Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматов. Учебное пособие
.pdf
Таблица переходов (выходов) представляет собой таблицу с двойным входом, строки которой нумерованы входными буквами, а столбцы — состояниями. На пересечении строк и столбцов указывается состояние, в которое переходит автомат (в таблице переходов) или выходной сигнал, выдаваемый им (в таблице выходов).
Описание работы автомата Мили таблицами переходов и выходов
иллюстрируется на примере автомата S
(табл. 4.1 и 4.2).
1
δ : Q × X → Q
q
1
x
q
1
2
x
q
2
3
Таблица 4.1
q
q
2
3
q
q
3
2
q
q
2
1
λ : Q × X → Y
x
1
x
2
Таблица 4.2
q
q
1
y
y
1
y
y
2
q
2
3
y
3
3
y
1
1
На пересечении столбца qm и строки xi в таблице переходов (табл. 4.1)
ставится состояние q
ния q
под действием сигнала xi, а в таблице выходов (табл. 4.2) — соот-
m
ветствующий этому переходу выходной сигнал y
= d(qm, xi), в которое автомат переходит из состоя-
s
= λ(qm, xi).
g
Иногда при задании автоматов Мили используют одну совмещенную таблицу переходов и выходов, в которой на пересечении столбца
q
и строки xi записываются в виде qs/yg следующее состояние и выдава-
m
емый выходной сигнал. Так, для автомата S
имеем следующую совме-
1
щенную таблицу (табл. 4.3).
Таблица 4.3
δ : Q × X → Q λ : Q × X → Y
q
x
q2/y1q3/y3q2/y
1
x
q3/y2q2/y1q1/y
2
q
1
q
2
3
3
1
Так как в автомате Мура выходной сигнал зависит только от состояния, автомат Мура задается одной отмеченной таблицей переходов,
-41-
в которой каждому ее столбцу приписан, кроме состояния qm, еще и
выходной сигнал y
= λ(qm), соответствующий этому состоянию. Пример
g
табличного описания автомата Мура S2 показан в табл. 4.4.
Таблица 4.4
δ : Q × X → Q λ : Q → Y
y
y
y
y
1
1
3
q
q
1
x
q
1
2
x
q
2
4
q
2
3
q
q
5
3
q
q
2
2
y
2
3
q
q
4
5
q
q
3
3
q
q
1
1
Для частичных автоматов, у которых функции d или l определены не для всех пар (q
, xi) ∈ Q × X, на месте неопределенных состояний
m
и неопределенных выходных сигналов ставится прочерк.
Иногда применяется способ задания автомата с помощью матрицы переходов и выходов, которая представляет собой таблицу с двумя
входами. Строки и столбцы таблицы отмечены состояниями. Если существует переход из состояния q
в состояние q
ки q
и столбца qm записывается пара xi/yi.
s
, с выдачей выходного сигнала yi, то на пересечении стро-
s
под действием входного сигнала xi
m
Для автомата Мура используется матрица, столбцы которой отмечены выходными сигналами y
указываются только входные сигналы x
, а на пересечении ее строк и столбцов
i
.
i
Ниже приведены матрицы переходов и выходов для рассмотренных ранее автоматов S1 (табл. 4.5) и S2 (табл. 4.6).
q
1
q
1
q
x1/y1x2/y1x1/y
2
q
x2/y2x1/y
3
-42-
Таблица 4.5
q
q
2
3
x2/y
1
3
3
q1
q2
q3
q1
x2/y1
q2
x1/y1
x2/y1
x1/y3
q3
x2/y2
x1/y3
Таблица 4.6
y1
y1
y3
y2
y3
q1
q2
q3
q4
q5
q1 x2
x2
q2
x1
x2
x2
q3
x1
x1
x1
q4
x2
q5 x1
s
(исходное состояние и состояние перехода) соединяются дугой,
m
к qs, если в автомате имеется переход из qm в qs, т.е. если q
s
i
X. Дуге (qm, qs) графа автомата приписывается
i
и выходной сигнал yg = (qm, xi). При описании автомата Му-
g
записывается внутри вершины qm или ря-
1
и S2, описанных ранее
x
2
y2
y1
x2
x2
y3
y3
y2
x2
x1
x1
x2
x1
x1
x1
q3
q1
q2
q4
q5
q2
y1
x
2
x2
x2
q1
x1
x1
x1
y1
y1
q3
y3
y3
y22
y
y
y
y
1
1
3
q
q
1
q
1
q
x
2
1
q
3
q
x
4
2
q
5
q
2
3
x
x
2
2
x
1
x
1
y
2
q
q
4
x
x
2
x
x
1
3
5
2
1
Часто автомат задают с помощью графа автомата. Этот язык удобен и нагляден. Граф автомата — ориентированный граф, вершины
которого соответствуют состояниям, а дуги — переходам между ними.
Две вершины графа автомата q
перехода) соединяются дугой, направленной от q
имеется переход из q
, qs) графа автомата приписывается входной сигнал xi и выходной
(q
m
сигнал y
сигнал y
= l(qm, xi). При описании автомата Мура в виде графа выходной
g
записывается внутри вершины qm или рядом с ней. На рис. 4.6,
g
в qs, т.е. если qs = d(qm, xi) при некотором xi ∈ X. Дуге
m
а, б приведены графы автоматов S
способом.
и qs (исходное состояние и состояние
m
и S2, описанных ранее табличным
1
к qs, если в автомате
m
Таблица 4.6
Рис. 4.6. Графы автомата для автоматов S1 (а) и S2 (б)
Любой автомат может быть задан с помощью графа, но не всякий
граф в алфавитах Q, X, Y задает автомат. В графе автомата не должно су-
-43-
ществовать двух дуг с одинаковыми входными сигналами, выходящих
из одной и той же вершины (условие однозначности).
Состояние автомата, вершина графа для которого имеет только
исходящие дуги, но не имеет входящих дуг, называется переходящим.
В такое состояние попасть нельзя, из него можно только выйти.
Состояние автомата называется тупиковым, если соответствующая вершина графа не содержит исходящих дуг, но имеет хотя бы одну
входящую дугу.
Изолированным состоянием называется также состояние, которому соответствует вершина графа, не имеющая как входящих, так и исходящих дуг.
Таким образом, с помощью графов абстрактная модель автомата
записывается в виде некоторого пространственного изображения, которое помогает при решении задач анализа или синтеза.
Любое разбиение множества состояний автомата на ряд подмножеств, объединяющих некоторые состояния, приводит к понятию по-
давтомата.
Конечная цель синтеза цифровых автоматов — построение заданного автомата из ограниченной совокупности некоторых элементарных автоматов.
Канонический метод структурного синтеза цифровых автоматов
разработан советским ученым В. М. Глушковым [14]. Данный метод
предполагает сведение задачи синтеза произвольных автоматов к задаче синтеза комбинационных автоматов (автоматов без памяти).
Структурным алфавитом современных цифровых автоматов является двоичный алфавит, т.е. алфавит, содержащий всего два различных
нечисловых символа. Эти символы обозначают самыми разными способами: «включено» и «выключено»; «высокий уровень напряжения»
и «низкий уровень напряжения»; «есть ток» и «нет тока»; «единица»
-44-
и «нуль» и т.п. Данное обстоятельство играло решающую роль для выбора математического аппарата, который бы мог эффективно использоваться для структурного синтеза цифровых автоматов. В качестве
такого аппарата стал широко использоваться начальный раздел математической логики— исчисление высказываний, или алгебра логики.
Логика — наука о законах и формах мышления. Математическая логика занимается изучением возможностей применения формальных
методов для решения логических задач [15]. Иногда алгебру логики называют булевой алгеброй по имени английского математика Джорджа
Буля, который в 1847 г. изложил основы такой алгебры в работе «Математический анализ логики, сопровождаемый наброском исчисления
дедуктивных рассуждений». В 1948 г. (через 100 лет после создания алгебры логики!) американский ученый К. Шеннон и советский ученый
В. И. Шестаков независимо друг от друга показали возможность практического использования алгебры логики для анализа и синтеза релейно-контактных схем, отождествив понятия «истина» и «ложь» в алгебре
логики с понятиями «замкнуто» и «разомкнуто» в релейно-контактных
схемах. В последствии алгебра логики стала широко использоваться для
проектирования цифровых электронных вычислительных машин.
Начальным понятием алгебры логики является понятие высказывания. Под высказыванием понимается любое утверждение, которое
оценивается только с точки зрения его истинности или ложности. Высказывание может быть только либо истинным, либо ложным.
Исчисление высказываний основано на том, что каждое высказывание можно рассматривать как некоторую двоичную переменную,
которая может принимать только одно из двух своих возможных значений. Такие переменные условились называть логическими (булевы-
ми) переменными и приписывать им значение 1 в случае истинности
высказывания и значение 0 в случае ложности высказывания.
Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если его значение истинности не зависит от
значений истинности каких-либо других высказываний. Простое высказывание содержит одну законченную мысль. Сложным называется
высказывание, значение истинности которого зависит от значений
истинности простых высказываний, составляющих сложное высказывание. Следовательно, любое сложное высказывание можно считать
логической (булевой) функцией некоторых двоичных аргументов —
простых высказываний, входящих в состав сложного высказывания.
-45-
Сложные высказывания в свою очередь также могут служить аргументами еще более сложных логических функций, т.е. при построении
логических функций справедлив принцип суперпозиции. Отсюда следует, что можно строить логические функции любой сложности, пользуясь ограниченным числом логических связей (операций) и принципом суперпозиции. При этом ограниченный набор логических связей
(операций), обеспечивающий на основе принципа суперпозиции построение логических функций сколь угодно большой сложности, должен
обладать свойством функциональной полноты.
Математические основы алгебры логики и ее приложения к решению задач синтеза и анализа дискретных автоматов подробно будут
рассмотрены в самостоятельных разделах данного пособия.
Временная диаграмма — это, по сути, упрощенный график изменения во времени токов или напряжений, характеризующих некоторый электрический процесс.
По горизонтали на временной диаграмме располагают, ось времени, а по вертикали — ось напряжений или токов. Время увеличивается
слева направо, то есть из двух событий то, которое отображается правее, является и более поздним. Такое расположение и направление оси
времени традиционное и используется также во всех осциллографах —
приборах, которые чаще всего применяют в инженерной практике при
проектировании, отладке и эксплуатации цифровых автоматов.
Временные диаграммы являются эффективным способом визуализации (зрительного представления) динамики работы дискретных
автоматов, а также международным языком, поясняющим особенности
закона функционирования цифровых автоматов.
Так как современные цифровые автоматы используют двоичный
структурный алфавит, то для физического представления символов такого алфавита используют два существенно различных уровня напря-
жения: один уровень напряжения — для представления логической 1,
а другой — логического 0. Если для представления логической 1 используют более высокий уровень напряжения, то принято говорить, что
такой автомат функционирует в положительной (позитивной) логике.
Если же за логическую 1 принимают более низкий уровень напряжения, то принято говорить, что автомат функционирует в отрицатель-
ной (негативной) логике. При изложении дальнейшего материала счита-
-46-
а
ется, что речь идет об автоматах, функционирующих в положительной
(позитивной) логике.
В природе не существует идеальных дискретных явлений или процессов, поэтому реальный дискретный сигнал есть аналоговый (непрерывный) сигнал специальной формы который и принимается за дискретный сигнал.
Дискретные сигналы выглядят на экране осциллографа примерно
так, как показано на рис. 4.7, а, а идеализированное их представление
соответствует рис. 4.7, б.
а
б
Рис. 4.7. Формы дискретных сигналов:
а — на экране осциллографа; б — условное
графическое изображение (пунктиром показано
изображение идеального дискретного сигнала)
Ранее отмечалось, что дискретные сигналы могут быть «короткими» (как в автомате типа Мили), и «длинными» (как в автомате типа
Мура). В инженерной практике в среде разработчиков цифровой аппаратуры вместо терминов «короткие» и «длинные» сигналы используют
термины «импульс» и «потенциал», соответственно [16].
Под импульсом понимают цифровой сигнал, длительность которого является его характеристикой. Для импульсного сигнала задана
его временная характеристика (длительность), отклонение значения
которой незначительны относительно некоторой заданной величины.
Под потенциалом понимают сигнал, длительность которого не
регламентирована.
Возможны и иные инженерные трактовки импульса и потенциала, например, на основе сопоставления их длительностей относительно
-47-
периода следования сигналов синхронизации, генерируемых самым
высокочастотным генератором цифрового автомата. В этом случае импульсным сигналом считается любой сигнал, длительность которого не
превосходит периода следования тактовых импульсов от самого высокочастотного генератора. Все другие сигналы относят к потенциальным
сигналам.
Иногда под импульсным сигналом понимают любой исполнительный сигнал, то есть тот, воздействие которого непосредственно
приводит к исполнению некоторой процедуры. Под потенциальным
сигналом в этом случае понимают сигнал, подготавливающий или разрешающий/запрещающий некоторое действие.
Приведенные определения импульса и потенциала не совпадают
с общепринятыми определениями в электронике и импульсной технике, но весьма продуктивны в инженерной практике и, в частности, для
чтения временных диаграмм.
И импульс, и потенциал имеют несколько зон, каждая из которых
может быть использована в качестве рабочей зоны, вызывающей переход автомата из одного состояния в другое и/или определяющей момент формирования выходных сигналов автомата. Все рабочие зоны
дискретного сигнала показаны на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Рабочие зоны дискретного сигнала
У двоичного дискретного сигнала выделяют несколько рабочих
зон: зона, в которой сигнал (в данном случае сигнал а) принимает значение U
; зона, в которой сигнал принимает значение U
a min
в которой сигнал переходит с U
реходит с U
a max
на U
. Для каждой зоны вводятся специальные обоз-
a min
a min
на U
; зона, в которой сигнал пе-
a max
a max
; зона,
начения и наименования, которые для сигнала а можно обобщить следующим образом:
-48-
),""назыв ается(...интер в алена
)перепад"ныйотр ицатель"илисигнала"
срез"называется(...интер в алена
)перепад"ныйположитель"илисигнала"
фр онт" называется(...интер валена
)"не"назыв ается(послеидо
32
43
21
41
atta
ttda
ttda
аtta
а
а
41
ttda
21
ttda
43
32
)"не"называется(послеидо
аtta
фр онт" называется(...интервалена
)перепад"ныйположитель"илисигнала"
срез"называется(...интер валена
)перепад"ныйотр ицатель"илисигнала"
),""назыв ается(...интер в алена
atta
При изображении временной диаграммы нулевая отметка на оси
времени, как правило, не наносится, так как большинство дискретных
процессов периодически повторяются. Поэтому достаточно изобразить
на временной диаграмме интервал времени несколько больший, чем
период повторения процесса и оговорить тот момент времени, который для данного процесса может быть принят за начало отсчета.
Излагаемый в дальнейшем материал заимствован из [17] и иллюстрирует ряд соглашений, принятых при изображении временных диаграмм.
Изображение высокого (1), низкого (0) и высокоимпедансного (Z)
уровней напряжений сигнала изображают так, как показано на рис. 4.9.
Рис. 4.9. Изображение уровней напряжений сигнала
На рис. 4.9 показано, что на интервале времени t0…t1 формируется
уровень напряжения, соответствующий логической единице; на интервале времени t
щий высокоимпедансное (z) состояние; на интервале t
ся уровень напряжения, соответствующий логическому нулю.
На рис. 4.10 показано, как изображается переход сигнала с одного
уровня напряжения на другой. Переход от низкого уровня к высокому
формируется уровень напряжения, характеризую-
1…t2
-49-
формирует-
2…t3
Рис. 4.10. Изображение переходов сигналов
с различных уровней напряжений
1…t2
, то такую ситуацию изображают так, как показано на
называется фронтом (рис. 4.10, а), а от высокого к низкому — срезом
(рис. 4.10, б). Употребляют также термины нарастающий и спадающий
фронт; положительный и отрицательный фронт; передний и задний
фронт.
Рис. 4.10. Изображение переходов сигналов
с различных уровней напряжений
Если переход от одного уровня напряжения к другому происходит
не в конкретный момент времени, а может произойти в любой из моментов на некотором интервале t
, то такую ситуацию изображают
1…t2
так, как показано на рис. 4.11.
Рис. 4.11. Изображение неопределенности
Изменение уровня одного сигнала может быть причиной изме-
о моменте перехода сигналов на другой уровень
нения другого сигнала. Это изменение может вызываться фронтом
сигнала, срезом или высоким или низким уровнем. Причину изме-
нения принято отмечать кружком на том фрагменте сигнала, который
вызывает изменение, а фигурной стрелкой показывают на вызываемые изменения (следствие) зависимого сигнала так, как показано на
рис. 4.12.
Иногда изменение нескольких сигналов может быть причиной
изменения одного сигнала. Такая ситуация изображается согласно
рис. 4.13.
-50-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]