
,
RRR
=
||
или для перпендикулярной поляризации
Для идеальных диэлектриков
||
*
&&
=
RRR
.
⊥⊥
2
RR
=
,
||
2
=
RR
.
⊥
63
8.3. НОРМАЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
r
r
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
В этом случае
Снеллиуса также равны нулю. Векторы
01=θ
. Углы отражения и преломления из законов
&
&
E
и
H
лежат в плоскости S.
1
1
I
n
0
k
3
k
1
S
II
k
2
Подставляя
TT
==
||
0
=θ=θ=θ
в (8.10), (8.11), получим
321
2
N
+
1
;
NN
21
RR
==−
||
⊥⊥
Учитывая связь между показателями преломления и волновым
сопротивлением сред
TT
=−=
||
// ZZNN =
, можно записать
2112
2
Z
2
;
ZZ
+
12
RR
=−=
||
⊥⊥
При Z2 = Z1 отсутствует отражение, т.е. имеет место так называемый «режим согласования сред».
9. НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
9.1. НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭМВ
НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ ИДЕАЛЬНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Наклонное падение плоской электромагнитной волны на плоскую
границу раздела двух сред определяется углом падения 0 < θ1 < π/2.
Среда, в которой распространяется падающая волна по отношению к
граничащей с ней может быть оптически менее плотной (N
более плотной (N1 > N2). Кроме того, падающая волна может быть поляризована различно.
64
NN
−
21
.
NN
+
21
ZZ
−
12
.
ZZ
+
12
< N2) или
1
Все это определяет особенности отражения и преломления ЭМВ
(
)
при наклонном падении.
Будем полагать, что граничащие среды – идеальные диэлектрики
0,021=γ=γ
, для которых практически всегда можно считать
µ=µ=µ
. Коэффициенты Френеля для вертикально и горизон-
012
aa
тально поляризованных волн имеют вид:
coscos
θ−θ
=
R
||
NN
NN
=
R
NN
NN
2112
;
=
T
coscos
coscos
coscos
||
θ+θ
2112
θ−θ
2211
;
=
T
⊥⊥
θ+θ
2211
Целесообразно рассмотреть два случая:
cos2
θ
N
11
;
coscos
θ+θ
NN
cos2
N
NN
NN <
2112
θ
11
.
coscos
θ+θ
2211
и
21
NN >
.
21
В зависимости от этих соотношений коэффициенты Френеля ведут себя по разному. При этом возникают различные явления, которые
изучим далее.
9.2. ЯВЛЕНИЕ ПОЛНОГО ПРЕЛОМЛЕНИЯ.
1. Наклонное падение:
Так как
ф
УГОЛ БРЮСТЕРА
NN <
.
21
Nv ~
, то фазовые скорости волн в среде будут неоди-
ii
наковы. В результате происходит преломление плоской ЭМВ на границе.
При определённых условиях может наблюдаться явление полного
преломления.
При каких условиях?
В случае полного преломления (т.е. нет отражения)
должны быть равны нулю, или
,0coscos
NN (9.1)
NN (9.2)
=θ−θ
2112
.0coscos
=θ−θ
2211
R и ⊥R
||
Одновременно эти равенства удовлетворяться не могут. Значит,
явление полного преломления может наблюдаться либо при горизонтальной, либо при вертикальной поляризации. Но при условии
NN
<
должно быть
21
sinsin
θ<θ
(из 2-го закона Снеллиуса), поэто-
12
му будет выполняться только первое из двух равенств. Следовательно,
явление полного преломления существует лишь при вертикальной поляризации падающей волны.
65
Угол падения θ1 = θ0 , при котором наблюдается это явление, называется углом Брюстера.
Учитывая равенство (9.1) и закон синусов
sinsin θ=θ NN
2201
получим
N
tg
2
=θ
0
.
N
1
В оптике этот угол называют углом полной поляризации на том
основании, что если на границу раздела падает произвольно поляризованная волна под углом, то отраженная волна будет горизонтально
поляризованной, так как вертикально поляризованная компонента поля падающей волны полностью проходит во вторую среду.
Физическое объяснение представлено на рисунке.
Из выражения (9.1):
cosθ2 = cosθ0N2/N1 = cosθ0tgθ0 = sinθ0.
Согласно формул приведения, это может быть, если
2/20π=θ+θ
.
Тогда из рисунка видно, что
20
α=π=θ+θ 2/
.
Это позволяет дать простое физическое объяснение. Под действием электрического поля преломлённой волны молекулы диэлектрика
2-й среды становятся источником вторичных ЭМВ. Каждая из молекул
представляет собой элементарный электрический диполь (вибратор),
момент которого направлен вдоль k2, а ось вибратора будет направлена
вдоль k3. Однако известно (рассмотрим в теории излучения более подробно), что вдоль своей оси элементарный вибратор (диполь) не излучает.
,
66
При горизонтальной поляризации падающей волны, как видно из
(
)
(9.2), при любом
11221
0 ,coscos
<θ>θθ
RNN
.
⊥
Вообще говоря, при возникновении преломлённой и отражённой
волн последние могут приобретать некоторый фазовый сдвиг относительно падающей ЭМВ. Поэтому в общем виде коэффициенты Френеля носят комплексный характер и имеют вид
&&
ψ−= iaa exp
Параллельно поляризованная волна при переходе через угол Брюстера меняет фазу на π. При этом модуль коэффициента Френеля меняется скачком. Перпендикулярно поляризованная волна во всем диапазоне углов падения фазы не меняет. Модуль коэффициента Френеля
для отражённой волны плавно возрастает. Фаза коэффициента Френеля при этом составляет π.
Графики зависимостей
&
R
и ψ от угла падения
θ
имеют вид:
1
Поэтому волна с горизонтальной поляризацией чаще используется в тех случаях, когда возможны отражения от поверхности в широком диапазоне углов падения.
9.3. ЯВЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВНУТРЕННЕГО ОТРАЖЕНИЯ.
Рассмотрим второй случай, когда
вопроса подойдём несколько иначе, чем в предыдущем случае.
Обратимся ко 2-му закону Снеллиуса:
КРИТИЧЕСКИИ УГОЛ
NN >
21
N
1
sinsin θ=θ
.
2
N
1
2
. К рассмотрению этого
67
π
r
r&r
()(
)
rrr
Вводим
больше, так как
равным
2/
ности раздела. Это явление поверхностного отражения.
Однако при этом 0
При дальнейшем увеличении угла синус угла преломления должен быть больше единицы, т.е. мы переходим в область комплексных
значений коэффициента Френеля. Определим выражения для коэффициентов Френеля:
2
Подставляя это значение в (8.10), (8.11), получим выражение для
коэффициентов Френеля в комплексной форме.
Чтобы выяснить суть происходящего физического явления, рассмотрим поле во второй среде. Преломлённую волну будем характеризовать комплексным волновым вектором
Выясним физический смысл коэффициентов k2′′ и k2′′.
Учитывая (9.3), запишем фазовый множитель преломлённой волны
из которого следует:
θ=θ
, при котором
1кр
NN >
, поэтому при некотором
21
2/2π=θ
. Угол преломления будет
θ=θ
угол станет
кр
1
, т.е. преломлённая волна будет скользить вдоль поверх-
≠T и 0≠⊥T .
||
2
2
2
N
−=θ−=θ 1sinsin1sin1cos
N
2
1
2
′
=
−−ω
= ,
=θ
1
′′
kikk
−
. (9.3)
222
′′
'
ktikkti
−ω
222
eee
i
2
N
N
2
1
2
ig
=−θ
1
.
68
′′
r
r
r
()(
)
rrr
r&r
()(
)
r
r
r
r
r&r
r
rrrrr
r
r
r
r
r
r
−
k
характеризует направление распространения и степень за-
2
тухания в этом направлении преломлённой волны;
′
−
k
– фазовый вектор, характеризует направление и скорость
2
распространения преломлённой волны во второй среде.
Определим эти векторы.
Так как вторая среда – идеальный диэлектрик, то
2
или, раскрывая
&
k
,
2
2
действительные и мнимые части, получим
2
′
−
2
2
2
=
2
′′
2
′′
′
2
−
−
2
2
2
µεω=
kkkk
aa
2
′′′
kkikkk µεω=
22
′′′
0,
=
. (9.3а)
22
1. Векторы k2′ и k2′′ ортогональны. Определим векторы
r
&
Известно, что
Раскроем
k
откуда получаем
&
:
2
0
− nkk
′
02
=
0
=×′′nk
.
012
′′
−×
0
=×−×
nknkink
, (9.4)
010202
.
22
k µεω=
2
; приравнивая
aa
′′′
,
kk
22
aa
.
2. Вектор
среду от граничной поверхности вдоль вектора
пендикулярен ему. Во второй среде при
′′
k
перпендикулярен плоскости и направлен во вторую
2
n
, а вектор
0
θ≥θ
волна распространяет-
кр
1
k
′
пер-
2
ся вдоль границы раздела двух сред. По мере удаления от границы
раздела во вторую среду поле убывает по экспоненциальному закону –
концентрируется у поверхности раздела.
69
Такая волна называется поверхностной.
r
r
rrr
r
′
′
′
′
′
′
(
)
Определим амплитудные значения векторов
Из равенства (9.4) видно, что
′
т.е.
sinθ=′kk
.
112
0
=×−×
nknk
,
0102
′′′
и kk
.
22
Так как волновое число характеризует ещё и скорость распространения поверхностной волны, то определим и её:
ω
=
=
v
2
s
′
Значения k2′′ определим из первого соотношения (9.3а):
=−θ=
kkkk
2
/sin NN≤θ
т.е.
′′
( ) ( )
NN >
21
)(
при
2
2
2
112
ω
=
sinsin θ
θ
kk
2
k
k
121
2
1
2
коэффициент
v
.
1112
N
1
=−θ
k
21
N
2
k
– мнимая величина,
2
2
2
1sin1sinsin
−θ
,
1
в этом случае затухания нет, волна распространяется во второй среде.
При
/sin NN>θ
коэффициент
121
k
действителен и характери-
2
зует затухание во второй среде.
Итак, при
NN >
и
21
/sin NN>θ
во второй среде вдоль грани-
121
цы раздела распространяется ЭМВ, амплитуда которой убывает по
мере удаления от поверхности. Степень убывания амплитуды пропорциональна величине
k
и углу падения
2
θ
.
1
Данное явление применяется в волоконно-оптических кабелях, в
которых распространяется поверхностная волна с отражением от
внешней границы волокна.
9.4. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
НА ПОВЕРХНОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА
В качестве первой среды может рассматриваться любой однородный изотропный высококачественный диэлектрик (радиофарфор, слюда, плавленый кварц, воздух и др.), но удобнее считать таким диэлектриком воздух, так как его параметры
11
0,0000038,1,0006,1
≅γ=µ=ε
близки к параметрам вакуума. Это значительно упрощает анализ рассматриваемого процесса и соответствует реальной картине распространения радиоволн. В качестве второй среды может рассматриваться
любой однородный изотропный проводник с плоской поверхностью.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]