Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные методы исследования операций и математические модели. Курс лекций
.pdf
3.1.2. Определения и основные свойства выпуклых и вогнутых
f ((1 – )x1 + x2) (1 – ) f (x1) + f (x2)
(3.1)
f ((1 – )x1 + x2) (1 – ) f (x1) + f (x2)
(3.2)
m,1
.)(λ
i
ii
xf
22
функций
Определения и обозначения
f : Rn → Rm – функция, определенная на некотором подмножестве Rn и
принимающая значения из Rm, однозначное отображение из Rn в Rm, вектор-
функция.
Функция f : Rn → Rm вогнута на непустом выпуклом множестве M Rn,
если
для всех [0, 1] и x1, x2 из M; она строго вогнута на M, если (3.1) выполняется как строгое неравенство при (0, 1) и x1, x2 из M таких, что x1 x2.
Функция f : Rn → Rm выпукла на непустом выпуклом множестве M Rn,
если
для всех [0, 1] и x1, x2 из M; она строго выпукла на M, если (3.2) выполняется как строгое неравенство при (0, 1) и x1, x2 из M таких, что x1 x2.
sup M – супремум множества M, точная верхняя граница чисел x M R.
inf М – инфимум множества M, точная нижняя граница чисел x M R.
Теорема 3.2 (свойства выпуклых и вогнутых функций)22. Пусть M Rn –
непустое выпуклое множество, f (x) = ( fi(x) | i
)T – вектор-функция, дей-
ствующая из Rn в Rm и определенная на M.
(а) Вектор-функция f (x) выпукла (вогнута) на M, если и только если выпуклы (вогнуты) на M ее координатные функции f
: Rn → R.
i
(б) Если функция f : Rn → Rm выпукла (вогнута) на M, то для любого b Rm
множество
M(b) = {x M | f (x) () b}
выпукло.
(в) Вогнутость (выпуклость) функции f на M эквивалентна выпуклости
(вогнутости) функции (–f ) на том же множестве.
(г) Если функция f выпукла на M и x – выпуклая линейная комбинация
векторов xi M с коэффициентами λi, то
f (x) ≤
(д) Если функции f1, …, fm выпуклы (вогнуты) на M, то любая коническая
линейная комбинация этих функций выпукла (вогнута) на M.
Доказательства утверждений (а)–(в) и (д) оставляем читателю в качестве упражнения. Утверждение (г) –
это неравенство Йенсена, доказательство: Карманов В. Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980
(разд. 2.4.6). Доказательство утверждения (е) для выпуклых функций: Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980. (Теорема 7 на с. 176); на вогнутые функции результат переносится
с помощью свойства (а) и теоремы 2.1. Доказательство утверждения (ж): Boyd S., Vandenberg L. Convex Optimi-
zation. Seventh printing with corrections. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2009 (разд. 3.2.2).
31
(е) Пусть F – произвольное семейство функций из Rn в R, выпуклых на M,
23
24
25
и для любого x M величина g(x) = sup{ f (x) | f F} конечна. Тогда функция
g(x) выпукла на M. Аналогично, если все функции из F вогнуты на M и величина
h(x) = inf{ f (x) | f F} конечна для любого x M, то функция h(x) вогнута на M.
(ж) Пусть функция f определена на M, A R
n×m
, b Rn. На множестве
N = {x Rm | A x + b M }
определим функцию g(x) = f (A x + b). Если f выпукла (вогнута) на M, то g(x)
выпукла (вогнута) на N.
Утверждение (б) теоремы 3.2 связывает выпуклость множеств и выпуклость / вогнутость функций. Утверждения (в) – (ж) позволяют доказывать выпуклость / вогнутость функций, полученных некоторыми преобразованиями из
функций, выпуклость/вогнутость которых известна.
Связь между выпуклыми/вогнутыми функциями и выпуклыми множествами указывает сформулированная ниже теорема 3.3.
Определения. Подграфиком (надграфиком) функции f : Rn → R на M Rn ,
называется множество {(x1, …, xn, y)T | (x1, …, xn)T = x M, y ≤ (≥) f (x)}.
Теорема 3.3 (критерий выпуклости/вогнутости функции) 23. Для того
чтобы функция f : Rn → R, определенная на выпуклом множестве M, была вогнута (выпукла) на этом множестве M, необходимо и достаточно, чтобы ее подграфик (надграфик) на M был выпуклым множеством.
Для функции, непрерывной на замкнутом множестве, критерий выпуклости / вогнутости упрощается.
Следствие 3.124. Если функция f : Rn → R определена и непрерывна на
выпуклом замкнутом множестве M, то она вогнута (выпукла) на M, если и
только если
f (0.5(x1 + x2)) ≥ (≤) 0.5( f (x1) + f (x2)) для всех x1 и x2 из M.
Следующий результат показывает, что выпуклые и вогнутые функции
обладают некоторыми свойствами гладкости.
Теорема 3.4 (о дифференцируемости по направлению)25. Если функция
f : Rn → R выпукла или вогнута на множестве M, то в любой внутренней точке
этого множества она непрерывна и в каждой точке x M имеет производную
по любому направлению h D(x, M).
3.1.3. Свойства дифференцируемых выпуклых и вогнутых функций
Следствие 3.2. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x0, то
касательная гиперплоскость к графику функции f в точке (x0, f (x0)) определяется уравнением
y = f (x0) + f '(x0), (x – x0).
Доказательство для выпуклой функции: Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980 (теорема 9 на с. 178). Для вогнутой функции рассуждения аналогичны.
Доказательство для вогнутой функции: Хуторецкий А. Б. Модели исследования операций. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006, следствие на с. 104. Для выпуклой функции рассуждения аналогичны.
Доказательство: Пшеничный Б. М. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1980. (Теорема 1.4 на с. 61, леммы 3.1 и 3.2 на с. 70).
32
Доказательство. По определению график функции f (x) есть множество
)(2x
xx
f
ji
n,1
26
27
28
{(x, y) | y = f (x)}. Это поверхность уровня 0 для функции F(x, y) = y – f (x). Урав-
нение касательной гиперплоскости к этой поверхности в точке (x0, f (x0)) R
n+1
имеет вид
F'(x0, y0), (x, y) = F'(x0, y0), (x0, y0),
где y0 = f (x0). Это эквивалентно уравнению –f '(x0), x + y = –f '(x0), x0 + y0, или
y = f (x0) + f '(x0), (x – x0). #
Теорема 3.5 (о касательной гиперплоскости) 26. Пусть функция f : Rn → R
дифференцируема на непустом выпуклом множестве M Rn, {x0, x} M.
Если f выпукла на M, то f '(x0), x – x0 ≤ f (x) – f (x0) ≤ f '(x), x– x0.
Если f вогнута на M, то f '(x0), x– x0 ≥ f (x) – f (x0) ≥ f '(x), x – x0.
Следствие 3.3 разъясняет геометрический смысл теоремы 3.5.
Следствие 3.3. Пусть функция f : Rn → R дифференцируема и выпукла
(вогнута) на непустом выпуклом множестве M Rn, y = h(x) – уравнение гиперплоскости, касательной к графику функции f в точке x0 M. Тогда f (x) ≥ (≤) h(x)
для всех x M.
Доказательство. Пусть функция f (x) выпукла на M и x0 M. По след-
ствию 3.2 уравнение гиперплоскости, касательной к графику функции f в точке
x0, имеет вид
y = h(x) = f (x0) + f '(x0), x – x0.
Из первого неравенства теоремы 3.5 получим f (x) ≥ f (x0) + f '(x0), x – x0 = h(x).
Для вогнутой функции доказательство аналогично. #
Таким образом, график дифференцируемой выпуклой или вогнутой
функции расположен «по одну сторону» от любой касательной к нему гиперплоскости.
Определение. Если функция f : Rn → R дважды дифференцируема в точке
x, то матрицу ее вторых частных производных
f ''(x) = (
| {i, j}
)
называют матрицей Гессе или гессианом функции в точке x.
Известно27, что вторые частные производные дважды непрерывно дифференцируемой функции не зависят от порядка дифференцирования, следовательно, матрица Гессе такой функции симметрична.
Теорема 3.6 (признаки выпуклости / вогнутости дифференцируемых
функций)28. Пусть функция f : Rn → R дважды дифференцируема на множестве
M Rn.
Доказательство: Павлов В. Н. Математическая экономика. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. (Лемма 1.1).
Никольский С. М. Курс математического анализа. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. § 7.7.
Доказательство утверждения (а): Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. –
М.: Наука, 1980. (Теорема 5 на с. 173, замечание 1 на с. 174). Доказательство утверждения (б): Berkovitz L. D.
Convexity and optimization in Rn. – New York: John Wiley & Sons, 2002. (Theorem 3.3). Утверждение (в) следует
из (а) и утверждения (в) теоремы 3.7. Утверждение (г) следует из (б) и утверждения (в) теоремы 3.7.
33
(а) Для выпуклости функции f (x) на M достаточно, а если int M , то и
1
,1 m
.,11mm
f (x) → max при условиях
(3.3)
x M,
(3.4)
gi(x) ≤ bi для i
,,11m
(3.5)
gi(x) = bi для i
,,11mm
(3.6)
29
необходимо, чтобы матрица f ''(x) была положительно полуопределена для любого x M.
(б) Если матрица f ''(x) положительно определена для любого x M, то
функция f (x) строго выпукла на M.
(в) Для вогнутости функции f (x) на M достаточно, а если int M , то и
необходимо, чтобы матрица f ''(x) была отрицательно полуопределена для любого x M.
(г) Если матрица f ''(x) отрицательно определена для любого x M, то
функция f (x) строго вогнута на M.
Из теоремы 3.6 следует, что для проверки выпуклости / вогнутости функций можно использовать признаки знакоопределенности квадратичных форм
(критерии Сильвестра), см. теорему 3.1.
3.2. Задача выпуклого программирования
3.2.1. Определение и основные свойства
Определение. Задачу (2.2) – (2.5) будем называть задачей выпуклого про-
граммирования, если M – выпуклое множество, на котором функция f вогнута,
функции gi выпуклы при i
и линейны при i
Таким образом, ЗВП имеет вид:
где M – выпуклое подмножество Rn, а функции f и gi обладают указанными в
определении свойствами.
Теорема 3.7 (о свойствах ЗВП)29. Для ЗВП (3.3) – (3.6) с множеством до-
пустимых решений X и множеством оптимальных решений X * справедливы
следующие утверждения.
(а) X – выпуклое множество.
(б) Множество X * выпукло.
(в) Множество X * содержит не более одной точки, если функция f (x)
строго вогнута.
(г) Всякое локальное решение задачи является ее оптимальным решением.
(д) Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема на X. Тогда x0 X *,
если и только если
'(x0), x – x0 ≤ 0 для всех x X.
f
Из утверждения (г) теоремы 3.7 следует, что признаки локального решения для ЗНП становятся признаками оптимального решения для ЗВП. По
Предлагаем читателю доказать утверждение (а), используя утверждение (б) теоремы 3.7, теорему 3.4 и
теорему 3.3. Доказательство утверждений (б)-(д): Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных
задач. – М.: Наука, 1980. (Теорема 1 на с. 170 и теорема 2 на с. 170).
34
утверждению (д) точка x0 X является оптимальным решением задачи, если и
n,1
)(0x
x
f
j
)(0x
x
f
j
1
,1 m
1
,1 mk
k,1
30
31
только если f (x) не возрастает в любом направлении h D(x0, X). Заметим, что
применительно к ЗНП утверждение (д) характеризует локальное (вообще говоря, не оптимальное) решение.
Следствие 3.4. Множество оптимальных решений ЗВП (3.3) – (3.6) может
быть пустым (неразрешимость), одноэлементным или бесконечным.
Доказательство. Пусть X
Если x1 x2 и {x1, x2} X
*
– множество оптимальных решений задачи.
*
, то все точки отрезка [x1, x2] принадлежат X
*
по
утверждению (б) теоремы 3.7. #
Следствие 3.5. Если функция f (x) непрерывно дифференцируема на
множестве X допустимых решений ЗВП (3.3) – (3.6), то внутренняя точка x0
множества X оптимальна тогда и только тогда, когда f '(x0) = 0n.
Доказательство. Пусть x0 – внутренняя точка множества X. Тогда в этой точ-
ке возможны все направления, в частности, координатные векторы ej ( j
) и
противоположные им векторы (–ej). Если точка x0 оптимальна, то по утверждению (д) теоремы 3.7,
= f '(x0), ej ≤ 0 и
= f '(x0), –ej ≤ 0.
Следовательно, f '(x0) = 0n.
Обратно, если f '(x0) = 0n, то f '(x0), h = 0 для всех h и точка x0 оптимальна
по утверждению (д) теоремы 3.7. #
Таким образом, если ЦФ стационарна во внутренней точке множества X,
то эта точка является оптимальным (не только локальным) решением ЗВП. Заметим, что множество допустимых решений задачи (3.3) – (3.6) не имеет внутренних точек, если в задаче есть хотя бы одно ограничение-равенство.
3.2.2. Теорема Куна–Таккера
В задачах нелинейного программирования условия Куна–Таккера являются необходимыми условиями регулярного локального решения. Следующая
теорема и следствие из нее показывают, что для регулярной задачи выпуклого
программирования условия Куна–Таккера являются достаточными условиями
оптимальности допустимой точки.
Теорема 3.8 (достаточные условия оптимальности)30. Если функции f и gi
для i
дифференцируемы в регулярной точке ЗВП (3.3) – (3.6), то эта точ-
ка является оптимальным решением задачи.
Теорема 3.8 указывает на важность признаков регулярности ЗВП. Самый
употребительный из таких признаков сформулирован ниже.
Теорема 3.9 (признак регулярности решения)31. Пусть в ЗВП (3.3) – (3.6)
функции gi для i
существует допустимая точка x0 такая, что gi(x0) < bi для всех i
Доказательство эквивалентного утверждения: Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации. – 2-е изд. /
А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов, В. В. Федоров. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. (Теорема 2.2, с. 149).
Там же, утверждение 3 теоремы 2.3, с. 157.
линейны, множество M является многогранным и
. Тогда вся-
35
кое решение задачи, в котором функции f и gi для i
k,1
k,1
k,1
1
,1 mk
.,1 k
0
y
32
дифференцируемы,
является регулярным.
Признак регулярности, сформулированный в теореме 3.9, – это условие
Слейтера: в некоторой допустимой точке x0 все нелинейные ограничениянеравенства выполняются как строгие неравенства. В таком случае говорят, что
x0 – относительно внутренняя точка множества допустимых рещений задачи.
Заметим, что если все ограничения линейны (k = m1), то условие Слейтера требует, чтобы существовало допустимое (не обязательно относительно внутреннее) решение.
Определение. ЗВП называют регулярной, если она удовлетворяет усло-
вию Слейтера.
Если множество M многогранно и все входящие в задачу функции дифференцируемы на M, условие Слейтера гарантирует регулярность любого оптимального решения ЗВП. Смысл этого условия позволяет выяснить следующая теорема.
Теорема 3.10 (критерий выполнения условия Слейтера) 32. Если для каж-
дого i
ЗВП (3.3) – (3.6) имеет допустимое решение xi такое, что gi(xi) < bi,
то задача удовлетворяет условию Слейтера.
Таким образом, если условие Слейтера не выполнено, то существует нелинейное ограничение-неравенство, которое для всех допустимых решений выполняется как равенство. Это противоречит требованию линейности ограничений-равенств в ЗВП.
Из теорем 3.8 и 3.9 получаем основной результат выпуклого программирования.
Теорема 3.11 (теорема Куна–Таккера). Пусть ЗВП (3.3) – (3.6) удовлетво-
ряет следующим условиям:
(а) множество M является многогранным;
(б) существует k ≤ m1 такое, что функции f и gi при i
емы на M, а функции gi для i
(в) существует допустимая точка x0 такая, что gi(x0) < bi для всех i
линейны;
дифференциру-
Тогда множество решений задачи совпадает с множеством ее регулярных
точек.
Вспомним, что точка регулярна в задаче (3.3) – (3.6), если она допустима
и при
= 1 удовлетворяет условиям (2.6), (2.7) и (2.9), причем принцип Ла-
гранжа (2.6), в зависимости от структуры множества M, может принимать форму (2.11) или (2.14).
Предположим, что ЗВП (3.3) – (3.6) с множеством допустимых решений X
удовлетворяет условиям теоремы Куна–Таккера. Пусть L* – множество всех пар
(x*, y*) X Y(P), для которых выполняются условия Куна–Таккера. Метод
множителей Лагранжа в рассматриваемой ситуации заключается в поиске пар
Доказательство: Гайлит Е.В. Математические модели и методы исследования операций. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2015.
36
(x*, y*) L*. Если такая пара найдена, то теорема 3.8 гарантирует, что x* – опти-
мальное решение задачи, а y* – соответствующий вектор множителей Лагранжа,
независимо от выполнения условия Слейтера. Если же оно выполняется, то, по
теореме Куна–Таккера, задача не имеет оптимальных решений, отличных от
точек x*, входящих в пары из множества L*.
Схема на рис. 8 дает сводку изложенных выше результатов, относящихся
к условиям оптимальности регулярной точки. Стрелки ведут от типов условий
(нижний уровень схемы) к постановкам задач оптимизации и от постановок – к
кратким формулировкам соответствующих условий.
37
Достаточные условия оптимальности регулярного решения;
при условии Слейтера – необходимые условия оптимальности допустимого решения
ЗНП (2.2) – (2.5), M = Rn.
УКТ:
)(
x
x
f
j
–
)(
1
x
x
g
y
m
i
j
i
i
= 0 для всех j;
i
y
(gi(x*) – bi) и
i
y
≥ 0 для i
.,11m
УКТ:
)(
x
x
f
j
–
)(
1
x
x
g
y
m
i
j
i
i
jj
jj
jjj
x
x
x
βесли,0
,αесли,0
,βαесли,0
для всех j;
i
y
(gi(x*) – bi) и
i
y
≥ 0 для i
.,11m
ЗНП (2.2) – (2.5), M = {x = (x, ..., xn)T | αj ≤ xj ≤ βj для всех j}.
ЗНП (2.2) – (2.5), M – выпуклое множество.
принцип Лагранжа:
),1,(
yxL
, x – x* ≤ 0 для всех x M;
i
y
(gi(x*) – bi) и
i
y
≥ 0 для i
.,11m
ЗВП (3.3) – (3.6), M – выпуклое множество.
Необходимые условия для
регулярного локального решения
ЗВП (3.3) – (3.6), M = {x = (x, ..., xn)T | αj ≤ xj ≤ βj для всех j}.
ЗВП (3.3) – (3.6), M = Rn.
Рис. 8. Сводка условий оптимальности (УКТ – условия Куна–Таккера)
38
38
3.3. Чувствительность к изменениям параметров
0
i
b
,,11m
0
i
b
,,11mm
m,1
1
,1 m
mm ,11
0
i
b
.,1 m
0
i
b
m,1
i
у
m,1
)(0b
b
V
i
=
i
у
для всех i
m,1
.
(3.7)
i
у
m
i
iii
bby
1
0
)(
33
34
Анализом чувствительности (или устойчивости) в теории оптимизации
называют изучение влияния изменений (возмущений) параметров задачи на оптимальное решение и оптимальное значение целевой функции. Параметрами
ЗВП будем считать правые части ограничений. В этом разделе будем считать,
что зафиксирована некоторая «исходная» ЗВП P0 в форме (3.3) – (3.6):
f(x) → max при условиях x M Rn, gi(x) ≤
для i
где M – выпуклое множество, f и gi для i
на M функции из Rn в R, функция f вогнута на M, функции gi для i
лы на M, ai R
1n
для i
,
R для i
для i
gi(x) = ai x =
– определенные
выпук-
Определения и обозначения
b0 = (
| i
)T.
Заменив в задаче P0 вектор b0 вектором b = (b1,…,bm)T Rm, получим воз-
мущенную задачу P(b).
Если задача P(b) разрешима, то оптимальное значение ее ЦФ обозначим
V(b). Это функция максимумов (или функция значений).
Понятно, что возмущенная задача P(b) – это ЗВП вида (3.3) – (3.6) и P0 = P(b0).
Теорема 3.12 (об устойчивости оптимального значения ЦФ) 33. Если за-
дача P0 регулярна и разрешима, то существует такая окрестность O Rm точки
b0, что:
(а) задача P(b) разрешима для любого b O;
(б) функция V(b) вогнута и непрерывна на O.
Если, кроме того, вектор множителей Лагранжа y* = (
| i
) для за-
дачи P0 определен однозначно, то функция V(b) дифференцируема в точке b0 и
V' (b0) = y*, то есть
Таким образом, для регулярной и разрешимой ЗВП вида (3.3) – (3.6) ма-
лые изменения правых частей ограничений не нарушают разрешимость задачи
и порождают малые изменения максимального значения ЦФ.
Если множители Лагранжа
в задаче P0 определены однозначно, то
можно оценить влияние изменений правых частей ограничений на максимальное значение ЦФ. В этом случае, по определению дифференцируемости функции в точке34,
V(b) – V(b0) =
Утверждения (а), (б) теоремы и равенства (3.7) эквивалентны следствию 29.1.5, теореме 29.1 и следствию 29.1.3 соответственно из книги: Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. Непрерывность V(b)
на O следует из теоремы 3.4.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: в 3 т. – Т. 2. – М.: Дрофа, 2004. С. 251 – 252.
+ о( |b – b0| ).
39
Следовательно, приращение максимального значения ЦФ приблизитель-
i
у
1
,1 m
1
,1 m
)(
xg
i
xbxbb)(lim
0
.)(lim
0
yby
bb
35
36
37
но равно сумме приростов, порожденных возмущениями правых частей ограничений. Если изменяется правая часть только ограничения с номером i, то
максимальное значение ЦФ изменяется со скоростью
.
Чтобы гарантировать устойчивость оптимального решения ЗВП, приходится наложить на нее дополнительные условия.
Определения и обозначения
Векторы x Rn и y = Y(P) удовлетворяют условиям строгой дополняющей
нежесткости в задаче P вида (3.3) – (3.6), если для каждого i
в произве-
дении yi(gi(x) – bi) ровно один сомножитель равен нулю.
Теорема 3.13 (об устойчивости оптимального решения). Предположим,
что:
(а) задача P0 разрешима, x* и y* – оптимальное решение задачи и соответствующий вектор множителей Лагранжа;
(б) целевая функция f (x) строго вогнута в окрестности точки x*;
(в) функции f (x) и gi(x) для i
(г) векторы
для i I(x*) линейно независимы;
дважды дифференцируемы в точке x*;
(д) для векторов x* и y* в задаче P0 выполнены условия строгой дополняющей нежесткости.
Тогда существуют определенные в некоторой окрестности точки b0 и
дифференцируемые в этой точке функции x(b) и y(b) такие, что x(b) – решение
задачи P(b), y(b) – соответствующий вектор множителей Лагранжа и
,
Если бы задача P0 имела решение x0 ≠ x*, то весь отрезок [x0, x*] лежал бы
*
в X
(по утверждению (б) теоремы 3.7). Но из предположения (б) теоремы 3.13
следует, что в некоторой окрестности точки x* нет оптимальных решений задачи P0, отличных от x* (по утверждению (в) теоремы 3.7). Следовательно, в
предположениях теоремы 3.13 задача P0 имеет единственное решение. Нетрудно показать, что при этих предположения вектор множителей Лагранжа y
*
тоже
однозначно определен35. Из предположения (г) теоремы 3.13 следует, что x* –
регулярное решение задачи P0 (см. теорему 2.11)36. Условия (б) – (д) обеспечивают невырожденность37 решения x*.
Из теоремы 3.13 следует, что малые возмущения правых частей ограничений порождают малые вариации оптимального решения и множителей Лагранжа. Тогда оптимальное значение ЦФ тоже мало изменяется, так как она непрерывна. Важно, что при этом и скорость изменения оптимального значения
ЦФ (определяемая множителями Лагранжа) подвергается лишь малым вариациям.
Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983. (Теорема 7 на с. 245).
Предлагаем читателю доказать, что из предположений (б) и (г) теоремы 3.13 следует строгая вогну-
тость по x функции L(x, 1, y*) в окрестности точки x*.
См. определение в книге: Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983. – С. 245.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]