Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статика. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Силы системы можно переносить вдоль линии действия
Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится,
если ее перенести в другую точку тела по линии действия
Теорема о переносе силы вдоль линии действия
Силу, действующую на абсолютно твердое тело,
можно перенести параллельно самой себе в другую
точку этого тела, добавив при этом пару сил, момент
Теорема о параллельном переносе силы
Для равновесия твердого тела под действием трех сил
необходимо, чтобы линии действия этих сил пересекались
Теорема о трех силах
или параллельно своей линии действия, но с особыми условиями:
которой равен моменту переносимой силы относи-
тельно новой точки приложения.
Далее идут теоремы, лежащие в основе составления
уравнений равновесия:
в одной точке
21
Момент равнодействующей силы относительно некото-
ющих сил относительно той же точки
Теорема о моменте равнодействующей
Произвольную плоскую систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к одному центру (A), получив
при этом одну силу, равную главному вектору системы сил
и приложенную в этом центре, и одну пару сил, момент
тельно того же центра.
Теорема о приведении плоской системы сил
(Теорема Вариньона)
рой точки равен алгебраической сумме моментов составля-
к одному центру (Теорема Пуансо)
которой равен главному моменту системы сил относи-
Опираясь на теорему Пуансо, главный вектор и главный момент:
в состоянии равновесия системы сил равны нулю.
4. Равновесие материальной точки и твердого тела.
Решение задач статики.
Система сил, приложенная к телу, находящемуся в равновесии, может содержать известные силы (обычно это активные силы, нагрузка) и неизвестные (обычно это реакции связей), которые необходимо определить. Для их определения составляются уравнения статики, или уравнения равновесия.
22
В математике, число уравнений системы должно соответствовать количеству неизвестных.
Число неизвестных реакций в Статике равно числу
наложенных необходимых и достаточных ограничений
(связей), препятствующих перемещению тела при любой
нагрузке. Количество таких возможных, независимых друг от
друга перемещений (или координат, определяющих положение тела), называют числом степеней свободы тела. На плоскости, у материальной точки, это число равно двум, а у твердого тела – трем. Но на конструкцию или механизм, по разным
причинам, может быть наложено больше связей.
Если неизвестные реакции связей можно определить
только из уравнений равновесия (уравнений статики), то такая
система сил называется статически определимой. Реакции в
статически неопределимых системах определяют методами
дисциплины «сопротивление материалов».
Так, для того, чтобы система сходящихся сил была статически определимой, неизвестных реакций должно быть не
более двух.
Примеры уравновешенных систем сходящихся сил:
Рис. 4.1
23
В качестве примера стержневой конструкции изобра-
1
3
жена ферма, каждый узел которой – отдельная задача равновесия системы сходящихся сил (усилий в стержнях). Определение усилий начинают с узлов, где сходится два стержня.
Например, с узла 1 или 3.
Рис. 4.2
Шарнирные узлы, грузы на рис. 4.1 и 4.2 рассматриваются как материальные точки или тела, имеющие кинематические свойства такой точки.
Возможное движение точки - поступательное. Чтобы
ограничить его, на плоскости, описываемой координатами x и
y, накладывается две связи по направлениям этих координатных осей (рис. 4.3. а). При рассмотрении равновесия материальной точки (на плоскости), под действием системы сходящихся сил, составляется два уравнения – суммы проекций всех
сил на оси координат.
Вспомним II закон Ньютона: для тела, находящегося в
равновесии, при отсутствии ускорения, суммарное воздействие приложенных к нему сил будет равно нулю:
При рассмотрении равновесия материальной точки (на
плоскости) под действием системы сходящихся сил составляется два уравнения – суммы проекций всех сил на оси координат. (Момент системы уравновешенной системы сходящихся
24
сил будет равен нулю исходя из теоремы Вариньона, а не из
α
A
В
A
α
A
а)
б)
Момент равнодействующей силы для системы схо-
Теорема Вариньона для системы сходящихся сил
условий равновесия).
дящихся сил относительно любой выбранной точки
равен сумме моментов всех составляющих сил отно-
сительно той же точки
В отличие от точки, твердое тело (например, балка) может ещё совершить поворот вокруг закрепленной двумя связями точки А (два стержня можно заменить шарнирно-неподвижной опорой), рис. 4.3. (б)).
Рис. 4.3
На балку необходимо наложить еще одну связь. Например, в точке В установить шарнирно-подвижную опору, и все
возможные перемещения этого тела будут ограничены – оно
будет находиться в равновесии.
Рис. 4.4
25
Итак, в «плоской» задаче статики для достижения рав-
y
α
A В a
b
x
новесия необходимо и достаточно наложить на твердое тело
три связи, которые впоследствии заменяются на три реакции.
Задача будет содержать три неизвестных параметра, для определения которых потребуется система, состоящая уже из трех
уравнений.
Покажем эти неизвестные на так называемой расчет-
ной схеме. Расчетная схема – основа для математической за-
писи условий равновесия. Опоры, связи заменяются на реакции, распределенная нагрузка (при ее наличии) – на сосредоточенную (равнодействующую) силу. Указываются размеры
конструкции, точки приложения сил, углы, под которыми они
приложены, и другие параметры. К расчетной схеме обязательно «привязывается» система координат X и Y:
Рис. 4.5
Составим систему из трех уравнений: сумма проекций всех
сил на оси координат
и уравнение суммы моментов пар сил и моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости (уравнение момен-
тов). Например, для точки А:
26
Полученная система решается алгебраическими методами относительно неизвестных XA, YA и YB.
Важно:
1) Равенство нулю сумм проекций сил (
) указывает на то, что тело не перемещается по
направлениям координатных осей. Равенство нулю
суммы моментов пар сил и моментов всех сил относи-
тельно какой-либо точки плоскости показывает, что
тело не может вращаться, находится в состоянии покоя
(то есть в равновесии).
2) Если тело находится в равновесии, сумма моментов
действующих на него сил (и пар сил) будет равна нулю
относительно любой точки плоскости (даже не принад-
лежащей телу).
3) Точку, относительно которой составляется уравнение
моментов, можно считать центром, вокруг которого си-
стема сил и пар сил, приложенных к телу, пытаются это
тело повернуть. Но при равновесии суммарное их воз-
действие будет равно нулю.
4) При составлении уравнения моментов необходимо
знать свойства момента силы относительно точки и
свойства момента пары сил. Это поможет составить
наиболее эффективные для данной задачи уравнения
равновесия. Так, взяв в качестве моментной точки
точку А (рис. 4.5), мы исключаем из уравнения момен-
тов неизвестные реакции XA и YA (их линии действия
проходят через моментную точку – и, следовательно,
плечо равно нулю). Такой приём позволяет без решения
алгебраической системы уравнений определить реак-
цию YB. Рассуждаем далее: уравнение
проекций сил на ось y) содержит сразу две неизвестных
реакции и решается только подстановкой найденной из
другого уравнения одной из реакций. Правильней было
27
и
(сумма
бы вместо этого уравнения составить уравнение момен-
тов относительно точки В. Она лежит на пересечении
линий действия XA и YВ; следовательно, реакцию YA
также можно определить без решения системы методом
подстановки.
Неверное определение одной из вертикальных реакций
автоматически приводит к неправильному определе-
нию другой вертикальной реакции – при условии ис-
пользования уравнения
дет выявлено проверкой.
5) Проведенный анализ уравнений системы показывает:
нет необходимости составлять систему уравнений рав-
новесия в порядке: два уравнения – суммы проекций, и
третье – уравнение моментов.
Хотя получаем систему алгебраических уравнений, эти
уравнения могут быть составлены таким образом, что
их как систему решать не потребуется. То есть, необхо-
димо стремиться к тому, чтобы при составлении урав-
нений каждое из них было бы независимым от других
уравнений. Тогда составленное и выбранное одно из
уравнений системы непременно приводит к определе-
нию ранее неизвестной реакции. И это положение рас-
пространяется на всю систему уравнений.
Для двух- (и более) опорных конструкций в системе мо-
жет быть только одно уравнение – сумма проекций сил
на какую-либо ось, плюс два уравнения моментов. Ка-
кие уравнения равновесия будут наиболее удобны и це-
лесообразны, решается при анализе конкретной расчет-
ной схемы.
6) Система решена, реакции определены – полученные ре-
зультаты требуется проверить. Уравнение для проверки
результатов расчета, по возможности, должно содер-
жать все три найденные реакции связей. Это еще раз
, что впоследствии бу-
28
указывает на необходимость знать правила выбора мо-
ментной точки.
Итак, решение задачи о равновесии твердого тела под
действием произвольной плоской системы сил состоит из следующих этапов:
а. Расчетная схема
б. Система уравнений равновесия
в. Решение системы, определение реакций связей
г. Проверка
Рассмотрим каждый этап подробно на примерах решения конкретных задач. Задачи статики разнообразны, так как
предметом расчета является множество различных тел и конструкций, на которые накладываются различные типы связей.
29
→ ПРИМЕРЫ
Р, кН
G, кН
М, кНм
q, кН/м
l, м
α, град
10
15 6 - 1 30
y
x
α
α
Балка на двух опорах
Пример 1: шарнирно-неподвижная опора и шарнирноподвижная под углом к горизонтальной оси.
Определить реакции связей заданной плоской конструкции. Исходные данные к схеме приведены в таблице
Рис. 4.6
а. Составление расчетной схемы:
оси координат – ось x рационально направить вдоль
балки
освобождаем от связей: шарнирно-неподвижную и
шарнирно-подвижную опоры (связи) заменяем реакциями связей XA, YA и RB
вектор G имеет вертикальное направление и может
представлять собой вес балки; если оси ориентированы вдоль
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]