Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные методы исследования операций и математические модели. Курс лекций
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»
Е. В. Гайлит
Специальные методы исследования операций
и математические модели
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2018
УДК 519.8(075.8)
ББК 22.18я73
Г14
Р е ц е н з е н т ы:
кандидат экономических наук, доцент кафедры физики
Санкт-Петербургского государственного университета промышленных
технологий и дизайна
Д. К. Иванов;
социальный педагог ФГКОУ Санкт-Петербургского кадетского корпуса
Следственного комитета Российской Федерации
В. А. Корчуганов
Гайлит, Е. В.
ISBN 978-5-7937-1493-8
Курс лекций включает: введение в предмет (основные понятия и
подходы исследования операций); элементы нелинейного и выпуклого
программирования; теорию линейного программирования и ее интерпретации, связанные с приложениями в экономике; задачи календарного
планирования с помощью сетевых моделей.
Теоретические результаты обоснованы доказательствами (как правило) или ссылками на источники, содержащие соответствующие доказательства. Приведены экономические интерпретации используемых математических понятий и утверждений.
Пособие предназначено для студентов вузов, обучающих по экономико-математическим, экономическим и управленческим специальностям. Также оно может представлять интерес для специалистов, чья профессиональная деятельность связана с решением задач наилучшего выбора в условиях ограниченности ресурсов.
УДК 519.8(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-7937-1493-8 © ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2018
© Гайлит Е. В., 2018
2
Оглавление
Обозначения и сокращения ........................................................................................ 5
1. Введение ................................................................................................................... 8
1.1. Основные понятия ............................................................................................ 8
1.2. Этапы экономико-математического моделирования .................................... 9
1.3. Задача выбора решения .................................................................................. 10
Дополнительная литература к разделу 1 ............................................................. 13
2. Задача нелинейного программирования ............................................................. 13
2.1. Основные понятия .......................................................................................... 13
2.2. Достаточные условия разрешимости задачи ............................................... 15
2.3. Необходимые условия первого порядка ....................................................... 16
2.3.1. Предварительные сведения: выпуклые множества ............................. 16
2.3.2. Принцип Лагранжа .................................................................................. 18
2.3.3. Теорема Каруша–Джона ......................................................................... 20
2.3.4. Учет прямых ограничений ..................................................................... 21
2.3.5. Регулярные решения, условия Куна-Таккера………………………...23
2.4. Метод множителей Лагранжа ........................................................................ 24
2.4.1. Общий случай .......................................................................................... 24
2.4.2. Классическая задача условной оптимизации ....................................... 25
2.5. Интерпретации ................................................................................................ 25
2.5.1. Геометрические интерпретации ............................................................ 25
2.5.2. Экономические интерпретации ............................................................. 28
Дополнительная литература к разделу 2 ............................................................. 29
3. Элементы выпуклого программирования ........................................................... 30
3.1. Выпуклые и вогнутые функции .................................................................... 30
3.1.1. Предварительные сведения .................................................................... 30
3.1.2. Определения и основные свойства выпуклых
и вогнутых функций .......................................................................................... 31
3.1.3.Свойства дифференцируемых выпуклых
и вогнутых функций .......................................................................................... 32
3.2. Задача выпуклого программирования .......................................................... 34
3.2.1. Определение и основные свойства ........................................................ 34
3.2.2. Теорема Куна–Таккера ........................................................................... 35
3.3. Чувствительность к изменениям параметров .............................................. 39
3.4. Интерпретации ................................................................................................ 41
Дополнительная литература к разделу 3 ............................................................. 44
4. Динамическое программирование ....................................................................... 44
4.1. Задача динамического программирования................................................... 44
4.2. Уравнения Беллмана ....................................................................................... 48
4.3. Метод динамического программирования ................................................... 51
4.4. Статические распределительные задачи ...................................................... 54
4.4.1. Распределение ресурса ........................................................................... 54
4.4.2. Распределение производства товаров (услуг) ...................................... 56
3
4.5. Задача о ранце ................................................................................................. 58
4.5.1. Основная модель ..................................................................................... 58
4.5.2. Обратная задача о ранце ......................................................................... 59
4.5.3. Задача о выборе проектов ....................................................................... 60
4.6. Распределение воспроизводимого ресурса в динамике .............................. 62
4.6.1. Распределение пополняемого инвестиционного фонда ...................... 62
4.6.2. Использование возобновляемого природного ресурса ....................... 65
Дополнительная литература к разделу 4 ............................................................. 67
5. Элементы теории оптимального управления ..................................................... 67
5.1. Постановка задачи оптимального управления ............................................ 67
5.1.1. Основные понятия ................................................................................... 67
5.1.2. Общая формулировка задачи оптимального управления ................... 68
5.1.3. Варианты ограничений вдоль траектории ............................................ 69
5.1.4. Основные типы функционалов .............................................................. 70
5.1.5. Варианты краевых условий .................................................................... 70
5.2. Необходимые условия оптимальности процесса ........................................ 71
5.2.1. Задача без фазовых ограничений........................................................... 71
5.2.2. Условия трансверсальности для частных случаев ............................... 73
5.2.3. Учет фазовых ограничений .................................................................... 75
5.3. Интерпретации ................................................................................................ 77
5.3.1. Интерпретации условий трансверсальности ........................................ 77
5.3.2. Интерпретация сопряженных переменных .......................................... 80
5.4. О решении задач оптимального управления ................................................ 81
5.4.1. Решение аналитическое и решение численное .................................... 81
5.4.2. Обоснование оптимальности процесса ................................................. 82
Дополнительная литература к разделу 5 ............................................................. 83
Заключение……………………………………………………………………….83
Библиографический список……………………………………………………..84
Приложение А. Доказательство следствия 4.2 .................................................... 85
4
Обозначения и сокращения
nm,
nm,
n
R
Сокращения
ДП – динамическое программирование.
ЗВП – задача выпуклого программирования.
ЗЛП – задача линейного программирования.
ЗНП – задача нелинейного программирования.
ЛПР – лицо, принимающее решения.
ОЗР – обратная задача о ранце.
УДН – условия дополняющей нежесткости.
УПП – условия первого порядка.
Общие обозначения
S* – множество желательных состояний моделируемого объекта, если S –
множество его возможных состояний.
X(a) – множество допустимых решений, то есть множество управлений,
возможных (доступных, реализуемых) при состоянии a внешней среды.
a A – a есть элемент множества A, a принадлежит A.
{a1, …, an, …} – множество, состоящее из элементов, указанных в фигур-
ных скобках.
{a A | P(a)} – множество всех элементов множества A, удовлетворяю-
щих условию P(a).
(a1, …, an) – упорядоченный набор объектов произвольной природы.
A B – множество A является подмножеством множества B.
A B – множество A является собственным подмножеством множества B.
A B – объединение множеств A и B.
A B – пересечение множеств A и B.
A \ B – разность множеств A и B.
A B – декартово произведение множеств A и B.
A + B – прямая сумма (сумма по Минковскому) множеств A и B.
N – натуральный ряд, N = {0, 1, …}.
Для целых чисел m и n:
R – множество всех действительных чисел, R = R1.
mn
R
– множество всех матриц размерности m п с элементами из R.
Rn – евклидово пространство размерности n, Rn = R
0n – нуль-вектор в Rn.
0
– нуль-матрица в R
mn
1n – вектор в Rn, каждая координата которого равна единице.
= {m, …, n}, если m ≤ n, иначе
mn
.
=
n
1
.
= {x Rn | x ≥ 0n} – положительный ортант пространства Rn.
R+ = {x R | x ≥ 0}.
[a, b], где a и b принадлежат Rn – отрезок в Rn с концами a и b.
(a, b) = [a, b] \ {a, b} – множество внутренних точек отрезка [a, b].
Скалярное произведение векторов x и y из Rn: x, y = xT y.
5
| x| = x, x
m,1
n,1
)(x
x
f
j
)(x
hf
)(x
x
f
j
n,1
),( yxF
x
k,1
O(x0, ε) – окрестность радиуса ε (ε-окрестностью) точки x0 Rn.
B(x0, r) – замкнутый шар в Rn с центром x0 Rn и радиусом r R+.
[x] – целая часть числа x R, наибольшее целое число, не превосходящее x.
]x[ – минимальное целое число, не меньшее, чем x R.
sup M – супремум множества M, точная верхняя граница чисел x M R.
inf М – инфимум множества M, точная нижняя граница чисел x M R.
M – граница множества M R.
int M – множество всех внутренних точек множества M R.
(aij | i
(aij | P(i, j)) – матрица, составленная из строк и столбцов матрицы A = (aij)
mn
R
, номера i и j которых удовлетворяют условию P.
[A]i, [A] j – строка с номером i и столбец с номером j, соответственно, мат-
рицы A.
En – единичная матрица в R
A–1 – обратная матрица для матрицы A.
AT – результат транспонирования матрицы A.
det(A) – определитель матрицы A R
K – поле комплексных чисел.
Kn – пространство векторов размерности n над полем комплексных чисел.
Re(z) и Im(z) – действительная и мнимая части комплексного числа z.
1/2
для x Rn – евклидова норма в Rn.
, j
) – матрица из R
n n
mn
.
.
n n
.
f (x) → max при условии x X – запись задачи оптимизации: найти хотя
бы один элемент x X такой, что f (x) ≥ f (x' ) для всех x' X, где X – произвольное, вообще говоря, множество допустимых решений. Предполагается, что
функция f определена на X.
f : Rn → Rm – функция, определенная на некотором подмножестве Rn и
принимающая значения из Rm, однозначное отображение из Rn в Rm.
– частная производная функции f : Rn → R по xj в точке x Rn.
, где f : Rn → R, x Rn, h Rn и | h | = 1 – производная функции f по
направлению h в точке x.
f '(x) = (
| j
) – градиент функции f : Rn → R в точке x.
f ''(x) – гессиан функции f : Rn → R в точке x.
– градиент по x функции F: Rn Rm → R в точке (x, y).
Если Si для i
– гладкие гиперповерхности, M = S1 ∩ … ∩ Sk – глад-
кое многообразие и x M, то Li(x) – касательное пространство гиперповерхности Si в точке x, L(x) – касательное пространство многообразия M в точке x.
6
I(x) – множество номеров ограничений ЗНП, активных в точке x.
1
,1 m
1
,1 m
nk,
)(*sZ
k
nk,
)(x
dx
df
)(1xf
)(xf
n
L(x, y0, y) – функция Лагранжа.
D(x, X) – множество всех возможных направлений в точке x относительно
множества X.
Для задачи нелинейного проограммирования, в которой m огрaничений,
Нелинейное и выпуклое программирование
причем ограничения с номерами i
имеют вид gi(x) ≤ bi, а остальные огра-
ничения являются равенствами, положим Y(P) = {y = (y1, …, ym) | yi ≥ 0 для
i
}.
Динамическое программирование
sk = k(s
Xk(s
k–1
объекта управления s
, xk) – фазовое уравнение (уравнение перехода).
k–1
) – множество допустимых управлений на шаге k при состоянии
в начале этого шага.
k–1
Sk – множество состояний, в которых может находиться объект управле-
ния в конце шага k.
Pn(s0, Sn) – задача поиска управления, которое с наибольшим эффектом за
n шагов переводит объект из состояния s0 в одно из состояний s Sn.
Qk(s) – задача P
x(k, s) – условно оптимальное управление для шагов с номерами i
n–k+1
(s, Sn).
.
Zk(s, xk) – максимальный эффект, достижимый на шагах k, …, n, если шаг
k начинается в состоянии s и на этом шаге применяется управление xk.
– условный максимум для шагов с номерами i
.
Оптимальное управление
f '(x) =
= (
, …,
…, fn(x))T из R в Rn в точке x R.
ψ0, ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)) – сопряженные (или двойственные) перемен-
ные.
H(x(t), u(t), t, ψ(t), ψ0) – функция Гамильтона (Гамильтона – Понтрягина),
или гамильтониан.
)T – производная вектор-функции f (x) = ( f1(x),
7
1. Введение
1
Пособие предназначено для студентов вузов, обучающих по экономико-
математическим, экономическим и управленческим специальностям. Также оно
может представлять интерес для специалистов, чья профессиональная деятельность связана с решением задач наилучшего выбора в условиях ограниченности
ресурсов.
Теоретические результаты обоснованы доказательствами (как правило)
или ссылками на источники, содержащие соответствующие доказательства.
Приведены экономические интерпретации используемых математических понятий и утверждений.
1.1. Основные понятия
Моделирование – это исследование объекта посредством изучения его
модели. Модель объекта – искусственная или естественная система, которая
находится в объективном соответствии с исследуемым объектом, способна замещать его в интересующих исследователя отношениях и в результате исследования дает информацию о моделируемом объекте1.
В экономических исследованиях, как правило, невозможно провести
натурный эксперимент или найти материальный аналог исследуемого объекта.
Поэтому используют идеальные модели, то есть умозрительные подобия реальных систем, процессов, явлений. Идеальная модель может быть интуитивной
или знаковой.
Интуитивная модель – это неформализованная совокупность индивиду-
альных или групповых представлений об объекте. Решение, принятое без осознанного использования какой-либо модели, обосновано, как правило, мыслен-
ным экспериментом с некоторой интуитивной моделью.
Знаковая модель описывается выражениями некоторого формального
языка с указанием правил их преобразования и интерпретации. Интерпретация
устанавливает соответствие между объектом и его моделью, прообразом и образом.
Математическая модель – это знаковая модель, которая описана на язы-
ке математики и может быть исследована средствами математики. Такая модель
в качестве исходных предположений использует формализованные свойства
моделируемого объекта (известные, требуемые, предполагаемые, – в зависимости от цели исследования). Элементам объекта и связям между ними, характеристикам внешней среды и связям между внешней средой и объектом модель
сопоставляет некоторые абстракции (переменные, параметры, функции и пр.)
и объединяющие их математические соотношения. Результаты анализа математической модели соответствуют реальности в той же степени, в какой реалистичны исходные предположения. Проблема адекватности модели сводится,
Формулировка А. А. Ляпунова, см.: Новик И. Б. О философских вопросах кибернетического моделиро-
вания. М., Знание, 1964.
8
следовательно, к обоснованию исходных предположений, которые должны
2
3
быть скорректированы, если выводы из модели не согласуются с наблюдаемыми свойствами объекта. Для уточнения предположений модели часто применяют статистические и эконометрические методы.
«Математики делают то, что можно, так, как нужно, экономисты … – то,
что нужно, так, как можно»2. Экономико-математические модели позволяют
«подключать» обширный математический аппарат к анализу теоретических и
прикладных проблем экономики. Кроме того, они предоставляют экономистам
удобный и компактный язык для изложения гипотез, обоснований, результатов.
Примеры экономико-математических моделей: модели потребительского выбора, модели фирмы, модели рынков (конкурентного, монополистического, олигополистического, финансового, рынка факторов производства и др.), разнообразные модели принятия решений. В теоретической и прикладной экономике математические модели используют для объяснения наблюдаемых явлений, обоснования рациональных решений, предсказания будущего развития процессов.
Математическая модель проще объекта, так как отражает только те его
свойства, которые существенны для цели исследования. Правильность выделения существенных характеристик объекта проверяется в процессе работы с моделью. Поэтому в ходе исследования может возникнуть необходимость уточнения модели, изменения набора учтенных в ней факторов. В зависимости от цели исследования, для одного объекта могут быть построены модели, различающиеся степенью детализации или набором отражаемых свойств объекта. Если
модель подобна объекту во многих отношениях, то ее удается использовать для
достижения различных исследовательских целей.
1.2. Этапы экономико-математического моделирования
На первом этапе исследователь наблюдает объект и выявляет проблему,
описывает (на естественном языке) объект, проблему и цель исследования.
Нужно выделить существенные (по отношению к проблеме) свойства объекта,
изучить его структуру (элементы и связи между ними) и внешнюю среду. Следует сформулировать известные факты и правдоподобные гипотезы, связанные
с поведением объекта, в частности – с его реакцией на изменения внешних
условий.
Второй этап – формализация описаний, выполненных на первом этапе,
конструирование модели. Элементами экономико-математической модели являются показатели (параметры, переменные), соотношения между ними и
формулировка цели исследования на языке модели. «Основной задачей экономики является рациональное ведение хозяйства, то есть распределение ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей» 3, поэтому в экономических исследованиях широко используются оптимизационные модели. Жела-
Юдин Д. Б. Экстремальные модели в экономике / Д. Б. Юдин, А. Д. Юдин. – М.: Экономика, 1979. – С. 9.
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс,
2002. – С. 14.
9
тельно, конечно, использовать простую или хорошо исследованную модель при
4
условии, что она адекватна объекту. Разработчик модели должен пройти «узкой
тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения»4.
На третьем этапе происходит исследование модели как «заменителя» ре-
ального объекта. Простейшая форма такого исследования – модельный экспери-
мент, в ходе которого изучают реакцию модели на различные значения входных
параметров. Прикладные исследования чаще всего нацелены на поиск управля-
ющих воздействий (решений), которые приводят объект в желательное состоя-
ние. В таком случае нужно выяснить, при каких условиях искомое воздействие
существует (задача разрешима). Затем необходимо подобрать или разработать
алгоритм, позволяющий найти решение задачи, если оно существует.
Четвертый этап заключается в интерпретации результатов третьего эта-
па, вследствие чего происходит «перенос знаний» с модели на исследуемый
объект. Может оказаться, что интерпретация какого-то результата, полученного
при анализе модели, противоречит накопленным знаниям об объекте. В таком
случае приходится вернуться на этап 2 для корректировки модели или даже на
этап 1 для уточнения описания объекта.
Наконец, на пятом этапе новые знания используют для достижения цели
исследования: развития теории, управления объектом или прогнозирования его
поведения.
1.3. Задача выбора решения
Предположение 1.1. Объект управляем, то есть некая оперирующая сто-
рона (другое название – лицо, принимающее решения, ЛПР) может выбором
решения влиять на его деятельность и, следовательно, на результат этой дея-
тельности.
В условиях предположения 1.1 моделируемый объект является объектом
управления и в сочетании с управляющей системой образует систему управления, схематически изображенную на рис. 1.
Обозначения
S – множество возможных состояний объекта управления.
A – множество возможных состояний внешней среды объекта управления.
X(a) для a A – множество допустимых решений, то есть множество
управлений, возможных (доступных, реализуемых) при состоянии a внешней
среды.
Беллман Р. Динамическое программирование. М.: изд-во иностранной л-ры, 1960. – С. 11.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]