Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные методы исследования операций и математические модели. Курс лекций
.pdf
случае, как показано в разд. 5.1.4, условие (5.12) не нужно, то есть не является
0
j
a
).(εψ
0
t
j
))(( tx
a
K
j
),),(,(
1
1
btxt
a
J
j
).(ψ t
j
)(0tx
j
)(0tx
k
)(tx
j
).(tx
j
необходимым.
Из (5.26) следует, что сопряженные переменные в начальный момент указывают чувствительность оптимального значения J * целевого функционала к
изменениям граничных значений фазовых переменных. Если
то J * возрастет примерно на
увеличить на ε,
Пусть τ0 < t < τ1. Изменим начальный момент и левый конец траектории:
t0 = t, x(t0) = a. Остальные параметры задачи P сохраним, и полученную задачу
обозначим P1(a). Она является «сужением» задачи P на промежутке [t, τ1], если
а = x∗(t).
Процесс Π на отрезке [t, τ1] обозначим Π1. Поскольку в задаче P нет ни
терминального слагаемого, ни фазовых ограничений, процесс Π1 оптимален в
задаче P1(x∗(t)) и вектор-функция ψ(t) в сочетании с этим процессом удовлетворяет необходимым условиям оптимальности на отрезке [t, τ1]. Предположим,
что процесс Π реализован на отрезке [τ0, t] с результатом J 0(t), после чего на
отрезке [t, τ1] выполнен оптимальный процесс задачи P1(a) с результатом J1(a).
Описанная комбинация процессов даст результат K(a) = J 0(t) + J1(a), причем
K(x∗(t)) = J *. Используя (5.26), получим
=
=
Следовательно, если выполнить процесс Π на отрезке [τ0, t], а затем на
отрезке [τ0, t] выполнить оптимальный процесс задачи P1(a) при aj =
+ ε и
ak =
для k ≠ j, то оптимальное значение функционала возрастет примерно
на εψj(t).
Допустим, что подынтегральная функция в (5.5) описывает некоторый
финансовый результат, а
– это количество ингредиента j, вовлекаемое в
оптимальный процесс в момент t. Тогда ψj(t) – это предельная ценность дополнительного количества ингредиента в момент t, скорость роста финансового результата при увеличении
Эта интерпретация позволяет называть ψj(t) те-
невой ценой ингредиента j в момент t.
5.4. О решении задач оптимального управления
5.4.1. Решение аналитическое и решение численное
«Ручное» решение задачи оптимального управления требует, как правило,
громоздкого перебора случаев и возможно только при небольшой размерности.
Сложность поиска формульного решения окупается тем, что оно допускает параметрический анализ, из которого можно делать содержательные выводы.
Предположим, что функция u(t) для задачи оптимального управления
(5.5) – (5.9) выражена через x(t), ψ(t) и t с помощью принципа максимума (5.10),
(5.16). Тогда задача сводится к определению 2n функций xj(t), ψj(t) из системы
2n дифференциальных уравнений, включающей дифференциальные связи (5.6)
81
и сопряженные дифференциальные уравнения. Краевыми условиями для этой
J(x(t), u(t), t0, t1) =
1
0
)),( ),((
t
t
dtttutxF
+ φ0(t0, x(t0), t1, x(t1)) → max
(5.27)
)(tx
j
= fj(x(t), u(t), t) для t [t0, t1] и j
n,1
,
(5.28)
u(t) G(t) для t [t0, t1],
(5.29)
t0 = τ, x(t0) = a,
(5.30)
(t1, x(t1)) T.
(5.31)
63
64
65
66
задачи являются соотношения (5.9), значения закрепленных и условия трансверсальности для не закрепленных краевых параметров. Существуют численные методы63 решения такой краевой задачи, сводящие ее к решению последовательности задач Коши64 и задач конечномерной оптимизации.
5.4.2. Обоснование оптимальности процесса
При любом способе решения задачи оптимального управления следует
помнить, что необходимые условия оптимальности процесса не являются, вообще говоря, достаточными. Оптимальность процесса, найденного с помощью
этих условий, нужно обосновывать. Ниже сформулированы два признака достаточности необходимых условий оптимальности процесса, которые указаны в
теоремах 5.1 и 5.2.
1. Необходимые условия оптимальности являются достаточными, если
функция Понтрягина линейна относительно вектора управляющих переменных
u(t)65.
2. Представим себе, что функция u(t) с помощью принципа максимума
выражена через x(t), ψ(t) и t, а полученное выражение подставлено в функцию
Понтрягина. Результатом такой подстановки является функция G(x, ψ, t) = H(x,
u(x, ψ, t), t, 0, ψ). Если эта функция вогнута по x, то процесс, удовлетворяющий
необходимым условиям, является оптимальным66.
В любом случае, если доказана разрешимость задачи и необходимые
условия оптимальности позволили выявить конечное число «подозрительных»
процессов, то, сравнивая значения функционалов на этих процессах, мы выберем из них оптимальный. Сформулируем достаточный признак разрешимости
задачи максимизации функционала при дифференциальных связях и ограничениях на управление, предполагая, что начальный момент фиксирован, левый
конец траектории закреплен и краевые условия вида (5.9) задают множество T
допустимых сочетаний (t1, x(t1)):
при условиях
См.: Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980. Гл. 6. § 4;
Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969. § 7.
См. определение в приложении 2, разд. П2.1.
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-пресс,
2002. (Сноска на С. 384).
Там же.
82
Теорема 5.3 (обобщенная теорема Вейерштрасса)67. Предположим, что:
67
(а) множество U допустимых управлений, фигурирующее в (5.29), компактно в подходящем метрическом функциональном пространстве;
(б) система дифференциальных уравнений (5.28) с начальными условиями (5.30) для всякого u(t) U определяет единственную траекторию x(u, t), которая имеет с множеством T единственное пересечение при t = t1(u);
(в) функционал K(u) = J(x(u), u, t0, t1(u)) непрерывен по u на U в метрическом пространстве, указанном в пункте (а).
Тогда задача (5.27) – (5.31) имеет решение.
Дополнительная литература к разделу 5
1. Интриллигатор, М. Математические методы оптимизации и экономи-
ческая теория. – М.: Айрис-пресс, 2002 (гл. 11 и разд. 14.1, 14.2, 14.4).
2. Ногин, В. Д. Введение в оптимальное управление. – СПб.: ЮТАС, 2008
(гл. 1, 3 – 5).
3. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. / Л. С. Понт-
рягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. –М.: Наука, 1983
(гл. 1, 2, 6).
4. Сотсков, А. И. Оптимальное управление в примерах и задачах / А. И. Сот-
сков, Г. В. Колесник. – М.: Российская экономическая школа, 2002 (разд. 2, 3).
Заключение
Настоящее пособие отражает многолетний опыт работы автора на кафедре. Данный курс объединяет элементы научных дисциплин, основным содержанием которых являются модели и методы анализа систем управления: это
исследование операций (operations research, OR), наука о методах управления
(management science, MS) и теория принятия решений (decision theory).
Выше было показано, что operations research и management science включают использование математического моделирования для анализа сложных
бизнес-процессов и принятия хороших решений. Специальные методы исследование операций – это «применение математических подходов к принятию
деловых решений; другое название – management science. В современном словоупотреблении термины operations research, management science, system analy-
sis можно считать почти синонимами.
Математическими расчетами, облегчающими принятие целесообразных
решений, занимается теория математических моделей и методов принятия оптимальных решений, или, другими словами, специальные методы исследования
операций и математические модели.
Там же, разд. 11.4. Другие результаты, связанные с разрешимостью задачи оптимального управления,
см. в книге: Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. – М.: Наука, 1974. § 9.2.
83
Библиографический список
1. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. – М.:
Наука, 1964. – 360 с.
2. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Ва-
сильев. – М.: Наука, 1980.
3. Гайлит, Е. В. Теория оптимального управления: учеб. пособие / Е. В. Гай-
лит – Новосибирск: изд-во НГПУ, 2013.
4. Гайлит, Е. В. Математические модели и методы исследования опера-
ций: учеб. пособие / Е. В. Гайлит, А. Б. Хуторецкий – Новосибирск: изд-во
НГПУ, 2015.
5. Интриллигатор, М. Математические методы оптимизации и экономи-
ческая теория / М. Интриллигатор. – М.: Айрис-пресс, 2002.
6. Лагоша, Б. А. Методы и задачи теории оптимального управления: учеб.
пособие / Б. А. Лагоша, Т. Д. Дегтярева. – М., 1995.
7. Математическая теория оптимальных процессов. – 4-е изд. / Л. С. Понт-
рягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – М.: Наука, 1983.
8. Ногин, В. Д. Введение в оптимальное управление. – СПб: ЮТАС, 2008.
9. Сотсков, А. И. Оптимальное управление в примерах и задачах / А. И. Сот-
сков, Г. В. Колесник. – М.: Российская экономическая школа, 2002.
84
Приложение А. Доказательство следствия 4.2
)(*sZ
k
= sup{
n
kj
jjj
sxf ),(
1
| s
k–1
= s, sj = j(xj, s
j–1
) и xj Xj(s
j–1
) для j
nk,
, s
n
(А.1)
B(n, s) = sup{ fn(xn, s) | xn Xn(s), n(xn, s) S
*
} для s S
n–1
.
(А.2)
B(k, s) = sup{ fk(xk, s) + B(k + 1, k(xk, s)) | xk Xk(s)} для k
1,1 n
, s S
k–1
.
(А.3)
nk,
,,nk
.,nk
)(*sZ
k
nk,
nk,
,1, nk
nj,
.,nk
.1, nk
)(
1*jj
sZ
n
jr
rrr
sxf ),(
1
)),(φ(
1
*
1 jjjj
sxZ
,,nk
.1, nk
nj,
.,nk
.,nk
Задача Qk(s):
Задача An(s):
Задача Ak(s), k < n:
Следствие 4.2. Пусть задачи Qk(s) и Ak(s) записаны в виде (А.1) – (А.3).
(а) Если одна из задач Qk(s) и Ak(s) несовместна или неограниченна, то и
другая несовместна или, соответственно, неограниченна.
(б) Вектор x = (xj | j
ли xj является решением задачи Aj(s
j
)T является решением задачи Qk(s), если и только ес-
) для всех j
j–1
где s
= s и sj = j(xj, s
k–1
) для
j–1
Доказательство
(а) Задача Qk(s) несовместна, если и только если
= – ∞. По теореме
4.2 это эквивалентно B(k, s) = – ∞. Последнее равенство выполняется, если и
только если задача Ak(s) несовместна. Для неограниченных задач утверждение
доказывается аналогично.
(б) Пусть x = (xj | j
j
при s
= s и sj = j(xj, s
k–1
4.1 вектор x( j) = (xr | r
j
Пусть j
Понятно, что xj – допустимое рещение задачи Aj(s
)T – решение задачи Qk(s). Тогда xj Xk(s
) для j
j–1
а sn = n(xn, s
n–1) S
)T является решением задачи Q
j(sj–1
*
. По теореме
) для каждого
) для
j–1
j–1
).
Применяя теорему 4.2, получим
B( j, s
j(xj, s
где s
j–1
j–1
) =
)).
=
= fj(xj, s
j–1
) +
= fj(xj, s
Отсюда следует, что xj – оптимальное решение задачи Aj(s
Допустим теперь, что xj является решением задачи Aj(s
= s и sj = j(xj, s
k–1
) для j
j–1
Тогда sn = n(xn, s
n–1) S
) + B( j + 1,
j–1
).
j–1
) для всех j
j–1
*
и x( j) = (xr | r
)T – допустимое решение задачи Qj(s
) для j
j–1
ная с n) докажем, что x( j) является оптимальным решением задачи Q j(s
есть решение задачи Qn(s
Задачи Qn(s
) и An(s
n–1
) идентичны, поэтому одномерный вектор x(n) = xn
n–1
).
n–1
Индукцией по j (начи-
) при j
j–1
85
Пусть j
1, nk
)(
1*jj
sZ
)),(φ(
1
*
1 jjjj
sxZ
n
jr
rrr
sxf
1
1
),(
.),(
1
n
jr
rrr
sxf
и вектор x( j+1) является решением задачи Q
используя теорему 4.2 и предположение индукции, имеем
j+1(sj
). Тогда,
= B( j, s
) = fj(xj, s
j–1
) + B( j+1, j(xj, s
j–1
= fj(xj, s
j–1
) +
)) = fj(xj, s
j–1
=
j–1
) +
Отсюда следует, что x( j) – оптимальное решение задачи Qj(s
j–1
=
). #
86
Гайлит Евгения Валерьевна
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ОПЕРАЦИЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Издательский редактор Н. А. Ерина
Учебное электронное издание сетевого распространения
Системные требования:
электронное устройство с программным обеспечением
для воспроизведения файлов формата PDF
Режим доступа: http://publish.sutd.ru/tp_get_file.php?id=2018813, по паролю.
– Загл. с экрана.
Дата подписания к использованию 20.02.2018 г. Рег. № 13/18.
ФГБОУВО «СПбГУПТД»
Юридический и почтовый адрес:
191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18.
http://sutd.ru/
87
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]