1.6. Расчет плоских ферм (дополнительный к основной программе раздел)

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из прямых стержней, закрепленных по концам шарнирно.

Из этого определения следует, что стержни в ферме могут быть только сжаты или растянуты и на изгиб не работают. Шарнирные скрепления стержней в ферме называются узлами.

При расчете ферм предполагают, что

1)все внешние силы приложены в узлах фермы;

2)весом стержней можно пренебречь;

3)трение в шарнирах отсутствует.

Обычно используется правило: при графическом изображении усилий в стержнях соответствующие стрелки всегда направлены от узла. Если в расчете получилось положительное значение усилия в стержне, то этот стержень растянут, иначе сжат.

Последовательность расчета ферм

1. Рисуется схема фермы, на которой показываются все внешние силы (в том числе неизвестные реакции связей – в виде сил, направленных, например, вдоль осей координат; иногда направления этих реакций определяются сразу) и усилия в стержнях с соблюдением сформулированного выше правила.

2. Проверяется условие геометрической жесткости и статической определенности фермы, связывающее число стержней m и число узлов n:

m= 2n −3.

3.Определяются реакции связей, при этом ферма считается абсолютно жесткой.

4.Определяются усилия в стержнях фермы по одному из приведенных далее способов.

Способ вырезания узлов

Этот способ состоит в том, что последовательно «вырезают» узлы фермы и прикладывают к ним заданные силы, реакции связей и усилия в стержнях. Составляют два уравнения равновесия для каждого узла (суммируя все силы в проекциях на оси системы координат). При определении последовательности вырезания узлов нужно соблюдать правило: число неизвестных сил (обычно это усилия в стержнях) не должно превышать двух. Обычно для такого узла пишутся условия его равновесия – равенства нулю суммы проекций сил на оси системы координат.

Пример 1.20

В мостовой ферме, схема которой показана на рисунке, в узлах C и D приложена одинаковая вертикальная нагрузка по 100 Н. Наклонные стержни

29

составляют угол 45̊с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1– 6 от данной нагрузки.

Решение

Находим реакции опор. В данном примере из соображений симметрии сразу ясно, что эти реакции одинаковы и направлены вверх, поскольку горизонтальные нагрузки отсутствуют. Эти реакции уравновешивают внешние нагрузки и равны соответственно

RA = RF =100H.

В узле А сходятся стержни 1, 2 и к нему же приложена сила реакции RA. Поскольку неизвестных величин только две – это усилия S1 и S2 в стержнях 1 и 2 – можно начинать расчет с этого стержня. С учетом того, что усилия в стержнях направлены от узла А, проектируем все величины на ось х (горизонтальную) и ось у– вертикальную. Получим два уравнения:

S2 + S1 cos45 = 0,

RA + S1 cos45 = 0.

Из этой системы двух уравнений определяются две неизвестных величины:

S1 = −141Н, S2 =100Н.

Теперь можно рассматривать равновесие узла В – в нем сходятся три стержня – 1, 2, 3, но в одном из них, в стержне 1,усилие S 1 уже определено. Поэтому можно составить тоже два уравнения (опять имея в виду, что направления всех усилий – от узла В):

S4 + S3 cos45 − S1 cos45 = 0, −S1 sin 45 − S3 sin 45 = 0.

Отсюда определяются еще два усилия:

S3 =141Н, S4 = −200Н.

30

Теперь можно рассматривать равновесие узла С. В нем сходятся четыре стержня – 2, 3, 5, 6 – и приложена внешняя нагрузка, но в двух стержнях усилия уже определены. Поэтому из двух уравнений равновесия узла С

S6 + S5 cos45 − S3 cos45 − S2 = 0,

S5 sin 45 + S3 sin 45 −100 = 0.

Определяются еще два усилия

S5 = 0, S6 = 200Н.

Нет смысла считать усилия в остальных узлах фермы – они определяются из соображений симметрии.

Вообще при проведении расчетов рекомендуется сразу составить таблицу, куда по мере определения усилий следует заносить их значения. Такая таблица в этом примере имеет вид:

По знакам усилий сразу можно определить, какой из стержней сжат, какой растянут. Пятый стержень фермы не напряжен, т.е. в нем усилия отсутствуют. Но это вовсе не значит, что он не играет никакой роли. Если посмотреть на таблицу, то стержень 4 – и симметричный ему – сжаты, при малейшем отклонении узла Е от его положения такая система придет в движение – ферма «сложится». Поэтому такого рода стержни (№ 5 и симметричный ему), несмотря на нулевые напряжения в них, играют очень важную роль.

Качественно можно проверить, насколько верно наше решение, из следующих соображений. Представим, что вместо фермы нагружена балка такого же сечения, как контур фермы. Тогда она должна прогибаться вниз под действием приложенных сил, но это значит, что нижние горизонтальные слои балки должны удлиниться, и в них возникают растягивающие (положительные) усилия. Соответственно при укорочении верхних слоев балки в них должны появиться сжимающие (отрицательные) усилия. В нашем случае в стержне 4 эти усилия отрицательны, в стержнях 2 и 6 – положительны.

Метод сечений

Этот метод используется, когда по некоторым соображениям нам нужны усилия не во всех стержнях, а в каких -либо конкретных. Суть метода заключается в том, что проводится сечение через те стержни, усилия в которых нам нужно определить. Одна часть фермы после этого отбрасывается, а действие ее на оставшуюся часть фермы заменяется усилиями в стержнях, попавших в сечение. По сравнению с методом

31

вырезания узлов объем расчетов может быть существенно сокращен – там мы по сути метода проходим последовательно по всем узлам, чтобы найти усилия в стержнях, и это иногда требует много «лишней» работы.

Рассмотрим пример использования такого метода.

Пример 1.21

На ферму, изображенную на схеме, действуют нагрузки Р1 = 20 kH, Р2 = 10 kH, Р3 = 30 kH, причем сама ферма закреплена в узлах – нижнем и в узле А. Найти усилия в стержнях, обозначенных на схеме как 8, 9 и 10. AB = BC = CD = CE = a.

Решение

В соответствии с методом проводим линию сечения – она показана на схеме волнистой линией. Отбрасываем левую часть фермы, а равновесие оставшейся правой части обеспечим за счет введения усилий S8, S9 и S10, причем направляем их, как и ранее, от узлов оставшейся части фермы.

Для определения усилия S8 рассмотрим условие равновесия моментов относительно точки В – через нее проходят стержни 9 и 10, поэтому в уравнение моментов усилия в этих стержнях не войдут. Учтем, что плечо усилия S8 относительно точки В равно

h = a cos BAE = a AC / AE = a 2 / 5.

Тогда уравнение имеет вид

S8 h − P2 a − P1 2a = 0.

Откуда

S8 112kH.

32