Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Уравнения Максвелла – основа описания любых электромагнитных
=
=
r
r
r
r
r
()(
)
r
полей во всевозможных устройствах, поэтому знание этих уравнений –
фундамент для грамотной эксплуатации радиоэлектронных средств.
4.1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.
ИХ ФИЗИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Рассмотренные нами поля: электростатическое, создаваемое не-
подвижными и неизменными во времени зарядами (
стационарное магнитное постоянного тока (
const
v
0
v
,
), являются част-
0/ =∂ρ∂ t
);
ными случаями электромагнитного поля.
Ясно, что уравнения для электростатического поля
;0rot =E
E ερ= /div
;rot jH
=
и уравнения для стационарного магнитного поля
a
0div =H
должны вытекать из некоторых обобщённых
уравнений, справедливых для электромагнитного поля в целом. Следовательно, необходимо получить систему уравнений, описывающих
электромагнитного поля заряженных частиц, состояние которых характеризуется скоростью их движения v и величиной заряда, являюще-
гося функцией времени, т.е.
tdtdtfv /, ρ=
.
Заметим сразу, что полный вывод уравнений Максвелла мы опус-
каем. Оставим только отправные точки и конечный результат.
Исходя из уравнения непрерывности
r
ρ∂
+tj
диэлектрике помимо тока проводимости
0div =
и учитывая, что, например, в
∂
V
ρ
S
присутствует также ток смещения, можно
получить первое уравнение Максвелла
r
r
E
∂
jH
rot
ε+=
,
a
t
∂
устанавливающее связь между переменным во времени электрическим
полем и возникающим вокруг него магнитным полем.
Физический смысл: магнитное поле возникает не только при
движении зарядов, когда имеет место ток проводимости, но и при наличии изменяющегося во времени электрического поля.
Второе уравнение Максвелла вытекает из закона электромагнитной индукции Фарадея (1831 г.):
dФ
−=ε
,
dt
21
согласно которому, если через поверхность, ограниченную проводя-
r
r
rrr
r
r
щим контуром, проходит меняющийся во времени магнитный поток
Ф, то в контуре возникает ЭДС индукции. Второе уравнение Максвелла имеет вид:
r
E
rot
H
∂
µ−=
.
a
t
∂
Физический смысл: в электромагнитном поле электрическое поле
является вихревым. Причиной электрического поля, помимо электрических зарядов, является изменяющееся во времени магнитное поле.
Итак, полная система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле, включает в себя следующие уравнения:
r
Вспомогательные уравнения:
r
∂
E
ε+=
jH
r
µ−=
E
r
ρ
=
E
ε
r
=
H
;rot
a
∂
t
r
∂
H
;rot
a
∂
t
;div
a
.0div
.; HBED
µ=ε=
aa
Интегральная форма уравнений Максвелла
Интегральным аналогом первого уравнения Максвелла является
так называемый закон полного тока или теорема циркуляции (Циркуляция вектора по замкнутому контуру интегрирования равна полному
току, протекающему через площадь, охваченную контуром интегрирования).
+==
IIIdlH
.
∫
l
смп
Физический смысл: токи смещения наравне с токами проводимости образуют магнитное поле. Закон изменения электрического поля
во времени определяет закон распределения магнитного поля в пространстве.
Интегральным аналогом второго уравнения Максвелла является
закон электромагнитной индукции:
r
∫
l
∂
Ф
−=
dlE
.
∂
t
22
Физический смысл: переменное магнитное поле образует вихревое
r
r
r
r
r
r
электрическое поле. Закон изменения магнитного поля во времени определяет закон распределения электромагнитного поля в пространстве.
Интегрируя 3-е уравнение Максвелла по объёму и применяя формулу Остроградского-Гаусса, получим:
=ρ=
qdVSdD
∫ ∫
S v
.
Это равенство называется теоремой Гаусса: поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется электрическим зарядом q, содержащимся в объёме V, ограниченном поверхностью S.
Подобным образом получим интегральную запись последнего
уравнения Максвелла:
=SSdB 0
∫
,
выражающую непрерывность линий магнитной индукции. Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид:
∫
L
+==
;
IIIldH
п
r
r
ldЕ
∫
L
r
r
∫
S
r
r
SdB
∫
S
см
∂
Ф
−=
;
∂
t
=
;
qSdD
=
.0
Отметим, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме
справедливы лишь тогда, когда параметры среды либо не зависят от
координат, либо являются непрерывными функциями их. Уравнения
Максвелла в интегральной форме применимы во всех случаях, включая и те, когда параметры среды или хотя бы один из них изменяются
скачками.
4.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА, ВОЛНОВЫХ
УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Впервые предположение о том, что электромагнитные возмущения носят волновой характер, было высказано Фарадеем в 1832 г. Теоретическим подтверждением предположения Фарадея о существовании электромагнитных волн послужила система уравнений Максвелла.
23
В настоящее время известно, что если какое-либо явление описы-
(
)
r
r
r
r
r
r
r
вается волновым уравнением Даламбера
r
2
( )
то его решение
( )
2
∂
tr =
−∇
,Ф
2
v
−=
ttr
,Ф1
2
t
∂
rrr
r
ФФ,Ф
21
v
tr
f
, (4.1)
r
++
t
(4.2)
v
представляет собой пару бегущих волн, распространяющихся соответственно вдоль и против
смысл имеет только первое слагаемое, т.е.
с постоянной скоростью v. Физический
rr
r
( )
−=
ttr
Ф,Ф
1
. (4.2а)
v
Это уравнение описывает функцию, изменение которой происходит не моментально, а через время задержки tз = r/v. Эта функция является запаздывающей. Распространение электромагнитного поля происходит не моментально, а с задержкой. Эти положения теории дальнего действия на основе ограничений Зоммерфельда получили название теоремы запаздывающих электродинамических потенциалов.
Рассмотрим первое уравнение Максвелла в дифференциальной
форме. Применив операцию rot к обеим частям этого уравнения, используя формулы векторного анализа и принимая во внимание 2- и 4-е
уравнения Максвелла, получим
r
2
H
Аналогично можно показать, что (из 2-го уравнения Максвелла)
r
2
E
µε−∇
aa
2
H
∂
µε−∇
aa
2
t
∂
2
E
∂
=
grad
2
t
∂
r
j
rot
−=
. (4.3)
j
ρ
ε
∂
µ+
. (4.4)
a
t
∂
a
Для пространства, свободного от зарядов и токов (ρ = 0, j = 0), эти
уравнения преобразуются к виду
r
2
H
2
E
2
∂
H
µε−∇
r
µε−∇
=
aa
∂
∂
aa
∂
;0
2
t
r
2
t
(4.5), (4.6)
E
=
,0
2
т.е. переходят в однородные волновые уравнения.
24
Уравнения (4.3) – (4.6) имеют вид (4.2) и носят волновой характер.
A
r
r
r
r
r
r
r
r
2
Сравнивая (4.3...4.6) с (4.1), можно записать, что
1
2
v
/1
=µε=
aa
1
µε
aa
С этого момента мы имеем право говорить об электромагнитных
волнах, которые распространяются в пространстве со скоростью
v µε= /1
.
aa
Рассмотрим основную задачу электродинамики.
Пусть в некотором объёме задано распределение токов и зарядов.
Необходимо определить электромагнитное поле, создаваемое ими. Для
этого необходимо решить систему уравнений Максвелла относительно
H и E, или, что то же самое, векторные волновые уравнения (4.3, 4.4)
или (4.5, 4.6). Каждое из этих уравнений распадается на систему из трёх
скалярных, поэтому общий объём требуемых рассуждений и выкладок
оказывается довольно громоздким. Более просто определить H и E с
помощью так называемых электродинамических потенциалов φ и
Известно, что для электростатического поля
а для магнитного поля постоянного тока
ϕ−= gradE
, (4.7)
AB
rot=
. (4.8)
.
Очевидно, для электромагнитного поля эти соотношения видоизменяются. Определим их.
Учитывая (4.8), второе уравнение Максвелла можно записать следующим образом
или
r
B
∂
E
−=
t
∂
r
∂
A
+
E
∂
t
A
∂
−=
rotrot
,
t
∂
0rot =
.
Тогда по аналогии с тем, как мы поступили при рассмотрении
свойств электростатического поля, и учитывая, что электростатическое
поле – частный случай электромагнитного поля, можно записать
E
r
∂
A
+ grad
∂
t
ϕ−=
. (4.9)
.
25
Откуда
r
A
r
A
r
r
r
(
)
rrr
аналогично
r
E
r
=
r
1
AH
rot
.
µ
a
grad
A
∂
−ϕ−=
,
t
∂
Из этого равенства следует, что электрическая составляющая
электромагнитного поля одновременно связана со скалярным φ и век-
торным
потенциалами. Зная φ и
, можно определить Е и Н в со-
ответствии с выражениями (4.8) и (4.9).
К дальнейшему упрощению приводит введение потенциала Герца
на основе уравнений связи
r
A
;Гdiv
∂
Г
µε=−=ϕ
.
aa
t
∂
r
Вектор Герца Г также удовлетворяет векторному волновому
уравнению
r
r
2
Г
Если вектор Герца Г найден, то Е и Н определяются из уравнений:
2
∂
Г
µε−∇
=
aa
2
∂
t
E
r
E
r
1
−
−ϕ−=
dtj
∫
ε
a
rr
Гdiv grad
H
∂
∂
rot
ε=
a
t
∂
A
, grad
A
∂
t
r
1
rot
=
µ
a
Г
∂
µε−=
;
aa
2
t
∂
rr
;
Г
Г
∂
µε=
aa
∂
t
r
AH
.
нет;поляисточниковесли ,0
есть.поляисточникиесли ,
r
Гdiv,
−=ϕ
,
Потенциалы φ и А, входящие в решение, удовлетворяют уравнению (4.2а), поэтому называются запаздывающими потенциалами.
Таким образом, можно решить основную задачу электродинамики, зная скалярный и векторный потенциалы и вводя вспомогательный
вектор Герца.
26
4.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
()(
)
rrr
r
()(
)
rrr
r
(
)
r
r
r
r
r&r&r
r&r&r
r&r
r&r
r&r
Будем рассматривать гармонические электромагнитные поля,
создаваемые гармоническими токами и зарядами. В средствах радиосвязи используются узкополосные радиосигналы, модели которых в
радиотехнике принято считать квазигармоническими узкополосными
сигналами. Их записывают в гармонической форме.
cos;cos
mm
cos;cos
mm
ϕ−ω=ϕ−ω= tjjtII
;
ϕ−ω=ϕ−ω= tHHtEE
.
Для анализа таких колебаний удобно воспользоваться символическим методом. Согласно этому методу, гармоническая функция
a = Amcos(ωt – φ), где a – мгновенное значение функций; Am – амплитуда; ω – угловая частота; φ – начальная фаза, может быть заменена
комплексной
где
&
&
A
– комплексная амплитуда.
m
ti
ϕ−ω
m
Запишем мгновенное значение для векторов в комплексной форме:
&
&
m
&
ti
&
Подставим их в уравнения Максвелла:
r
r
&
&
rot
m
&
EijH
ωε+=rot – первое уравнение Максвелла в комплексных
mamm
jH
ti
m
tii
ωω
e
m
m
===
&
ti
&
E
∂
;
ε+=
a
t
∂
ti
ωε+=
ti
ω
&
,
eAeAeAa
m
ti
ωωω
&
.;;
eHHeEEejj
===
&
ma
m
ti
ωωω
.rot
eEiejeH
амплитудах.
Аналогично
&
HiE
ωµ−=rot – второе уравнение Максвелла в комплексных
mam
амплитудах.
Однородные волновые уравнения
где
vk µεω=ω= /
– коэффициент распространения (волновое число).
aa
&
022=+∇
EkE
,
mm
&
022=+∇
HkH
,
mm
27
4.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ
ε
µ
γ
ε
µ
γ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
До сих пор мы вели речь о неограниченной среде. Необходимо
рассмотреть условия и особенности распространения электромагнитных волн на границе сред с различными параметрами.
В каждой из сред справедливы уравнения Максвелла. Однако
скорости распространения электромагнитных волн в различных средах
различны. Это приводит к появлению некоторых особенностей, которые нам следует установить.
На рисунке изображена граница раздела двух сред с различными
электрическими параметрами. Для примера показано разложение вектора напряжённости электрического поля на тангенциальную (касательную к границе раздела) и нормальную (перпендикулярную к границе раздела) составляющие.
I
,
,
a1
a1
1
,
,
a2
a2
2
II
En1
Eτ2
En2
E1
Eτ1
E2
Первая теорема (о тангенциальных составляющих векторов E и D).
На границе раздела двух сред тангенциальные составляющие векторов напряжённости электрического поля непрерывны E
= Eτ2, а тан-
τ1
генциальные составляющие векторов электрической индукции претерпевают скачок, определяемый отношением диэлектрических проницаемостей сред:
ε
1
a
= DD
1 ττ
ε
.
2
2
a
Вторая теорема (о нормальных составляющих векторов E и D).
На границе раздела двух сред нормальные составляющие векторов электрического смещения непрерывны D
= Dn2, а нормальные
n1
составляющие векторов электрического поля претерпевают скачок,
определяемый отношением диэлектрических проницаемостей сред:
ε
2
a
=
1 n
n
ε
1
a
EE
.
2
28
Третья теорема (о тангенциальных составляющих векторов H и B).
На границе раздела двух сред тангенциальные составляющие векторов напряжённости магнитного поля непрерывны H
= Hτ2, а тан-
τ1
генциальные составляющие векторов магнитной индукции претерпевают скачок, определяемый отношением магнитных проницаемостей
сред:
Четвёртая теорема (для нормальных составляющих векторов H и B):
µ
1
a
= BB
1 ττ
µ
=
µ
=
n
1
µ
.
2
2
a
,
nnBB21
a
2
HH
.
n
2
a
1
Пятая теорема (граничные условия для векторов электромагнитного поля при наличии на поверхности свободных зарядов).
Если по поверхности равномерно распределённые заряды с поверхностной плотностью σS, то
DD σ=−
.
snn
21
Наличие поверхностного тока, вызванного свободными зарядами,
величина которого js, вызывает скачок
На поверхности идеального проводника (γ = ∞)
jHH =−
.
s
ττ 21
;0,0≠≠==
HE
τ
n
n
.0,0
HE
τ
Тогда поведение силовых линий у поверхности идеального проводника выглядит так, как показано на рисунке.
У поверхности идеального проводника силовые линии напряжённости электрического поля нормальны поверхности проводника. Силовые линии напряжённости магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника.
Е
= 0
τ
Hn = 0
29
4.5. ТЕОРЕМА УМОВА-ПОЙНТИНГА.
212
rrr
r
r
r
r
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ.
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Пусть задан источник электромагнитного излучения, характеризуемый мощностью P (или сторонней ЭДС Ест). Окружим его поверхностью, ограничивающей объём V. Электромагнитное поле источника,
как и любой другой вид материи, обладает энергией. Определим, на
что она расходуется. С излучением электрического и магнитного полей со временем плотность электрической энергии wэ = 1/2µaE2 и плотность магнитной энергии wм = 1/2µaH2 меняется. Выясним, что происходит с общим запасом энергии электромагнитного поля, сосредоточенным в объёме с течением времени:
=vwdVW
, (4.10)
∫
где W – энергия электромагнитного поля; w – объёмная плотность
энергии электромагнитного поля.
1
22
HEw
µ+ε=
. (4.11)
aa
Для решения поставленной задачи продифференцируем (4.10) повремени:
∂
w
∂
t
∂
Из первого уравнения Максвелла
r
rot
r
jH
−=
.
E
∂
ε
a
t
∂
Из второго уравнения Максвелла
H
∂
µ
a
t
∂
r
E
rot
−=
Тогда
w
∂
t
∂
W
∂
ε=
w
∂
dV
=
∫
t
v
r
E
∂
E
t
∂
;
t
∂
H
∂
H
µ+
aa
rrr
r
−−=
. (4.12)
t
∂
r
r
E
∂
jH
rot
rot
ε+=
следует
a
t
∂
r
E
µ−=
a
H
∂
следует
t
∂
rr
EHjEHE
rotrot
. (4.12а)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]