Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматов. Учебное пособие
.pdf
3. Свойство самодвойственности: данным свойством обладают те логи-
2121 nn
xxxfxxxf
, т.е. самодвойственной является функция, у которой
),...,,(),...,,(
2121 nn
xxxfxxxf
, т.е. самодвойственной является функция, у которой
nnn
xaxaxaaxxxf ...),...,,(
2211021
, где
1,0ia
.
1,0ia
.
Для определения функционально полных систем логических функций необходимо для них определить наличие следующих пяти свойств:
1.Свойство сохранения нуля: данным свойством обладают те логи-
ческие функции, для которых справедливо соотношение: f(0, 0, …, 0) = 0,
т.е. на нулевом наборе аргументов, логическая функция принимает нулевые значения.
2. Свойство сохранения единицы: данным свойством обладают те ло-
гические функции, для которых справедливо соотношение: f(1, 1, …, 1) = 1,
т.е. на единичном наборе аргументов, логическая функция принимает
единичные значения.
3. Свойство самодвойственности: данным свойством облада-
ют те логические функции, для которых справедливо соотношение:
),...,,(),...,,(
, т.е. самодвойственной является функция,
у которой инвертирование значений всех аргументов приводит к инвертированию значений функции.
4. Свойство монотонности: функция обладает этим свойством,
если для любой последовательности наборов, в каждом из которых аргументы не убывают, значения функции также не убывают, при этом
полагаем, что 0 < 1.
5. Свойство линейности: данным свойством обладают те логичес-
кие функции, которые могут быть представлены в следующем виде:
, где
В табл. 8.1 приведены элементарные логические функции одного и
двух аргументов: таблицы истинности, представление в виде ДНФ или
КНФ, названия наиболее используемых логических функций.
Таблица 8.1
Сводная таблица логических функций двух аргументов
Аргументы
и функции
x
1
x
2
F
0
F
1
Значения
аргументов
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0 Константа 0 F0 = 0 F0 = 0
0 0 0 1
Наименование
функций
Конъюнкция,
логическое
умножение И
-101-
Специальные
Запись функций
обозначения
·, &, И F1 = x1 · x
В ДНФ
или КНФ
2
Окончание табл. 8.1
Аргументы
и функции
F
2
F
3
F
4
F
5
F
6
F
7
F
8
F
9
F
10
F
11
F
12
F
13
F
14
F
15
Значения
аргументов
Наименование
функций
0 0 1 0 Запрет по x
0 0 1 1 Повторитель x
0 1 0 0 Запрет по x
0 1 0 1 Повторитель x
Специальные
2
1
1
2
Запись функций
обозначения
F3 = x
1
F5 = x
2
В ДНФ
или КНФ
F2 = x1 ·
F3 = x
x
F4 =
1
F5 = x
Исключающее
0 1 1 0
ИЛИ; сумма
по модулю два
F6 = x1 ⊕ x
F6 = x
2
1x2
+
Дизъюнкция,
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0 Инверсия x
1 0 1 1
1 1 0 0 Инверсия x
1 1 0 1
логическое
сложение, ИЛИ
Стрелка Пирса,
ИЛИ-НЕ
Эквиваленция,
равнозначность
2
Импликация
от x
к x
2
1
1
Импликация
от x
к x
1
2
F7 = x1 + x
F
= x1 ↓ x
8
↔, ~
x
F10 =
2
F11 = x2 → x
x
F12 =
1
F13 = x1 → x
2
2
1
2
F7 = x1 + x
F8 = x1 + x2 =
F
= x1x2 +
9
F10 =
x
F11 =
2
F12 =
F13 = x2 +
Штрих
1 1 1 0
Шеффера,
И-НЕ
F14 = x1 / x
2
F14 = x1 · x
1 1 1 1 Константа 1 F15 = 1 F15 = 1
1
· x
2
x
+ x
x
x
2
2
x
1x2
2
x
x
·
1
2
x
1x2
2
1
1
x
1
2
Рассмотрим наличие и отсутствие перечисленных выше пяти
свойств у элементарных логических функций из табл. 8.1. Результаты
исследований занесем в табл. 8.2. Если функция обладает исследуемым
свойством, то в соответствующей ячейке поставим «x».
Наличие или отсутствие трех первых свойств можно определить
по формулировке характерных свойств элементарных логических функций, влияющих на формирование функционально полных логических
базисов.
-102-
Таблица 8.2
x
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Св-во сохранения 0 x x x x x x x x
Св-во сохранения 1 x x x x x x x x
Св-во самодвойственности x x x x
Св-во монотонности x x x x x x
Св-во линейности x x x x x x x x
x
2
F0F1F2F3F4F5F6F7F8F9F10F11F12F13F14F
15
Более подробно рассмотрим, как определяется наличие или отсутствие у логических функций четвертого свойства — свойства монотонности.
Из неубывающих значений аргументов логических функций строятся неубывающие наборы, состоящие из значений аргументов. Рассмотрим значения x
не убывает, а аргумент x
, x2 в табл. 8.2. Как видно из таблицы, аргумент x1
1
убывает. Для того чтобы аргумент x2 не убы-
2
вал, необходимо составлять наборы значений аргументов либо из 1, 3, 4
строк, либо из 1, 2, 4 строк табл. 8.2.
Выпишем эти наборы значений:
x1x
2
0 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
x1x
2
В приведенных наборах аргумент x2 не убывает. Для того, чтобы
логическая функция обладала свойством монотонности, необходимо,
чтобы для любой последовательности наборов, в каждом из которых
аргументы функции не убывают, значения функции также не убывали.
Далее рассмотрим, какие значения принимает логическая функция на
сформированных наборах.
Для наглядности рассмотрим значения функции F
x1x2F
5
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1
F5x1x
из табл. 8.2:
5
2
-103-
1
не убывает, а аргумент x
2
2
не убывал, необходимо составлять наборы
x1
x2 x1
x2
0 0
0 0 0 1
1 0 1 1
1
1
2
не убывает. Для того, чтобы логиче-
5
из табл. 8.2:
x1
x2
F5 F5
x1
x2
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1
5
на неубывающих набо-
5
обладает свойством монотонности.
nnn
xaxaxaaxxxf ...),...,,(
2211021
(8.1)
2211021
),( xaxaaxxf
. (8.2)
2211021
),( xaxaaxxf
. (8.2)
a
i
определяются по табл. 8.3.
2211021
),( xaxaaxxf
. (8.2)
2
a
определяются по табл. 8.3.
Как видно из приведенного примера, функция F5 на неубывающих
наборах значений аргументов принимает неубывающие значения функции, следовательно, логическая функция F
обладает свойством моно-
5
тонности.
Далее рассмотрим, как определяется наличие или отсутствие у логических функций пятого свойства — свойства линейности.
Логические функции обладают свойством линейности, если они
могут быть представлены в следующем виде:
где
i
nia
,0,1,0
.
(8.1)
,
Поскольку исследуемые нами логические функции зависят максимум от двух аргументов, то выражение (8.1) примет вид полинома Жегалкина (8.2):
Коэффициенты
а2-коэффи-
циент при x
0 0 0 f(x1, x2) = 0
0 0 1 f(x
0 1 0 f(x
0 1 1
1 0 0 f(x1, x2) = x
1 0 1
1 1 0
1 1 1
а1-коэффи-
циент при x
2
1
2,0,1,0 i
а0-коэффи-
циент
(8.2)
определяются по табл. 8.3.
Таблица 8.3
Виды полинома (2.2),
при соответствующих
значениях коэффициентов
i
, x2) = 1
1
, x2) = x
1
, x2) = 1 ⊕ x1;
f(x
1
f(x
, x2) =
x
1
, x2) = 1 ⊕ x2;
f(x
1
f(x
, x2) =
x
1
, x2) = x1 ⊕ x2;
f(x
1
f(x
, x2) = x
1
, x2) = 1 ⊕ x1 ⊕ x2;
f(x
1
f(x
, x2) =
1
f(x
, x2) = x2 ⊕ x
1
x
1x2
1x2
+ x
+ x2x1;
,0,1,0 i
1
2
2
1
2x1
2
-104-
Следовательно, если логическую функцию двух аргументов можно
представить в одном из видов, представленном в 4-м столбце табл. 8.3,
то она обладает свойством линейности.
По рассмотренным нами пяти свойствам можно определить полноту системы некоторой совокупности логических функций. Для того
чтобы система элементарных логических функций была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала логические
функции, в совокупности не обладающие рассмотренными свойствами,
то есть чтобы система функций не содержала в себе этих пять свойств
(например, логическая функция F
, реализующая операцию И-НЕ, не
14
обладает всеми пятью свойствами и, следовательно, является базисом).
Теорема Поста: Для того чтобы множество N двоичных функций
было базисом необходимо и достаточно, чтобы:
1) N содержало бы по крайней мере одну функцию, не сохраняю-
щую ноль;
2) N содержало бы по крайней мере одну функцию, не сохраняю-
щую единицу;
3) N содержало бы по крайней мере одну функцию, немонотонную;
4) N содержало бы по крайней мере одну функцию, несамодвойс-
твенную;
5) N содержало бы по крайней мере одну нелинейную функцию.
-105-
Усложнение цифровых электронных устройств приводит к резкому росту числа корпусов интегральных схем малой и средней степени
интеграции. В результате увеличиваются потребляемая мощность и габаритные размеры устройства, снижаются быстродействие и надежность, усложняется монтаж устройства. В то же время даже небольшая
модификация устройства требует значительных усилий от разработчика, поскольку зачастую приходится разрабатывать практически новые
устройства [26].
Построение цифровых электронных устройств на специализиро-
ванных больших и сверхбольших интегральных схемах (БИС и СБИС) позволяет не только улучшить технические характеристики устройств, но
и расширить их функциональные возможности. Однако это экономически целесообразно лишь при больших объемах выпускаемых устройств, поскольку разработка и изготовление заказных специализированных БИС и СБИС — это длительный и дорогостоящий процесс.
Устранить возникшие противоречия удалось созданием универсальных логических устройств большой степени интеграции, алгоритмы работы которых задаются разработчиком. Такие устройства получили название программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).
Программируя ПЛИС, получают требуемые изменения структуры, что
и обеспечивает реализацию необходимых функций. Очевидно, что
универсальность, присущая ПЛИС, достигается избыточностью их аппаратной части, что, конечно, сказывается на быстродействии, которое ниже, чем при использовании специализированных БИС и СБИС,
но значительно выше, чем при применении интегральных схем малой
и средней степени интеграции.
-106-
4. СБИС — сверхбольшие интегральные схемы (до 10 000 логических
5. УБИС — ультрабольшие интегральные схемы (до 100 000 логических
Для понимания принципа, положенного в основу ПЛИС, рассмотрим, в
121121121
xxxxxxxxxxxxF
nnnnnnm
(9.1)
4. СБИС — сверхбольшие интегральные схемы (до 10 000 логических
элементов).
5. УБИС — ультрабольшие интегральные схемы (до 100 000 логических
элементов).
Для понимания принципа, положенного в основу ПЛИС, рассмотрим, в
какой структуре можно реализовать систему логических уравнений, заданных в
совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) (9.1).
..........
;.........
121121121
1211211211
xxxxxxxxxxxxF
xxxxxxxxxxxxF
nnnnnnm
nnnnnn
(9.1)
Число конъюнкций (произведений) в каждой функции не может превы-
шать 2
n
(n — число аргументов функции).
Очевидно, чтобы реализовать такую систему логических функций, необ-
ходимо два блока, в одном из которых осуществляется формирование конъ-
юнкций (произведений входных переменных), а в другом — их логическое
сложение (т.е. дизъюнкция). Следовательно, укрупненная структура простей-
шей ПЛИС выглядит следующим образом (рис. 9.1).
Однако преимущества ПЛИС и прежде всего многофункциональ-
ность способствуют их широкому распространению.
Сложность цифровых интегральных микросхем принято оценивать количеством логических элементов, размещенных на одном кристалле. С этой точки зрения цифровые интегральные микросхемы подразделяются на следующие типы:
1. МИС — малые интегральные схемы (до 10 логических элементов).
2. СИС — средние интегральные схемы (до 100 логических элементов).
3. БИС — большие интегральные схемы (до 1000 логических эле-
ментов).
4. СБИС — сверхбольшие интегральные схемы (до 10000 логичес-
ких элементов).
5. УБИС — ультрабольшие интегральные схемы (до 100 000 логи-
ческих элементов).
Для понимания принципа, положенного в основу ПЛИС, рассмотрим, в какой структуре можно реализовать систему логических уравнений, заданных в совершенной дизъюнктивной нормальной форме
(СДНФ) (9.1).
nnnnnn
Число конъюнкций (произведений) в каждой функции не может
превышать 2
n
(n — число аргументов функции).
Очевидно, чтобы реализовать такую систему логических функций,
необходимо два блока, в одном из которых осуществляется формирование конъюнкций (произведений входных переменных), а в другом — их
логическое сложение (т.е. дизъюнкция). Следовательно, укрупненная
структура простейшей ПЛИС выглядит следующим образом (рис. 9.1).
Входные (Вх) и выходные (Вых) буферные каскады осуществляют необходимые (иногда довольно сложные) преобразования входных
и выходных сигналов. Например, формируют прямые и инверсные
Рис. 9.1. Структура ПЛИС
-107-
;.........
1211211211
(9.1)
..........
xxxxxxxxxxxxF
входные сигналы, формируют сигналы необходимой мощности, обеспечивают необходимую нагрузочную способность выходов и т.п. Входные переменные (прямые и инверсные) поступают на матрицу И и на ее
выходах формируются необходимые произведения этих переменных,
которые затем складываются в матрице ИЛИ, обеспечивая реализацию
требуемых логических функций.
Одним из классов программируемых логических интегральных
схем являются программируемые логические матрицы (ПЛМ).
Программируемые логические матрицы
Создание двухуровневых программируемых пользователем логических матриц (ППЛМ) было ответом производителей цифровых интегральных микросхем на сложившуюся в конце 60-х гг. прошлого века
парадоксальную ситуацию: разновидностей логических микросхем
требовалось все больше и больше, а объемы производства каждой разновидности постоянно снижались. В такой ситуации был найден, возможно, единственно правильный выход, который заключался в разработке и массовом выпуске достаточно универсальных интегральных
микросхем, которые могли использоваться и в единичных экземплярах, но миллионами индивидуальных пользователей. Именно таким
образом обеспечивался компромисс между большими затратами на
организацию массового производства некоторого типа интегральных
микросхем и быструю окупаемость этих затрат.
Такими интегральными микросхемами и стали так называемые
ныне двухуровневые программируемые пользователем логические
матрицы. Эти интегральные микросхемы позволяют (при наличии
у пользователя специальных программаторов) оперативно реализовывать достаточно сложные многовыходные логические преобразователи
(ЛП), закон функционирования которых изначально представляется
в естественной для человека форме. Строгое математическое выражение этой естественной формы в научно-технической литературе принято называть совершенной дизъюнктивной нормальной формой
(СДНФ) или ее минимизированным эквивалентом — дизъюнктивной
нормальной формой (ДНФ). Универсализм двухуровневых ППЛМ
обеспечивается введением на этапе их серийного производства значительной структурной избыточности как электронных элементов ППЛМ,
так и электрических связей между этими элементами. При этом в архитектуру ППЛМ вводятся дополнительные электронные узлы, обес-
-108-
печивающие по командам извне разрушение в определенных местах
ненужных электрических связей между избыточными элементами, образующими собственно ППЛМ. Схема электрическая функциональная
незапрограммированной ППЛМ показана на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Схема электрическая функциональная
незапрограммированной ППЛМ
(без дополнительных электронных узлов)
Как видно из рис. 9.2, ППЛМ состоит из блока инверторов (DD1…
) входных логических переменных (X1…XS) и двух матриц. Матрица
DD
S
И реализует на шинах Z
бором прямых и инверсных значений логических переменных X
элементарные конъюнкции с любым на-
1…ZQ
1…XS
а матрица ИЛИ реализует элементарные дизъюнкции с элементарными
конъюнкциями, сформированными на шинах Z
ций дизъюнкции формируется на выходных шинах Y
. Результат опера-
1…ZQ
. Матрицы И
1…Yt
и ИЛИ представляют собой систему ортогональных проводников, в узлах пересечения которых располагаются полупроводниковые элементы,
реализующие с резисторами нагрузки операции И и ИЛИ. Операцию И
реализуют при помощи диодов, а операцию ИЛИ — при помощи триодов.
-109-
,
Рис. 9.4. Подключение триодов
в узлах матрицы ИЛИ
1…Yt
, формируемых
s
(9.2)
Рис. 9.3. Подключение диодов
в узлах матрицы И
Рис. 9.4. Подключение триодов
в узлах матрицы ИЛИ
1…Yt
, формируемых
),(
11
X
ji
X
ji
s
iqj
Y
r
(9.2)
1
— операция логического сложения (дизъюнкции); — опера-
— опера-
Электрическое подключение диодов и триодов к соответствующим ортогональным проводникам осуществляется через специальные
перемычки P
), некоторые из которых при программировании ППЛМ
i(Pj
удаляются (пережигаются) в соответствующих узлах. На рис. 9.3 показано подключение диодов в узлах матрицы И, а на рис. 9.4 — подключение
триодов в узлах матрицы ИЛИ.
Рис. 9.3. Подключение диодов
в узлах матрицы И
Логические уравнения для выходных сигналов Y1…Yt, формируемых
незапрограммированными ППЛМ, имеют один и тот же вид в СДНФ:
t,
где r =
— операция логического сложения (дизъюнкции);
;
операция логического умножения (конъюнкции).
В [26] рассмотрен пример, как с учетом рис. 9.3, 9.4, можно определить, какие логические функции F
ющей показанные на рис. 9.5 соединения.
Только при наличии и на входе х
го уровня (соответствующих логической единице), на выходе первого
столбца Р
шению к выходу первого столбца реализуется функция И, т.е. Р
Для второго столбца высокое напряжение на выходе (логическая 1)
, имеется сигнал высокого уровня. Таким образом, по отно-
1
будет лишь тогда, когда высокий уровень напряжения будет на шинах
x
x
·
· x3, то есть P2 =
1
2
Y
r
x
x
·
· x3. Аналогично получим P3 = x1 ·
1
2
Рис. 9.4. Подключение триодов
в узлах матрицы ИЛИ
X
11
iqj
1, F2
),(
X
(9.2)
ji
ji
будут реализованы на ПЛМ, име-
и на входе х2 сигналов высоко-
1
x
3
-110-
= x1 · x2.
1
, P4 =
x
· x3.
2
—
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]