Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматов. Учебное пособие
.pdf
и алфавит состояний, а также функции переходов и выходов. Среди
множества состояний может быть выделено начальное состояние автомата a
, в котором автомат находится в момент t = 0.
1
Один из способов классификации абстрактных автоматов состоит
в рассмотрении мощностей множеств A, Z, W и общих свойств функций
переходов δ и выходов λ, которые также называют характеристичес-
кими [1], [2], [13].
Автомат инициальный — автомат, для которого задано a
ное состояние) и который всегда начинает функционировать с этого состояния.
Автомат не инициальный — автомат, для которого в качестве начального состояния может быть взято любое из допустимых его состояний A = {a
, … am … aF}.
1
Автомат конечный — автомат, у которого одновременно конечны
множества входного, выходного алфавитов и алфавита состояний, т.е.
|Z| < ∞, |A| < ∞ и |W| < ∞.
Автомат бесконечный — автомат, у которого бесконечны хотя бы
одно из множеств входного, выходного алфавитов или алфавита состояний, т.е. |Z| = ∞, или |A| = ∞, или |W| = ∞.
Автомат без памяти (комбинационный автомат) — автомат, у которого множество состояний состоит из одного элемента, т.е. |A| = 1. Для
такого автомата характерно то, что функция переходов вырождается
(отсутствует), а функция выходов однозначно определяет выходной
символ как некоторую функцию от входного символа, т.е. W = λ(Z).
Автомат без входов (автономный автомат) — автомат, у которого множество входных символов состоит из одного элемента |Z| = 1,
т.е. автомат не имеет входов или, что то же самое, состояние его входа
(входной символ) имеет неизменное значение, и функционирование
автомата не зависит от входных символов. В этом смысле говорят, что
автономный автомат является автоматом без входов. Для таких автоматов характерно то, что следующее состояние автомата и его выходной символ однозначно определяется только состоянием автомата
в данный момент времени.
(началь-
1
-21-
Автомат без выхода (распознаватель) — автомат, у которого множество выходных символов состоит из одного символа. Поведение автомата без выхода можно охарактеризовать тем, как последовательность
входных символов перерабатывается в последовательность внутренних состояний автомата. Иногда поведение автомата без выхода рассматривают как поведение устройства, воспринимающего вопросы
и дающего на них ответы «да» или «нет».
Детерминированный автомат — автомат, для которого функции
переходов и выходов являются всюду определенными (однозначными)
функциями.
Недетерминированный автомат — автомат, для которого допускаются многозначные функции переходов и выходов, т.е. при данных
входном символе и внутреннем состоянии автомат может переходить
в несколько различных состояний.
Вероятностный автомат — автомат, в котором функции переходов и выходов являются случайными функциями. Они задаются матрицей переходных и выходных вероятностей, в соответствии с которой
при входном символе будет выбираться выходной символ и следующее
состояние автомата.
Нечеткие автоматы — автоматы, для которых функции переходов и выходов заменяют нечеткими отношениями. Нечеткие автоматы
являются математическими моделями некоторых распознающих устройств и используются в задачах распознавания образов.
Все существующие математические модели автоматов можно разделить на общие и специализированные модели, что отражает многообразие разновидностей автоматов.
К общим моделям относят модели Мили и Мура, названные по
имени впервые исследовавших эти модели американских ученых
G. H. Mialy и E. F. Moore, а также модель С-автомата, которая является
совмещением моделей Мили и Мура. Из специализированных моделей,
получившей распространение в автоматике и вычислительной технике,
наиболее известна и широко используется модель микропрограммного
автомата, как композиция управляющего автомата и операционного
автомата.
-22-
),(),(()(
))(),(()1(
)tztatw
tztata
(2.2)
),(),(()(
))(),(()1(
)tztatw
tztata
(2.2)
Закон функционирования автомата типа Мили математически задается следующей системой уравнений (2.2):
(2.2)
где a(t) — внутреннее состояние автомата в момент времени t (настоящий момент времени); z(t) — входной сигнал в момент времени t;
w(t) — выходной сигнал в момент времени t; a(t + 1) — внутреннее состояние автомата в момент времени (t + 1) (в следующий момент времени); δ — функция переходов; λ — функция выходов.
Первое уравнение в (2.2) отражает тот факт, что переход автомата
в следующее состояние a(t + 1) осуществляется только с приходом вход-
ного сигнала (входного символа) z(t) в момент времени t. При этом то
конкретное состояние, в которое перейдет автомат в момент времени
(t + 1), определяется парой (a
), т.е. состоянием автомата a(t) и вход-
m, zf
ным сигналом (символом) z(t) в момент времени t.
Второе уравнение в (2.2) отражает закономерность формирования выходного сигнала (символа) автоматом типа Мили. Из уравнения
видно, что выходной сигнал формируется автоматом в тот же момент
времени t, в который действует входной сигнал z(t) и только до тех пор,
пока автомат не перейдет в новое состояние a(t + 1). Конкретное значение выходного сигнала (символа) однозначно определяется парой
(a
, zf), т.е. состоянием автомата a(t) и входным сигналом (символом)
m
z(t) в момент времени t. Если автомат Мили перейдет в неиспользуемое
состояние a(t + 1), на котором функция переходов не определена, или
в устойчивое состояние, из которого невозможен выход под действием такого же входного сигнала, как и действующего в момент времени t, то и с математической, и с технической точек зрения модель Мили
корректна.
Возможна также ситуация, при которой автомат под воздействием входного сигнала z(t) должен перейти в некоторое состояние a(t + 1),
из которого под воздействием такого же сигнала возможен переход
в другое состояние автомата. В этом случае промежуточное состояние
автомата будет неустойчивым (автомат его «проскочит»), если длительность входного сигнала будет превышать время переходного процесса
в автомате (т.е. время перехода автомата из одного состояния в дру-
-23-
))(),(()1(
tztata
),(),(()(
))(),(()1(
)tztatw
tztata
(2.2)
)),(()(
))(),(()1(
tatw
tztata
(2.3)
гое). Из данных рассуждений следует, что математическая и техническая корректность модели Мили обеспечивается только в том случае,
если допустить, что длительность входного сигнала столь мала, что
не превосходит времени переходных процессов в автомате. Но тогда,
как следует из второго уравнения (2.2), длительность выходного сигнала будет не больше длительности входного сигнала и, следовательно, выходной сигнал в автомате Мили будет таким же «коротким», как
и входной сигнал.
Характерной особенностью автомата типа Мили является также
и то, что он «не помнит» предшествующей последовательности своих
состояний и «не знает» своих последующих действий, отдаленных более чем на один такт автоматного времени. Данная особенность характерна и для большинства разновидностей дискретных автоматов, в том
числе и для автоматов типа Мура, С-автоматов и микропрограммных
автоматов.
Закон функционирования автомата типа Мура математически задается следующей системой уравнений (2.3):
(2.3)
где a(t) — внутреннее состояние автомата в момент времени t (настоящий момент времени); z(t) — входной сигнал в момент времени t;
w(t) — выходной сигнал в момент времени t; a(t + 1) — внутреннее состояние автомата в момент времени (t + 1) (в следующий момент времени); δ — функция переходов; λ — функция выходов.
Первое уравнение в (2.3) отражает тот факт, что переход автомата
в следующее состояние a(t + 1) осуществляется только с приходом вход-
ного сигнала (входного символа) z(t) в момент времени t. При этом то
конкретное состояние, в которое перейдет автомат в момент времени
(t + 1), определяется парой (a
, zf), т.е. состоянием автомата a(t) и вход-
m
ным сигналом (символом) z(t) в момент времени t. Функция переходов в автомате типа Мура имеет такой же вид, как и для автомата типа
Мили со всеми рассмотренными ранее особенностями математической
и технической корректности модели.
-24-
Второе уравнение в (2.2) отражает закономерность формирования выходного сигнала (символа) автоматом типа Мура. Из уравнения
видно, что выходной сигнал определяется только состоянием автомата
в момент времени t и в явном виде не зависит от входного сигнала z(t).
Соответствующий состоянию a(t) выходной сигнал в автомате Мура
формируется на всем протяжении времени, пока автомат находится
в состоянии a(t). В связи с данной особенностью автомата типа Мура
говорят, что данный тип автомата формирует «длинные» выходные
сигналы, которые однозначно определяются тем состоянием автомата,
в котором он находится в данный момент времени.
Несмотря на то, что состояние выхода автомата Мура не зависит явно от состояния входа, его можно рассматривать как частный
случай автоматов Мили. Действительно, так как для автоматов Мура
справедливо
a(t) = δ(a(t – 1), z(t – 1)), (2.4)
то справедливо и следующее соотношение:
w(t) = λ(a(t)) = g(a(t – 1), z(t – 1)). (2.5)
Соотношение (2.5) показывает, что в автомате Мура выходной
сигнал реально зависит от входного сигнала, но только действовавшего в предыдущий момент времени. Различие между автоматами Мура
и Мили состоит в том, что в автоматах Мили выходной сигнал возникает одновременно с вызывающим его входным сигналом, а в автоматах
Мура — с опозданием (задержкой) на один такт автоматного времени.
Поэтому автоматы Мура можно рассматривать как автоматы Мили,
имея в виду, что последовательность состояний выхода автомата Мили
опережает на один такт последовательность состояний выхода автомата Мура.
В теории автоматов доказано [11], что между автоматами Мили
и Мура существует взаимооднозначное соответствие: любой автомат
Мили может быть преобразован в эквивалентный ему автомат Мура
и наоборот.
При переходе от автомата Мура к автомату Мили число состояний
автомата не меняется, тогда как при обратном переходе число состояний в автомате Мура, как правило, возрастает. Таким образом, эквивалентные между собой автоматы могут иметь различное число состоя-
-25-
2
Q на U;
X = {x1, …, xm}
U = {u1, …, uf}
Y = {y1, …, yg}
Q
q
q
ний, в связи с чем, в теории автоматов возникает задача нахождения
минимального (с наименьшим числом состояний) автомата в классе
эквивалентных между собой автоматов.
Существование для любого абстрактного автомата эквивалентного
ему абстрактного автомата с минимальным числом внутренних состояний впервые было доказано Муром.
Модель совмещенного автомата представляет собой комбинацию
моделей Мили и Мура. Совмещенный автомат позволяет одновременно формировать выходные сигналы как «короткие», так и «длинные».
Абстрактный С-автомат — математическая модель дискретного
устройства, для которого заданы следующие параметры:
Q = {q
, …, qn} — множество состояний;
1
X = {x
, …, xm} — входной алфавит;
1
Y = {y
, …, yg} — выходной алфавит типа 1;
1
U = {u
, …, uf} — выходной алфавит типа 2;
1
d: Q × X → Q — функция переходов, реализующая отображение
D
⊆Q× X в Q;
d
l
: Q × X → Y — функция выходов, реализующая отображение
1
D
⊆Q× X на Y;
l1
l
: Q → U —функция выходов, реализующая отображение Dl2 ⊆ Q
2
на U;
q
∈ Q — начальное состояние автомата.
0
ним входом, на который поступают сигналы из входного алфавита X,
и двумя выходами, на которых появляются сигналы из выходных алфавитов Y и U (рис. 2.2).
Абстрактный С-автомат можно представить в виде устройства с од-
= {
, …,
}
1
n
Рис. 2.2. Модель совмещенного автомата
с одним входом и двумя выходами (С-автомат)
-26-
2
Q на U;
1
и 2, каждая из которых харак-
λ ( ( ), ( ))
qt qt
(2.6)
U = {u1, …, uf}
Y = {y1, …, yg}
Q = {q1, …, qn}
ai
и zpj, которые управляют
j
им вырабатывается одно из двух возможных
pj
. Поэтому все входы
1
, …, rk и внутренние p1, …,
, …, zpm можно назвать внутренними выходами, а za1, …, zak —
ОФБ
ЛФБ
r
1
r
k
Zp1
p
p
Отличие С-автомата от моделей Мили и Мура состоит в том, что он
одновременно реализует две функции выходов l
и l2, каждая из кото-
1
рых характерна для этих моделей в отдельности. Этот автомат можно
описать следующей системой уравнений:
( + 1) = δ( ( ))
yt qt xt
( ) =
ut qt
1
( ) = λ ( ( )).
2
(2.6)
Выходной сигнал u = l
находится в состоянии q
. Выходной сигнал y = l1(qs, xn) выдается во вре-
s
мя действия входного сигнала x
нии q
. От С-автомата легко перейти к автоматам Мили или Мура (с уче-
s
) формируется все время, пока автомат
2(qs
при нахождении автомата в состоя-
n
том возможных сдвигов во времени на один такт), так же как возможна
трансформация автомата Мили в автомат Мура, и наоборот.
Принцип функционирования микропрограммного автомата (МПавтомат) удобно рассматривать во взаимодействии с управляемыми им
функциональными блоками (ФБ) [5]. При этом среди ФБ целесообразно выделить два типа блоков: операторные (ОФБ) и логические (ЛФБ).
МА-автомат вырабатывает последовательность выходных сигналов
(воздействий) z
и zpj, которые управляют работой ОФБ и ЛФБ.
ai
Zp1
Zpm
МП
1
m
Za1
Zak
Zpm
ОФБ
ЛФБ
1
k
1
m
Рис. 2.3. Структурное представление
микропрограммного автомата
-27-
ai
и zpj, которые управляют
j
им вырабатывается одно из двух возможных
pj
. Поэтому все входы
1
, …, rk и внутренние p1, …,
a1
, …, zak —
n
} множество внутренних состояний МП-
(2.7)
МП
ОФБ
1
ОФБ
k
ЛФБ
1
ЛФБ
m
Za1
Zak
Zp1
Zpm
(2.8)
При воздействии на ЛФБj им вырабатывается одно из двух возможных значений проверяемого параметра pj, которое поступает на вход
микропрограммного автомата. Следовательно, на вход pj воздействие
может поступить лишь в том случае, если имеется воздействие на выходе z
. Поэтому все входы МП-автомата разделяют на две группы: вне-
pj
шние r
внутренними выходами, а z
входы МП-автомата от его внутренних выходных воздействий является
одной из основных особенностей МП-автомата. Второй особенностью
является то, что при неизменном состоянии внешнего входа автомат
, …, rk и внутренние p1, …, pm. Выходы zp1, …, zpm можно назвать
1
Наличие зависимости поступления воздействий на внутренние
, …, zak — внешними.
a1
вырабатывает последовательность сигналов на основных выходах.
Примем, что Q = {q
, …, qn} множество внутренних состояний МП-
1
автомата. Тогда его закон функционирования можно задать одним из
следующих способов:
a
p
1
2
))( ),( ),(( = 1) + (
tptrtqtq
))( ),( ),(( = )(
tptrtqtz
(2.7)
))( ),( ),(( = )(
tptrtqtz
или
a
p
tqtz
1
)).(( = )(
tqtz
2
))( ),( ),((( = 1) + (
tptrtqtq
))(( = )(
(2.8)
Соотношение (2.7) задает МП — автомат, который соответствует
модели Мили, а соотношение (2.8) — соответствует моделиМура.
-28-
Первый уровень структурной детализации автоматов может быть
получен на основе рассмотренной формальной классификации разновидностей автоматов и их математических моделей.
В структурной теории автомат представляется в виде совокупности некоторых элементарных автоматов, соединенных определенным
образом.
Структурная модель первого уровня автомата Мили с учетом (2.2)
может быть представлена в виде совокупности комбинационных автоматов (КА
образом (рис. 3.1).
бинационный автомат КА
один такт автоматного времени внутреннего состояния автомата.
Память состоит из элементарных элементов памяти с числом внутренних состояний не менее двух. Физическая реализация элементов
памяти может быть различной, но они должны обеспечивать запоминание (фиксацию) воздействия, которое было на их входе в предыдущем автоматном такте. В частном случае в качестве элементов памяти
могут применяться элементы задержки, которые формируют с запаздыванием на своем выходе воздействия, поданные на их вход в предшествующем такте автоматного времени. Использовать элементы за-
и КА2) и автомата с памятью (кратко, памяти) следующим
1
Комбинационный автомат КА
совместно с памятью — функцию переходов.
2
реализует функцию выходов, а ком-
1
Задачей автомата с памятью (памяти) является запоминание на
-29-
1
и
z(t)
w(
а(t)
а(t + 1)
КА1
КА2
память
1
и
а(t + 1)
а(t)
держки не всегда удобно или возможно. Поэтому были разработаны
более сложные (по сравнению с элементами задержки) элементарные
автоматы с двумя устойчивыми состояниями, которые получили название триггеры.
t)
λ(a(t), z(t))
δ(a(t), z(t))
Рис. 3.1. Структурная модель первого уровня
автомата типа Мили
КА1
z(t)
Рис. 3.2. Структурная модель первого уровня
автомата типа Мура
λ(a(t))
КА2
δ(a(t), z(t))
память
w(t)
-30-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]