Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ в информационных технологиях. Учебное пособие
.pdf
Дележ, который не доминируется никаким другим дележом, можно
считать в известном смысле «вполне устойчивым».
Определение. Множество всех недоминируемых дележей в
кооперативной игре с характеристической функцией v называется
С-ядром.
Любой дележ из С-ядра устойчив в том смысле, что ни одна из
коалиций не имеет ни желания, ни возможности изменить исход игры
Приведем важное необходимое и достаточное условие принадлежности дележа С-ядру.
Утверждение. Для того чтобы дележ принадлежал С-ядру
кооперативной игры, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
неравенство
S)(v
i
SI
для любой коалиции S I.
Доказательство. Необходимость. Пусть дележ принадлежит
С-ядру. Предположим, что найдется некоторая коалиция S I, для
которой
Sv .
i
Si
Функция v супераддитивна, поэтому
Обозначим
и составим вектор :
i
i
Из положительности имеем v
веркой получаем, что
i
IiS
SIi
\
iSI
SIi
\
)(v
S
i
})({v
i
Si
||
S
|\|
SI
({i}). Непосредственной про-
i
I,)(v , поэтому вектор
SiSSII
)(v})({v)(v)\(v)(v .
0})({v)(v)(v
,,
Si
.\,
SIi
является деле-
.
151
жом, более того, > . Последнее противоречит принадлежности де-
лежа к С-ядру. Следовательно,
Si
S)(v .
i
Достаточность. Предположим, что условие утверждения выполняется, а не принадлежит С-ядру. Тогда существуют некоторая
коалиция S и дележ
для всех i S. Отсюда получаем
, такой, что
i
Si
S
,v
i
Si
ii
S)(v
i
Si
. Это противоречие
доказывает утверждение.
Сформулированные теоретико-игровые понятия и свойства применяются для анализа систем, в которых процесс принятия решений
носит однократный характер, а компоненты системы описываются статическими величинами. Поэтому рассмотренные игры называются статическими. На практике реальные системы, как правило, описываются
параметрами, которые изменяются во времени, т.е.
для более адекватного описания систем требуется задать динамику изменения ее параметров. Математическими моделями систем в этом случае служат системы
дифференциальных уравнений или дискретные процессы, а допустимыми решениями являются некоторые функции времени. Игры, предметом
исследования которых являются конфликтные задачи об управлении
объектами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, называются
дифференциальными.
Пусть динамика компонент системы описывается векторным
дифференциальным уравнением
x
= f(x(t), u1(t), ..., un(t)), t0 t T, (3.49)
при начальном условии
x(t0) = x0,
где х Ет, f = (f1, f2, …, fm), ui Ui, i I, Ui – множество допустимых
управлений.
Если управление u(t) = (u
(t), u2(t), ..., Un(t)) зависит только от зна-
1
чения параметра t, то такое управление называется программным.
Управление u = u(t, х), которое в каждый момент времени зависит от
состояния системы, называется синтезированным или управлением в
синтезированной форме.
Стратегией игрока называется отображение, которое в каждый
момент времени t ставит в соответствие этому моменту времени
или
состоянию x(t) системы некоторое значение управления и. Стратегии в
зависимости от отображения также называются программными или
позиционными.
152
Обозначим через D множество стратегий игрока i. Будем предполагать, что множество допустимых управлений U = (U
таково, что применение любой стратегии из множества D = D
… D
для каждого начального состояния порождает единственное
n
U2 … Un)
1
D2
1
измеримое управление u(i) U и единственную траекторию x(t). Набор
стратегий = (
, 2, …, n), где (i Di) называется ситуацией в игре.
1
Каждой ситуации в игре соответствует значение функции выигрыша,
которую в общем случае можно определить следующим образом:
i
0
xt
,
0
21
T
t
0
TxHdttxhK
))(())(()...,,,(
iin
, (3.50)
где x(t) – траектория системы, реализующаяся в ситуации =
= (
, 2, …, n).
1
Дифференциальная игра, для которой задан момент ее окончания Т,
называется игрой с предписанной продолжительностью Т – t
.
0
Описанную дифференциальную игру п лиц с предписанной продолжительностью Т – t
динамикой (3.49) и функционалами выигрышей
0
(3.50) называют дифференциальной игрой в нормальной форме и обозначают
0
0
i
0
i
xt
,
0
.
IiKDxt
,,),(Г
В этом параграфе изложены лишь некоторые основные понятия
теории игр и возможности ее использования в системном анализе. Для
более глубокого ознакомления с этой теорией рекомендуем обратиться
к книгам [7, 8, 11, 16, 17, 20, 21].
3.5.2. Принципы оптимальности в иерархических
теоретико-игровых моделях
Мы уже упоминали о таких принципах оптимальности, используемых при принятии решений, как гарантированный результат и равновесие по Нэшу [20]. Здесь более подробно остановимся на понятиях равновесия по Нэшу и по Штакельбергу для дифференциальных иерархических игр.
Рассмотрим двухуровневую иерархическую игру, в которой игрок
, находящийся на первом уровне иерархии, называется центром. На
A
0
втором уровне иерархии находятся игроки B
описывается системой дифференциальных уравнений:
iiii
, B2, …, Вп. Динамика игры
1
,...,,2,1),,v,(),,(
00
niuygyuxfx
,v,,)0(,)0(],,0[
VUuyyxxTt
iiii
153
где и – управление центра; {vi} – управления игроков, выбираемые из
областей допустимых управлений U и V соответственно.
Для каждого игрока определены функционалы выигрышей:
i
T
0
0
T
0
;)v,,,()v,(
dtuyxhuH
(3.51)
,)v,,,()v,(
dtuyxhuH
iiiii
где hi, h0 – интегрируемые функции своих аргументов.
Целью каждого игрока является максимизация своего выигрыша.
Центр, используя программное управление, сообщает u(t) игрокам
нижнего уровня, а те максимизируют свои функционалы, т.е. их реакция
на управление центра следующая:
)(v t
есть управление, максимизирующее функцию Hi (u,
i
))((v)}(v{)v,(maxArg{)(
tutuHuR
ii
)(v
uV
ii
, (3.52)
v ) при задан-
i
ном управлении центра.
Центр, зная реакцию игроков нижнего уровня, выбирает управление
сматриваемой иерархической игре. Действительно,
)(tu , которое максимизирует функционал ))(v,(0uuH .
Ситуация
)v,(u является ситуацией равновесия по Нэшу в рас-
TT
0
000
0
0
uuHdtuuyxhdtuyxhuH
)).(v,())(v,,,()v,,,()v,(
Для всех i = l, 2, ..., п
T
00
T
uHdtuyxhdtuyxhuH
)v,()v,,,()v,,,()v,( .
iiiiiiiii
ii
Таким образом, ни одному из игроков невыгодно отклоняться от
ситуации
)v,(u , т.е. она является равновесной но Нашу,
Дадим определение равновесия по Штакельбергу. Предположим,
что центр выбрал программное управление u(t), тогда игроки нижнего
уровня определяют множество оптимальных реакций следующим
образом:
154
}v)v,()v,(,...v|v{)(
.
Игрок A0, зная множество оптимальных реакций игроков нижнего
уровня, выбирает такую стратегию и
*
0
*
uR
)(v
21 iiiiiin
21
*
, чтобы
n
uR
)(
210
VuHuHVVVuR
UuuHuH
)v...,,v,v,(min)v...,,v,v,(min
n
.
Управление и* называется оптимальным иерархическим решением
центра. Пара
)v,(**u где )(v
**
uR , называется ситуацией равновесия
по Штакельбергу в иерархической дифференциальной игре, а множество таких всевозможных пар – решением по Штакельбергу.
Предположим, что центр выбрал программное управление u(t).
Множество оптимальных реакций R(u), согласно определению решения
по Штакельбергу, есть множество ситуаций равновесия в бескоалиционной дифференциальной игре игроков нижнего уровня при фиксированном управлении центра. При выбранных функционалах выигрышей
(3.52) множество оптимальных реакций есть
Тогда ))(v,(maxArg
*
. Обозначим
Пара
Uu
)v,(**u является ситуацией равновесия по Штакельбергу и
uuHu
0
совпадает в данном случае с ситуацией равновесия по Нэшу
))((v)}v,(maxArg{)(
tuuHuR
U
v
ii
.
iii
**
).(v))((v
ttu
)v,(u .
Использование таких принципов оптимальности, как равновесия по
Нэшу и Штакельбергу, для двухуровневых иерархических игр является
вполне естественным, и они могут быть применены в процессе исследования большого числа систем, имеющих подобную структуру управления.
Однако это возможно и в том случае, когда система имеет и более
сложную многоуровневую структуру управления.
Рассмотрим многоуровневую иерархическую систему, в которой
иерархия управления определена следующим образом (рис. 3.12).
Центр (игрок A
) находится на первом уровне иерархии.
0
На k-м уровне иерархии располагаются игроки, входящие в непересекающиеся множества S
игроки первого уровня подчинены игроку A
I (k = (1, 2, ..., l); I = {1, 2, …, n}). Все
k
, игрок i k-го уровня иерар-
0
хии (k = 1, 2, ..., l – 1) имеет в своем подчинении множество игроков
S
F
1
. Множества Fi и Fj не пересекаются для любых i и j, неравных
k+1
между собой. Динамика игры описывается системой дифференциальных уравнений
155
А0 В1 В
2
B
r
1
B
B
11r
B
21r
31r
Рис. 3.12. Пример многоуровневой иерархической системы
где
есть управление игрока Li, которому подчинен игрок i;
v
L
i
uygyuxfx
ii
,)v,v,v,,(),,(
iFLiii
ii
,...,,2,1,v,
niVUu
–
v
F
i
вектор управлений игроков, подчиненных игроку i.
Функционалы выигрышей зададим следующим образом:
i
T
iFLi
0
T
,)v,,,()v,(
0
0
,
0
dtuyxhuH
....,,2,1,)v,v,v,()v,v,v,(
iFLi
iiii
nidtyxhuH
Центр, используя программное управление, сообщает игрокам
нижних уровней управление u(t). Игроки всех других уровней, за исключением последнего, также сообщают игрокам, нижних уровней свои
программные управления. Игроки нижнего уровня определяют свою
реакцию на управление центра и игрока более верхнего уровня, которому они подчинены:
Li
i
v
V
SiuuHuR
),v,(v)v,v,(maxArg)v,(
ii
ii
.
lLiiLi
Затем игроки более высоких уровней последовательно определяют
свою реакцию:
156
)v,(v)v),(v,v,(maxArg)v,(
uuHuR
.
Li
i
v
V
ii
LiiFLi
iii
Центр, зная реакцию игроков нижних уровней, выбирает управление
образом ситуация
)(tu , максимизирующее функционал )v,(0uH . Построенная таким
)v,(u является ситуацией равновесия по Нэшу в
многоуровневой иерархической игре.
Равновесие по Штакельбергу в многоуровневой игре определяется
следующим образом. Множество оптимальных реакций игроков из S
имеет вид
.
}v)v,v,()v,v,(|v{)v,(
VuHuHVuR
iii
iiiLiiLiiiLi
Для игроков более высоких уровней множество оптимальных реакций задается следующим образом:
i
iiLi
F
i
Fj
i
uHVuR
F
i
Fj
i
)v,(v
uR
ij
)v,(v
uR
ij
i
i
FLi
i
)v,v,v,(min|v{)v,(
i
FLi
i
.}v)v,v,v,(min
VuH
iii
Оптимальным решением центра в многоуровневой иерархической
дифференциальной игре называется u
*
ii
Si
1
1
Любой вектор )v...,,v,(
Штакельбергу, если
*
Lii
i
Si
2
LiiSiii
i
Si
2
u называется ситуацией равновесия по
uR для любого i I.
i
*
U, такое, что
*
uRuRuR
Lii
Si
l
uRuRuR
Lii
i
Si
l
**1*
n
***
)v,(v
Li
i
*
uH
1
0
)v,(v)v,(v)(v
i
)v...,,v,(min...minmin
n
.)v...,,v,(min...minmin
UuuH
)v,(v)v,(v)(v
10
n
Рассмотрим случай, когда оптимальные реакции являются одноэлементными. Построим множество оптимальных реакций для игроков
различных уровней. Для игроков нижнего уровня будем иметь
Li
i
V
v
Для игроков более верхних уровней получим
Li
i
V
v
ii
SiuuHuR
),v,(v)v,v,(maxArg)v,(
Lii
ii
i
Li
i
i
Li
i
.
l
)v,(v)v),v,(v,v,(maxArg)v,(
uuuHuR
.
LiiiF
i
i
157
Оптимальным решением центра в рассматриваемой иерархической
дифференциальной игре будет
*
а ситуация )v...,,v,(
u , где
**1*
n
))(v...,),(v,(maxArg
uHu ,
nUu
10
***
v)(viiu – равновесием по Штакель-
бергу.
Таким образом, решение по Штакельбергу и решение по Нэшу в
многоуровневой дифференциальной иерархической игре с указанными
функционалами выигрышей совпадают. Это обусловлено предположением о единственности точек максимума функционалов выигрышей
при всех значениях параметров. В общем случае решение по Нэшу не
совпадает с решением по Штакельбергу.
Для
нахождения ситуаций равновесия по Нэшу и по Штакельбергу,
отражающих оптимальное поведение как центра, так и подсистем,
требуется решить значительное количество задач линейного и нелинейного параметрического программирования. Причем, чем выше игрок
находится в иерархической структуре, тем больший объем информации
для принятия решения ему необходим, поскольку в силу иерархической
структуры принятия решений
игрок, делающий первый ход, для
нахождения своей оптимальной стратегии должен вычислить сначала
оптимальные стратегии всех прямо или опосредованно подчиненных
ему игроков.
3.5.3. Двухуровневые и ромбовидные иерархические структуры
управления
Рассмотрим двухуровневую иерархическую игру, моделирующую
процесс принятия решений в системе управления, для которой известны:
1) центр A
и множество I = {1, 2, ..., п} игроков нижнего уровня.
0
Центр обладает правом первого хода, т.е. выбирает первым свое управление и сообщает его игрокам нижнего уровня;
2) множество стратегий центра U и игроков нижнего уровня
V
V2 ... Vn;
1
3) на множестве U V
V2 ... Vn определены функции выиг-
1
рышей
uHH
2100 n
nii
21
)v...,,v,v,(
, (3.53)
niuHH
...,,2,1),v...,,v,v,(
. (3.54)
Все игроки стремятся максимизировать свои выигрыши. Будем
предполагать, что для любого u U множество оптимальных реакций
R(u) игроков нижнего уровня не пусто.
158
Рассмотрим частный случай описанной игры – двухуровневую
древовидную игру, которую иногда называют «веерной», характеризующуюся тем, что выигрыши игроков нижнего уровня описываются
функциями
)v,(
uHH
. (3.55)
iii
Обозначим эту игру через Г1. Из вида функций выигрышей (3.55)
игроков нижнего уровня можно сделать вывод, что выбор управления v
любым игроком i зависит только от управления центра. Поэтому множество оптимальных реакций игроков нижнего уровня можно представить в виде прямой суммы множеств оптимальных реакций каждого из
игроков.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Решение двухуровневой игры Г
центра решению двухуровневой игры Г
игроков является центр, а вторым – игрок с функцией выигрыша
где )v...,,v,v(v
.
Доказательство. В игре Г
а второго игрока – V = V
21 n
множество стратегий центра A0 есть U,
2
V2 … Vn. Для любого значения управле-
1
ния u U справедливо равенство
двух лиц, в которой одним из
2
uHuH )v,()v,( , (3.56)
Ii
vv
Ii
ii
uHuH
VV
ii
эквивалентно для
1
)v,(max)v,(max
ii
и, следовательно, множество оптимальных реакций игрока A1 R1(u) в
игре Г
где )v,(maxArg)(
представимо в виде
2
1
.
i
viiV
ii
)(...)()()(
uRuRuRuR
21
,
n
uHuR
Но поскольку множество оптимальных реакций игроков нижнего
уровня в игре Г
есть также
1
)(...)()()(
uRuRuRuR
21
,
n
то R(u) = R1(u). Следовательно, множества оптимальных реакций игроков нижнего уровня в играх Г
выигрыша центра в обеих играх одинаковы и R(u) = R
и Г2 совпадают. Учитывая, что функции
1
1
(u), получим,
что множества оптимальных решений центра в них также совпадают, а,
следовательно, решения игр Г
и Г2 эквивалентны.
1
159
i
Замечание. Теорема остается справедливой и для функций
uHH )v,( , где параметр
Ii
iii
> 0.
i
Рассмотрим пример из области математической экономики [12],
иллюстрирующий проблему установления рациональных цен на товары
и ресурсы. В качестве модели используется веерная иерархическая
система.
Пусть известен общий объем товаров Q, производимых промышленностью за фиксированный промежуток времени (Q – вектор с поло-
жительными компонентами). Все потребители товаров разбиты на n
однородных групп, каждая
(функцию выигрыша) H
вектор v
i
характеризует объем товаров, закупаемых i-й группой. Сум-
из которых имеет свою функцию полезности
(vi), заданную на пространстве товаров, где
i
марный объем товаров, закупаемых всеми группами, ограничен векторной величиной Q, т.е.
i
n
i
. (3.57)
EQQ1,v
m
Управление центра u = (p, s) заключается в выборе вектора цен на
товары p = (p
платы) каждой группы потребителей, т.е. общего количества денег s
, p2, …, pn) и установлении уровня дохода (заработной
1
i
получаемого всеми потребителями i-й группы за данный промежуток
времени. Множество допустимых управлений i-й группы опишем следующим образом:
ii
iii
i
nispspV
...,,2,1},v,,0v|v{),( .
где <p, vi> – скалярное произведение векторов p и vi.
Оптимальные стратегии (управления) i-й группы образуют множество ее оптимальных реакций
.
ii
При этом для всех ),(v
i
i
spV
spR должно выполняться условие
ii
i
)v(maxArg),(
HspR
i
),(v
ii
(3.57). Для этого зададим множество допустимых управлений центра
следующим образом:
ii
ni
1
ii
.
nispRQspspU
...,,2,1),,(vv,0,0|),(
Критерий эффективности (функцию выигрыша) центра зададим в
виде
160
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]