Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные методы исследования операций и математические модели. Курс лекций
.pdf
Конец траектории свободен, если все его координаты свободны, закреп-
J(x(t), u(t), t0, t1) =
1
0
)),( ),((
t
t
dtttutxF
+ φ0(t0, x(t0), t1, x(t1)) → max
(5.5)
x'(t) = f (x(t), u(t), t) для t [t0, t1] (дифференциальные связи),
(5.6)
u(t) G(t) для t [t0, t1] (ограничения на управление),
(5.7)
g(x(t), t) = 0k, где k ≤ n, и h(x(t), t) ≥ 0r для t [t0, t1] (фазовые
(5.8)
φ(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0s (краевые условия),
(5.9)
лен, если все его координаты закреплены, и подвижен – в других случаях.
Все вхождения закрепленного параметра в краевые условия и в терминальное слагаемое можно заменить его числовым значением, поэтому примем
следующее предположение.
Предположение 5.2. Краевые условия и терминальное слагаемое не зави-
сят от закрепленных параметров.
Заметим, что закрепленный краевой параметр можно формально считать
подвижным, если включить в задачу краевое условие, требующее, чтобы он
был равен заданному значению. При этом, в соответствии с предположением
5.2, в исходных краевых условиях и в терминальном слагаемом зависимость от
рассматриваемого параметра отсутствует. Краевые условия, фиксирующие значения краевых параметров, имеют вид
t0 – τ0 = 0, t1 – τ1 = 0, xj(t0) – aj = 0, xj(t1) – bj = 0,
где τ0, τ1, aj, bj – числовые значения соответствующих параметров.
5.2. Необходимые условия оптимальности процесса
Мы будем рассматривать задачу максимизации функционала Больца с
краевыми условиями (5.4) при дифференциальных связях (5.1), ограничениях
на управление и фазовых ограничениях (см. разд. 5.1.3):
при условиях
где вектор-функции f и x имеют размерность n, а вектор-функции u, g, h и φ
имеют размерности m, k (k ≤ n), r и s соответственно. Таким образом, на состояние системы в момент t наложены k ограничений-равенств и r ограниченийнеравенств, а краевые условия заданы s уравнениями.
5.2.1. Задача без фазовых ограничений
В этом разделе мы сформулируем необходимые условия оптимальности
процесса для задачи (5.5) – (5.7), (5.9).
Определения и обозначения
Cопряженные (или двойственные) переменные для рассматриваемой задачи – это 0 R и вектор-функция ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)), действующая из R в
1 n
R
.
Функция Понтрягина (Гамильтона–Понтрягина), или гамильтониан име-
ет вид
71
H(x, u, t, λ0, ψ) = λ0F(x, u, t) +
,),,(ψ
1ni
ii
tuxf
n,1
))(ψ,λ , ),( ),((
0
tttutxH
x
)(ψ t
j
))(ψ,λ, ),( ),((
0
tttutx
x
H
j
) ),( ),(( ttutx
x
F
j
,) ),( ),(()(ψ
1
n
i
j
i
i
ttutx
x
f
t
.,1 n
,
0
t
1
t
n,1
s,0
0
[t
]
1
t
0
[t
];
1
t
0
[t
],
1
t
то H(x*(t), u*(t), t, λ0, ψ(t)) = max{H(x*(t), u(t), t, λ0, ψ(t)) | u(t) G(t)};
(5.10)
)(ψ
0
t
j
=
))(, ),(,(
)(
φ
λ
1100
0
0
txttxt
tx
s
i
j
i
i
и
)(ψ
1
t
j
))(,),(,(
)(
φ
λ
1100
0
1
txttxt
tx
s
i
j
i
i
(5.11)
;,1 n
0
[t
]
1
t
53
где F – подынтегральная функция целевого функционала, λ0 и ψ(t) = (ψi(t) | i
) –
сопряженные переменные.
Всякому допустимому процессу ⟨x(t), u(t), t0, t1⟩ сопоставим сопряженную
систему линейных дифференциальных уравнений (векторное уравнение Эйлера–Лагранжа) на промежутке [t0, t1] относительно сопряженных переменных:
ψ'(t) =
или
=
= –
j
0
–
,
Заметим, что набор двойственных переменных определяется размерностью фазового пространства.
Теорема 5.1 (необходимые условия оптимальности процесса)53. Предпо-
ложим, что ⟨x*(t), u*(t),
⟩ – оптимальный процесс в задаче (5.5) – (5.7), (5.9).
Пусть в пространствах Rn, Rm и R зафиксированы открытые множества X, A и B
соответственно, причем
в A B входят все пары (u(t), t), удовлетворяющие условиям (5.7);
в B X B X входят все наборы (t0, x(t0), t1, x(t1)), удовлетворяющие
условиям (5.9);
B X включает график функции x*(t);
функции F(x, u, t) и fj(x, u, t) для j
непрерывны по всем переменным
и имеют непрерывные частные производные по фазовым переменным на множестве X A B;
функции φi(t0, x(t0), t1, x(t1)) для i
непрерывно дифференцируемы на
множестве B X B X.
Тогда существуют вектор λ = (λ0, …, λs)T R
межутке
(а) λ0 ≥ 0 и либо λ ≠ 0
ственно на
(б) если вектор-функция u*(t) непрерывна в точке t
,
вектор-функция ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)), такие, что:
, либо вектор-функция ψ(t) не равна 0n тожде-
s + 1
,
s + 1
и определенная на про-
,
(в) вектор-функция ψ(t) удовлетворяет сопряженной системе дифференциальных уравнений с краевыми условиями
для j
(г) на концах промежутка
Формулировка из книги: Сотсков А. И. Оптимальное управление в примерах и задачах / А. И. Сотсков,
Г. В. Колесник. – М.: РЭШ, 2002. – С. 10.
,
выполнены условия
72
))(ψ ,λ , ),( ),((
*
000*0
*
0
tttutxH
=
)),(,),(,(
φ
λ
1100
0
0
txttxt
t
s
i
i
i
(5.12)
))(ψ ,λ , ),( ),((
*
10
*
1
*
1
*
1
tttutxH
=
)).(,),(,(
φ
λ
1100
0
1
txttxt
t
s
i
i
i
(5.13)
Равенство (5.10) – это принцип максимума Понтрягина. Пункты (в) и (г)
0
[t
],
1
t
,
*
0
t
*
1
t
.,1 s
)(
φ
0
1
tx
j
s
)(
φ
1
1
tx
j
s
1
1
φ
ts
0
1
φ
ts
0
φ
ti
))τ(ψ ,λ ,τ ),τ( ),τ((
00000
uxH
54
55
56
теоремы 5.1 называют условиями стационарности54. Формулы (5.11), (5.12) и
(5.13) описывают условия трансверсальности55 по x, t0 и t1 соответственно.
Подчеркнем, что вектор-функции x(t) и ψ(t) должны быть кусочнодифференцируемыми (и, следовательно, непрерывными) на промежутке
,
так как они являются решениями соответствующих систем дифференциальных
уравнений (исходной и сопряженной).
Если λ0 = 0, то функционал не участвует в формулировках необходимых
условий оптимальности. Это вырожденный случай. В невырожденном случае
λ0 > 0.
Следствие 5.1. В теореме 5.1 без ограничения общности можно считать,
что λ0 {0, 1}.
Доказательство. В соответствии с теоремой 5.1 должно быть выбрано
λ0 ≥ 0. Допустим, что необходимые условия оптимальности выполнены для
процесса ⟨x*(t), u*(t),
⟩, вектора λ = (λ0, …, λs)T и вектор-функции ψ(t), при-
чем λ0 > 0. Легко проверить, что эти условия выполняются для того же процесса, вектора λ / λ0 и вектор-функции ψ(t) / λ0. Следовательно, можно выбрать
λ0 = 1. #
5.2.2. Условия трансверсальности для частных случаев
Закрепленный момент
Запишем граничные условия (5.9) в форме (5.4): φi(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0
для i
Допустим, что в задаче (5.5) – (5.7), (5.9) закреплен начальный мо-
мент. Тогда можно считать, что в задаче есть еще одно граничное условие, с
номером s + 1:
φ
, x(t0), t1, x(t1)) = t0 – τ0 = 0,
s+1(t0
остальные функции φi не зависят от t0 56 и верхний предел суммирования в
(5.11) – (5.13) равен s + 1. В таком случае
=
Следовательно,
s+1
=
= 0,
= 1 и
= 0 для i ≤ s.
не участвует в условиях (5.11) и (5.13), а (5.12) имеет
вид
Выбор
ограничен только последним равенством, которое можно счи-
s+1
тать определением
Обоснование термина см. в разд. 5.3.1.
transversal – поперечный, секущий (англ.).
См. разд. 5.1.4.
=
. Это значит, что в задаче с закрепленным начальным
s+1
s+1
.
73
моментом условие трансверсальности по t0 (5.12) выполняется и его можно
s,1
))(ψ,λ, ),( ),((
00000
tttutxH
)).(, ),(,(
φ
λ
1100
0
0
0
txttxt
t
))(ψ,λ, ),( ),((
10111
tttutxH
))(, ),(,(
φ
λ
1100
1
0
0
txttxt
t
;,1 n
)(
φ
0txj
i
0
φ
ti
1
φ
ti
)(
φ
0txj
i
)(ψ
0
t
j
s,1
57
опустить.
Аналогично, в задаче с закрепленным конечным моментом условие
трансверсальности по t1 (5.13) выполняется и его можно опустить.
Свободный момент
Если начальный момент свободен, то функции φi для i
не зависят от
t0 и (5.12) принимает вид
=
В частности, если в целевом функционале нет терминального слагаемого,
то правая часть последнего равенства равна нулю.
Аналогично, если свободен конечный момент, то (5.13) принимает вид
=
с нулем справа, если в целевом функционале нет терминального слагаемого.
Закрепленный конец траектории
Допустим, что в задаче (5.5) – (5.7), (5.9) закреплен левый конец траектории. Тогда можно считать 57, что:
(а) среди краевых условий есть n условий (присвоим им номера от s +1 до
s + n) вида
φ
, x(t0), t1, x(t1)) = xj(t0) – aj = 0, j
s+j(t0
(б) другие функции φi не зависят от координат вектора x(t0);
(в) верхний предел суммирования в (5.11) – (5.13) равен s + n.
В таком случае
= 0, если i ≠ s + j; а если i = s + j, то
Следовательно,
не участвует в условиях (5.11) для j ≠ i и во всех усло-
s+i
виях (5.12), (5.13). Кроме того, первое из условий (5.11) имеет вид
Поскольку нет других ограничений на
определением
. Следовательно, в задаче с закрепленным левым концом
s+j
, последнее равенство можно считать
s+j
=
= 0 и
= 1.
= –
s+j
первую группу условий трансверсальности (5.11) можно опустить, так как они
выполняются.
Аналогично, в задаче с закрепленным правым концом траектории вторую
группу условий трансверсальности (5.11) можно опустить, так как они выполняются.
Свободный конец траектории
Если левый конец траектории свободен, то функции φi при i
не за-
висят от x(t0), поэтому первая группа условий трансверсальности (5.11) принимает вид
См. разд. 5.1.4.
74
.
)(ψ
0
t
j
=
))(, ),(,(
)(
φ
λ
1100
0
0
0
txttxt
tx
j
,,1 n
)(ψ
1
t
j
))(, ),(,(
)(
φ
λ
1
0
txttxt
tx
j
.,1 n
ni
ii
tuxft
1
),,()(ψ
),()(μ
1
txgt
k
i
ii
),()(ν
1
txht
r
i
ii
),()(μ
1
txgt
k
i
ii
),,()(
1
txht
r
i
ii
)),(ψ,λ , ),( ),((
0
tttutxL
x
или
)(ψ t
j
= –
0
) ),( ),(( ttutx
x
F
j
–
n
i
j
i
i
ttutx
x
f
1
) ),( ),((ψ
–
–
k
i
j
i
i
ttx
x
g
1
) ),((μ
–
k
i
j
i
i
ttx
x
h
1
) ),((ν
для j
.,1 n
(5.14)
t0 =
,
0
t
t1 =
,
1
t
)(
0
tx
= x0.
(5.15)
для j
причем правые части этих условий равны нулю, если в целевом функционале
нет терминального слагаемого.
Аналогично, если правый конец траектории свободен, то вторая группа
условий трансверсальности (5.11) принимает вид
=
для j
5.2.4. Учет фазовых ограничений
В прикладных задачах, как правило, требуется, чтобы система достигла
желательного состояния не произвольным образом, а оставаясь в некотором
«коридоре» допустимых состояний. Отсюда возникают фазовые ограничения
вида (5.8). Самый распространенный тип фазового ограничения – условие неотрицательности.
Определения и обозначения. Пусть P – задача оптимального управления
с функционалом (5.5), дифференциальными связями (5.6), ограничениями на
управление (5.7) и фазовыми ограничениями (5.8).
Функция Лагранжа для задачи P:
L(x, u, t, 0, , , ν) = λ0F(x, u, t) +
+
= H(x, u, t, 0, ) +
+
+
+
где (t) = (1, …, k) и ν(t) = (ν1, …, νr); функции i(t) и νi(t) называют множи-
телями Лагранжа; H(x, u, t, 0, ) – функция Понтрягина, определенная в разд.
5.2.1.
(5.5) – (5.8) с фиксированным временем, закрепленным левым концом траекто-
рии и свободным правым концом:
Сопряженная система дифференциальных уравнений для задачи P:
ψ'(t) =
Сформулируем необходимые условия оптимальности процесса для задачи
75
Теорема 5.2 (необходимые условия оптимальности процесса)58. Предпо-
,
0
t
1
t
n,1
k,1
r,1
))( , , ,(φ
11
0
00
txtxt
] ,[
10
tt
]; ,[
10
tt
], ,[
10
tt
H(x*(t), u*(t), t, λ0, ψ(t)) = max{H(x*(t), u(t), t, λ0, ψ(t)) | u(t) G(t)};
(5.16)
] ,[
10
tt
)(ψ
1
t
j
=
))( , ),( ,(
)(
φ
λ
1100
1
0
0
txttxt
tx
j
для j
n,1
;
(5.17)
νi(t)hi(x(t), t) = 0 и νi(t) 0 для всех i
,,1 r
t
]. ,[
10
tt
(5.18)
),1 k
),1 r
58
ложим, что ⟨x*(t), u*(t),
⟩ – оптимальный процесс в задаче (5.5) – (5.8), (5.15).
Пусть X, A, B – открытые множества в пространствах Rn, Rm и R соответ-
ственно такие, что: A B содержит все пары (u(t), t), удовлетворяющие условиям (5.7); X B содержит все пары (x(t), t), удовлетворяющие условиям (5.8);
B X включает график функции x*(t); функции F(x, u, t) и fj(x, u, t) для j
на
множестве X A B непрерывны по всем переменным и имеют непрерывные
частные производные по фазовым переменным; функции gi для i
i
непрерывно дифференцируемы на X B; функция
и hi для
непре-
рывно дифференцируема по x(t1) на X. Тогда существуют число λ0 и определенные на промежутке
вектор-функции ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)), μ(t) = (μ1(t),
…, μk(t)), ν(t) = (ν1(t), …, νr(t)) такие, что:
(а) λ0 ≥ 0 и либо λ0 ≠ 0, либо ψ(t) ≢ 0n на
(б) если вектор-функция u*(t) непрерывна в точке t
(в) вектор-функция ψ(t) на промежутке
то
удовлетворяет сопряженной
системе дифференциальных уравнений (5.14) с краевыми условиями
(г) выполнены условия дополняющей нежесткости и неотрицательности
множителей Лагранжа:
Видим, что в задаче с фазовыми ограничениями функция Лагранжа заменяет функцию Понтрягина при построении сопряженной системы. Утверждение следствия 5.1 остается справедливым: без ограничения общности можно
считать, что 0 {0, 1}.
Чтобы сформулировать необходимые условия оптимальности процесса
для задачи с фазовыми ограничениями и краевыми условиями (5.9) общего вида, нужно, сохраняя условия гладкости, принцип максимума и условия трансверсальности теоремы 5.1, модифицировать ее следующим образом:
1) ввести условия гладкости для функций gi (i
и hi (i
, как в
теореме 5.2;
2) сопряженную систему дифференциальных уравнений записать в виде
(5.14), используя функцию Лагранжа;
3) добавить условия дополняющей нежесткости и неотрицательности
множителей Лагранжа (5.18).
Формулировка (с несущественными изменениями) из книги: Сотсков А. И. Оптимальное управление в
примерах и задачах / А. И. Сотсков, Г. В. Колесник. – М.: РЭШ, 2002. С. 34–35. Доказательство (более общего
результата): Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969 (разд. 74). См.
также: Беленький В. З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование. – М.:
РЭШ, 2001.
76
Известно обобщение теоремы 5.259 для задачи с ограничениями вдоль
k,1
k,1
59
траектории (см. разд. 5.1.3) в предположении, что левые части ограничений
(5.2), (5.3) не зависят явно от t.
Заметим, что ограничения вдоль траектории (в частности, фазовые огра-
ничения), активные на конце траектории, задают, в сущности, дополнительные
краевые условия, которые можно учитывать в условиях трансверсальности.
5.3. Интерпретации
5.3.1. Интерпретации условий трансверсальности
Определение. Пусть функция F(x) дифференцируема в области X Rn.
Множество всех точек x X, удовлетворяющих уравнению F(x) = 0, назы-
вают гиперповерхностью в X.
Гиперповерхность S в X, определенная уравнением F(x) = 0, является
гладкой, если функция F(x) непрерывно дифференцируема на X и ее градиент
не обращается в ноль на S.
В частности, гиперплоскость – это гладкая гиперповерхность, определенная линейным уравнением.
Определения. Пусть S – гладкая гиперповерхность, определенная урав-
нением F(x) = 0, и x0 S.
Любой вектор, коллинеарный вектору F '(x0), называют нормалью гиперповерхности S в точке x0.
Касательная гиперплоскость гиперповерхности S в точке x0 – это гиперплоскость, проходящая через точку x0 и имеющая в этой точке общую нормаль
с гиперповерхностью S.
Вектор x – x0 называют касательным вектором гиперповерхности S в точ-
ке x0, если он ортогонален вектору F'(x0), то есть лежит в касательной гиперплоскости гиперповерхности S в точке x0. Совокупность всех таких векторов – это
касательное пространство гиперповерхности S в точке x0.
Понятно, что в каждой точке гладкой поверхности существует касательная гиперплоскость и, следовательно, касательное пространство. Если функции
Fi(x) для i
непрерывно дифференцируемы на открытом множестве X и
имеют на нем ненулевые градиенты, то каждое уравнение Fi(x) = 0 определяет
гладкую гиперповерхность.
Определения и обозначения. Пусть функции Fi(x) для i
непрерыв-
но дифференцируемы и имеют ненулевые градиенты на открытом множестве
X Rn, Si – гладкая гиперповерхность в X, заданная уравнением Fi(x) = 0, и
M = S1 ∩ … ∩ Sk.
См.: Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969 (разд. 74);
Павлов В. Н. Математическая экономика. – Новосибирск: изд-во СО РАН, 2005 (разд. 3.16).
77
Если для любого x M градиенты
)(xF
i
k,1
k,1
)(xF
i
s,0
,
0
t
1
t
,
0
t
1
t
),((
0
tH
),(
0
t
),(
0
t
),(
1
tH
),(
1
t
)).(
1
t
)(φ
z
i
=
)).(
)(
φ
..., ),(
)(
φ
),(
φ
),(
)(
φ
..., ),(
)(
φ
),(
φ
(
11110010
z
tx
z
tx
z
t
z
tx
z
tx
z
t
n
iii
n
iii
(5.19)
60
61
то M называют гладким многообразием60.
для i
линейно независимы,
Пусть Li(x) для i
– касательное пространство гиперповерхности Si в
точке x M. Тогда L(x) = L1(x) ∩ … ∩ Lk(x) – касательное пространство мно-
гообразия M в точке x.
Заметим, что из линейной независимости градиентов
при x M сле-
дует, что эти градиенты имеют ненулевые значения на M, тогда Si – гладкая гиперповерхность в M для каждого i.
Допустим, что в функционале (5.5) нет терминального слагаемого. Тогда
условия трансверсальности связаны только с краевыми условиями (5.9), то есть
с пересечением s гиперповерхностей в пространстве R
2n + 2
. Введем обозначения,
необходимые для геометрической интерпретации этих условий.
Предположение 5.3. Функции φi(t0, x(t0), t1, x(t1)) для i
удовлетво-
ряют условию теоремы 5.1.
Обозначения. Пусть П = ⟨x*(t), u*(t),
⟩ – оптимальный процесс в зада-
че (5.5) – (5.7), (5.9), а вектор λ и вектор-функция ψ(t) выбраны так, что они
совместно с процессом П удовлетворяют необходимым условиям оптимальности61.
D – множество всех наборов вида z = (t0, x1(t0), …, xn(t0), t1, x1(t1), …, xn(t1)),
удовлетворяющих краевым условиям (5.9).
H *(t) = H(x*(t), u*(t),
).
η =
–ψ
1
…, –ψ
–
n
ψ
…, ψ
1
n
Вектор z* D, соответствующий процессу П, имеет размерность 1 (2n + 2).
Такую же размерность имеет градиент функции φi в точке z*:
Предположим, что градиенты функций φi(z) линейно независимы для всех
z D. Тогда D – гладкое многообразие в R
2n + 2
и для каждого z D существует
касательное пространство L(z).
Условия трансверсальности (5.11) – (5.13) требуют, чтобы вектор η был
линейной комбинацией (с вектором коэффициентов ) градиентов (5.19), вычисленных в точке z*. Из определения касательного пространства следует, что
каждый из этих градиентов ортогонален пространству L(z*) (то есть любому
вектору этого пространства). Тогда и вектор η ортогонален пространству L(z*).
Такое определение гладкого многообразия достаточно для наших целей, несмотря на то, что описывает
частный случай, подмножество множества гладких многообразий. Точное определение использует некоторые
сведения из топологии и выходит далеко за рамки нашего курса. См., например: Арнольд В. И. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. – С. 318–319.
Это возможно по теореме 5.1.
78
Следовательно, условия трансверсальности утверждают, что для опти-
.),0Ts
1
0
)]()(ψ) ),(ψ),( ),(([
t
t
dttxttttutxH
).,0 s
1
0
))]() ),( ),((()(ψ)),( ),(([
t
t
dttx'ttutxftttutxF
s
iii1
φλ
1
0
))]()(ψ) ),(ψ),( ),(([
t
t
dttx'ttttutxH
1
0
)()(ψ
t
t
dttx't
1
0
)()(
t
t
txt
1
0
)()(ψ
t
t
dttxt
.)()(ψ
1
0
t
t
dttxt
1
0
)]()(ψ) ),(ψ),( ),(([
t
t
dttxttttutxH
)(
0
*
tx
J
j
= ψj(t0)
,))( , ),( ,(
)(
φ
λ
0
1100
0
s
i
j
i
i
txttxt
tx
(5.20)
)(
1
*
tx
J
j
= – ψj(t1)
,))( , ),( ,(
)(
φ
λ
0
1100
1
s
i
j
i
i
txttxt
tx
(5.21)
0
*
tJ
= – H(x(t0), u(t0), ψ(t0), t0) – ψ'(t0) x(t0)),
0
00
)]()(ψ[
t
txt
)),( , ),( ,(
φ
λ
1100
0
0
txttxt
t
s
i
i
i
(5.22)
1
*
tJ
= H(x(t1), u(t1), ψ(t1), t1)) + ψ'(t1) x(t1) –
1
11
)]()(ψ[
t
txt
.
.))( , ),( ,(
φ
λ
0
1100
1
s
i
i
i
txttxt
t
(5.23)
62
мального процесса число λ0 и вектор-функцию ψ(t) можно выбрать так, чтобы в
точке z*, которая указывает начальное и конечное состояния процесса, вектор η
был ортогонален касательному пространству многообразия D, определенного
граничными условиями (5.9).
Более содержательные интерпретации опираются на лемму 5.1 (ниже).
Обозначение. Введем вектор функцию
Φ( t0, x(t0), t1, x(t1)) = (φi( t0, x(t0), t1, x(t1)) | i
Лемма 5.162. Пусть П = ⟨x(t), u(t), t0, t1⟩ – оптимальный процесс в задаче
(5.5) – (5.7), (5.9), вектор λ и вектор-функция ψ(t) выбраны так, что они сов-
местно с процессом П удовлетворяют необходимым условиям оптимальности.
Если 0 = 1 (невырожденный случай), то оптимальное значение функционала
можно представить в виде
J * =
x(t1)), где λ = (λi | i
– [ψ(t1) x(t1) – ψ(t0) x(t0)] + ∙ Φ( t0, x(t0), t1,
Доказательство. Из (5.1) следует, что f (x(t), u(t), t) – x'(t) ≡ 0n на [t0, t1],
поэтому, учитывая (5.9), можем записать:
J * =
=
+ φ
+ Φ.
0
=
Интегрируя по частям вычитаемое подынтегральной функции, получим
=
–
= [ψ(t1) x(t1) – ψ(t0) x(t0)]
Следовательно,
J * =
– [ψ(t1) x(t1) – ψ(t0) x(t0)] + Φ. #
Используя лемму 5.1, найдем частные производные оптимального значения функционала по xj(t0), t0, xj(t1), t1, считая эти параметры независимыми:
Для сокращения записей в доказательстве леммы опущены аргументы функций Φ и φi.
79
Из (5.20) и (5.21) видно, что условия трансверсальности (5.11) можно за-
)(
0
*
tx
J
j
)(
1
*
tx
J
j
k
kk
t
txt )]()(ψ[
0
*
tJ
= – H(x(t0), u(t0), ψ(t0), t0)
)),( , ),( ,(
φ
λ
1100
0
0
txttxt
t
s
i
i
i
(5.24)
1
*
tJ
= H(x(t1), u(t1), ψ(t1), t1)
.))( , ),( ,(
φ
λ
1
1100
1
s
i
i
i
txttxt
t
(5.25)
0
*
tJ
1
*
tJ
0
(ja
n,1
),,,(
)(
0
1
0
0
0
*
ba
x
J
j
= ψj(τ0).
(5.26)
писать следующим образом:
=
= 0.
Эти условия требуют, чтобы малые изменения концов оптимальной траектории (при сохранении прочих параметров задачи) не увеличивали значение
функционала. Понятно, что так и должно быть для оптимальной траектории.
Перейдем к интерпретации условий (5.12), (5.13). Пусть k {0, 1}. Мы
считаем tk и x(tk) независимыми переменными, поэтому
= ψ'(tk) x(tk),
и соотношения (5.22) и (5.23) принимают вид:
Теперь ясно, что условия трансверсальности (5.12) и (5.13) эквивалентны
равенствам
=
= 0.
Это значит, что небольшое изменение не закрепленного момента оптимального процесса не должно увеличивать значение функционала.
Таким образом, условия (в), (г) теорем 5.1 и 5.2 (и аналогичные необходимые условия оптимальности для других вариантов задачи оптимального
управления) являются условиями стационарности оптимального значения
функционала как функции от незакрепленных граничных параметров.
5.3.2. Интерпретация сопряженных переменных
Пусть P – задача (5.5) – (5.7), (5.9), в функционале которой нет терминального слагаемого. Допустим, что в задаче P время фиксировано и концы
траектории закреплены, причем t0 = τ0, t1 = τ1, x(t0) = a0 =
| j
)T и x(t1) = b0.
Пусть П = ⟨x*(t), u*(t), τ0, τ1⟩ – оптимальный процесс в задаче P и вектор-функция
ψ(t) совместно с процессом П удовлетворяет необходимым условиям оптимальности при 0 = 1.
По предположению 5.2 функции φi не зависят от координат вектора
x*(τ0) = a0, поэтому из (5.20) получаем
В разд. 5.3.1 мы выяснили, что для незакрепленного параметра xj(t0) условие трансверсальности (5.12) требует, чтобы в (5.26) частная производная была
равна нулю. Но мы предположили, что концы траектории закреплены, а в этом
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]