Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ в информационных технологиях. Учебное пособие
.pdf
Если динамически устойчивыми оказываются все оптимальные
H
H
управления, то говорят о динамической устойчивости решения и принципа оптимальности.
Вопрос динамической устойчивости тесно связан с выбором принципа оптимальности. Существует целый ряд принципов оптимальности,
для которых оптимальные решения оказываются динамически устойчивыми. К таким принципам относятся оптимальность по Парето и Слейтеру, равновесие
по Нэшу и ряд других. Существуют также принципы
оптимальности, которые не обладают свойством динамической устойчивости.
В рамках данного параграфа мы покажем динамическую устойчи-
вость Парето-оптимальных решений. Действительно, пусть
0
ний) в многокритериальной динамической задаче оптимизации
0
, T – t0) для начального состояния x0 с предписанной продолжитель-
Г(x
ностью T – t
0
ствующая траектория x(t), при которых в конце процесса реализуется
оценка H
),(
tTxP
– Парето-оптимальное множество оценок и
0
0
)),((
tTxP – Парето-оптимальное множество решений (управле-
0
. Пусть {H
0
),(
tTxP . Предположим, что выбраны управление u(t) и соответ-
0
*
= {H
*
}. Это означает, что управление u(t) таково, что x(t)
i
*
} = H* – вектор оценок из множества
i
в момент времени Т (в момент окончания процесса) проходит через точку х(Т), в которой Н(х(Т)) = {H
*
стей H
= {H
*
}. Пусть
i
системы из начального состояния x
множества вдоль траектории x(), можно заметить, что
Из (3.12) имеем
Поскольку вектор H* = {H
множеству, то не существует такого вектора
0
),,(
tTx что
0
*
HH
ii
дует, что тем более это имеет место для множества
Tt
0
. Следовательно, вектор оценок H* = {H
одним из векторов множества
жит Парето-оптимальному множеству текущей задачи с начальным
условием х() и продолжительностью Т – . Таким образом, вектор H
(x(T))} равно как раз вектору полезно-
i
tTC
0
– множество достижимости управляемой
TT
0
. Рассматривая изменение этого
21
))(())((
xCxC
, Tt
21
TxTx . (3.13)
*
} принадлежит Парето-оптимальному
i
2211
*
'
. (3.12)
210
)),(()),((
, принадлежащего
для всех i = l, 2, ..., п. Поэтому из (3.13) сле-
Tx ,
*
} не доминируется ни
i
)),((
Tx , или, что то же, принадле-
)),((
*
121
во всех текущих задачах остается Парето-оптимальным при движении
системы вдоль оптимальной траектории х(). Поскольку вектор полезностей Н
*
был выбран произвольно из множества ),(
P
0
tTx
, то это
0
означает динамическую устойчивость любого Парето-оптимального
решения, а следовательно, и Парето-оптимального множества в целом.
3.2.2. Принцип максимума в многокритериальных задачах
Мы уже говорили, что основным методом решения многокритери-
альных задач является их скаляризация и рассмотрение -свертки исходной задачи. Это позволяет заменить многокритериальную задачу
оптимального управления на задачу с одним критерием, а затем воспользоваться для отыскания оптимальных решений принципом максимума Понтрягина. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Критерий качества управления выберем в виде
UuExuxFx
,),,(
m
0
0
T
t
0
,
],[,)(
Tttxtx . (3.14)
0
))((),(),(
TxHdtuxfuxK
00
. (3.15)
Однокритериальной задачей оптимального управления называется
задача
max),( uxK ,
Если в правой части выражения (3.15) ,0),,(
качества называется терминальным, а если H
0
Uuxtxuxfx ,)(),,(
0
. (3.16)
tuxf то критерий
0
(x(T)) 0 – интегральным.
0
Существует стандартный способ сведения интегрального критерия
к терминальному с помощью увеличения числа фазовых переменных.
В однокритериальных задачах поступают следующим образом.
Положим
t
duxftx
))(),(()(
00
t
0
Тогда x0(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
00
.
))(),(()(
tutxftx
(3.17)
при начальном условии x(t0) = 0.
122
Добавим уравнение (3.17) с начальным условием к системе (3.14).
Критерий качества (3.15) примет вид
))(()(),(
TxHTxuxK
00
.
Очевидно, что полученный критерий является терминальным. Поэтому, не умаляя общности, рассмотрим однокритериальную задачу с
терминальным критерием
Сформулируем для задачи (3.18) принцип максимума Понтряги-
на. Пусть u
*
(t), x*(t) – оптимальные управления и траектория в задаче
(3.18). Тогда существует вектор-функция
что если мы определим функцию Гамильтона
то будут выполняться следующие необходимые условия:
m
ji
1
j
T
)(
i
max))((
0
**
TxH ,
0
Uuxtxuxfx ,)(),,(
0
такая,
m
1
i
j
)()(
tt
x
*
TxH
0
x
i
ii
**
),(
uxf
, i = 1, 2, …, m; (3.20)
i
))((
, i = 1, 2, …, m; (3.21)
Uu
. (3.18)
))(...,),(()(
1
uxftuxB
),()(),,( , (3.19)
. (3.22)
))(,,(max))(,,(
tuxBtuxB
ttt
m
Принцип максимума дает нам необходимые условия оптимальности и позволяет найти управления, которые могут оказаться оптимальными. Для того чтобы найти эти управления, необходимо сделать следующее:
1) записать функцию Гамильтона в виде (3.19), подставив соот-
ветствующие функции
),( uxf
из системы дифференциальных уравне-
i
ний (3.14);
2) выразить с помощью условия (3.22) управление и как функцию
остальных переменных:
),(
xuu ; (3.23)
3) записать систему дифференциальных уравнений
123
i
,
xB
i
B
x
i
i
i
,
T
)(
)(
0
))((
0
, i = 1, 2, …, m;
x
i
0
xtx , i = 1, 2, …, m; (3.24)
ii
TxH
4) подставить в систему (3.24) управление (3.23) и найти ее реше-
*
(t), *(t);
ние x
5) подставить найденные функции x
управление u
*
(t).
*
(t), *(t) в (3.23) и найти
Перейдем теперь к рассмотрению многокритериальной задачи.
Пусть динамика системы описывается векторным уравнением
0
Uuxtxuxfx ,)(),,(
0
. (3.25)
Относительно управления и выполнены все предположения, обеспечивающие существование и единственность решения системы (3.25).
Введем вектор оценок с компонентами
Hi (x, и) = Hi (х(T)), i = 1, 2, ..., n, (3.26)
где функции Hi (x(T)) непрерывно дифференцируемы. Пусть C
множество достижимости системы (3.25), а
(x(t
), T – t0) = {H(x(T)): x(T) C
0
T – t(x0
)} –
T – t(х0
) –
множество оценок.
Для отыскания решения многокритериальной задачи (3.25), (3.26),
которую обозначим T(x
виде -свертки, т.е. рассмотрим однокритериальную задачу
0
, Т – t0), воспользуемся ее представлением в
n
1
i
TxH ,
ii
0
max))((
0
Uuxtxuxfx ,)(),,(
. (3.27)
Выберем в качестве принципа оптимальности оптимальность по
Парето. Из леммы 3 нам известно, что отношение Парето будет -отделимо при положительных . Поэтому будем считать, что в задаче (3.27)
> 0 (i = 1, 2, ..., п).
i
Тогда из теоремы 4 получим, что любое оптимальное решение
(3.27) будет Парето-оптимальным. Принцип максимума для задачи
(3.27) формулируется следующим образом.
124
Пусть u*(t), x*(t) – оптимальные управление и траектория в задаче
)(...,),(),(()(
tttt
(3.27). Тогда существует вектор-функция
такая, что если мы определим функцию Гамильтона
то будут выполняться следующие необходимые условия:
m
tt
ii
j
1
T
)(
ii
**
m
i
1
**
uxf
i
)()(
x
i
*
))((
j
x
i
Uu
uxftuxB
),()(),,( , (3.28)
ii
),(
mi
...,,2,1,
mi
...,,2,1,
))(,,(max))(,,(
tuxBtuxB
. (3.31)
21
; (3.29)
, (3.30)
m
Алгоритм использования принципа максимума тот же, что и для
однокритериальной задали.
Если в задаче (3.27) коэффициенты
неотрицательны, то получен-
i
ное оптимальное решение -свертки многокритериальной задачи в
соответствии с теоремой 4 будет оптимальным по Слейтеру (или слабо
эффективным).
Контрольные вопросы
1. Назовите последовательность действий, позволяющих найти
управление на основе использования принципа максимума.
2. Какие условия оптимальности дает принцип максимума.
3.3. ЗАДАЧА СБЛИЖЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ
ТОЧКАМИ
В этом параграфе мы рассмотрим метод отыскания Парето оптимальных решений в многокритериальной задаче сближения с несколькими целевыми точками. Приложения этой задачи разнообразны – от
чисто технических до экономических.
Пусть состояние некоторой системы описывается в начальный
0
момент времени t
отрезке времени [t
вектором
0
, T] описывается векторным дифференциальным
0
Ex
. Динамика развития системы на
m
уравнением
125
,),,(
EUuExuxfx
. (3.32)
im
Каждому начальному условию x(t0) = x0 и измеримому программному управлению u(t) при t [t
, Т] соответствует (при выполнении
0
некоторых требований к правой части уравнения (3.32)) единственная
траектория, определенная на отрезке [t
tT
0
Пусть
0
)(
xC
– множество достижимости системы (3.32), т.е.
, Т].
0
множество состояний x(Т), в которых может оказаться система в момент
времени Т при всевозможных допустимых управлениях. Предположим,
что это множество выпукло и компактно и имеет гладкую границу.
Будем считать для удобства изложения, что управлением в модели
распоряжается некоторый субъект управления, который называем цен-
A0, а конечное состояние системы x(Т) оценивается несколькими
тром
«экспертами» B
, B2, …, Bn. Каждый из экспертов в соответствии со
1
своим пониманием стоящих перед системой целей развития определяет
целевую точку M
. Целевые точки M, могут находиться достаточно
i
близко друг от друга, однако предположение об их совпадении было бы
слишком сильной идеализацией.
tT
0
В результате полезность каждой точки x(T) )(
0
xC
может
быть оценена центром с точки зрения ее близости к целевым точкам
, ..., Мn. Поэтому получаем связанный с каждой точкой х(Т) вектор
М
1
оценок, который называется также вектором экспертных оценок:
))}(({)}),(({ TxHMTx
ii
. (3.33)
где – евклидово расстояние между точками х(Т), Mi.
Математическая задача сводится к нахождению оптимальных траекторий развития в смысле векторного критерия Н(х). Напомним, что
управление
вует такого управления u(t), что
и хотя бы для одного i0
)(tu называется оптимальным по Парето, если не сущест-
nituTxHtuTxH
...,,2,1)),(),(())(),((
ii
))(),(())(),((
ii
00
tuTxHtuTxH
,
,
где H(x(T), u(t)) – вектор оценок при использовании управления u(t), a
x(t) – соответствующая траектория.
Оптимальное по Парето управление мы будем обозначать через u
а соответствующую траекторию – через x
P
(t).
P
,
126
Определим структуру множества Парето в рассматриваемой задаче.
tT
0
0
)(
xC
В множестве достижимости
имеется своя наилучшая точка х(Т), такая, что
у каждого эксперта Bi
),(min)),((
MMTx
.
ii
tT
0
0
)(
xC
Однако, вообще говоря, ни один из Вi, не может гарантировать
достижения своего наилучшего результата. Можно ожидать, и это естественно, что в результате анализа экспертных оценок в начале процесса
центр ограничится рассмотрением множества терминальных точек,
заключенных в некотором смысле «между» наилучшими точками для
каждого из В
.
i
Покажем, что именно множество точек такой структуры соответствует множеству оптимальных по Парето решений.
Каждой точке
Обозначим через
0
)(tTCTx соответствует вектор
0
1 n
MTxMTxTxH
tT
00
0
)}()(:))(({),(
xCTxTxHt
))),((...,),),((())((
.
множество всевозможных реализуемых в момент Т полезностей, а под-
0
),(
множество множества
мальных по Парето управлений, обозначим через Р(x
Пусть }...,,2,1,{conv
ˆ
пуклая оболочка точек M
xt , соответствующее множеству опти-
0
0
, где }...,,2,1,{conv niM
i
.
i
))}(({)(
TxHxPp
niMM
0
):
.
i
– вы-
Обозначим через оператор ортогонального проектирования из
пространства E
ортогональной проекцией точки
точку
на некоторое выпуклое компактное множество В. Под
m
)( BxEx
m
на В будем понимать
BxB , такую, что
. (3.34)
),(min),,( yxxx
B
By
Данную точку назовем образом, а точку х – прообразом оператора
проектирования. Под ортогональной проекцией точки х В на В будем
A
понимать саму точку х, а под ортогональной проекцией
некоторо-
B
го множества А на множество В – множество ортогональных проекций,
входящих во множество A точек на В.
127
Имеют место следующие вспомогательные утверждения, которые
мы приведем здесь без доказательств.
Утверждение 1. Пусть В – замкнутое выпуклое множество в
m
Е
и х Еm – некоторая точка, не принадлежащая В. Тогда для всех
у В справедливо неравенство
Рассмотрим множество
]1,0[ , и выберем в пространстве Е
надлежат множеству
. Введем функцию
Утверждение 2. Из 0)(
0)( F при всех )1,0(
.
Утверждение 3. Пусть
многогранник в
и
r
Qx существует хотя бы одно }...,,2,1{ qi
E с вершинами
m
),(),(
QxQy .
ii
Утверждение 4. Пусть
ник в
странства
которой
E с вершинами
m
E , не принадлежащие rQ . Если найдется точка rQ для
m
xy , то хотя бы для одного }...,,2,1{ qi
),(),(
но неравенство
),(),( yxyx
B
.
21
m
)1( yy
точки x1 и х2, которые не при-
21
xxF .
1
,
Ey
),(),()(
2
,
m
F при , равных 0 и 1, следует, что
r
Q – r-мерный замкнутый выпуклый
QQQ ...,,,
. Тогда для всех
q
21
, такое, что
r
Q – r-мерный замкнутый многогран-
QQQ ...,,,
, а x, у – некоторые точки про-
21
q
выполне-
),(),(
QxQy
.
ii
В справедливости данных утверждений нетрудно убедиться, рассмотрев их геометрическую иллюстрацию в пространствах Е
или Е3.
2
Рассмотрим различные случаи расположения точек
tT
0
0
xC
.
1.
MMM ...,,,
и области достижимости )(
21
n
tT
0
ˆ
0
)(
xCM
. В этом случае целевые точки недостижи-
мы (рис. 3.6).
Введем функцию
и множество
{
ˆ
),(),'()(
xyF
}';
.
yyMyY
tT
0
0
)(
xC
Ey
Qy
,
m
r
128
~
T–t
М
2
М
3
М
1
М
4
0
С
(x0)
Рис. 3.6. Случай 1
Для определения возьмем
Yy
:
),'((min),'( yyyy
Yy
.
Такая точка существует, так как Y компактно. По определению
y
точки
из утверждения 3 вытекает неравенство
хотя бы для одного ni ...,,1
любых
которой
для всех х из (3.34) справедливо неравенство F(y) < 0. Тогда
),(),'(
MxMy
, т.е. )()'( xHyH
0
).()'(
xPyH
Покажем, что, кроме точек множества
tT
0
)(
xC
нет точек, обладающих свойством (3.35). Это значит, что для
0
tT
0
0
\)(
Рассмотрим множества
ˆ
1
,ˆ(conv
; MM
ˆ
MxCx
tT
0
tT
0
найдется точка My
0
xC
)(
ii
ˆ
)
MMM
0
)(
xC
ii
. А это означает, что
ii
ˆ
, в множестве
M
tT
0
0
xC
)(
, в
nixHyH
...,,2,1),()~( . (3.35)
ˆ
2
.
conv
ˆ
tT
0
0
xC
)(
ˆ
tT
0
C
129
ˆˆ
M
T–t
M
^
Очевидно, что
tT
0
0
существует My
ˆ
\)(
MxCx
1
MM
, согласно утверждению 3 для любых
12
~
, удовлетворяющий не-
ˆ
tT
0
0
xC
)(
равенству (3.35).
Пусть теперь
скольку множество
tT
0
0
)(
– граница множества )(
ˆ
Mx
0
)(
где
1
ˆ
tT
0
0
xC
)(
tT
0
xC
tT
0
xC
ˆ
, а
\
2
tT
0
0
)(
xCM
(ввиду пустоты множества )(
,
ˆ
MMx
tT
0
0
xC
)(
0
)(
xC
по определению выпукло и
)1(
ˆ
M
– ее образ на
x
ˆ
M
tT
0
0
xC
), то существует точка
,
xx
]1,0[
. Эта точка явля-
ется искомой, ибо она удовлетворяет неравенству (3.35).
Итак, только точки множества
(3.35). Следовательно,
0
обладают свойством
|)({)(
.
ˆ
M
tT
0
0
xC
)(
ˆ
}
MyyHxP
tT
0
0
)(
xC
Таким образом, в этом случае Парето-оптимальные точки
являются проекциями выпуклой оболочки целевых точек.
tT
0
ˆ
2.
Из утверждения 3 следует, что в множестве
ˆ
My
чек
, нет точек, обладающих свойством
ибо для любого Mx
, i = 1, 2, …, n.
ii
0
).(
Все целевые точки достижимы (рис. 3.7).
xCM
)()( xHyH
, i = 1, 2, …, n, Mxˆ ,
ii
ˆ
существует )(
ˆ
tT
0
xM
, такое, что
ˆ
M
)()( xHH
М
М
2
= P(x0)
1
0
С
(x0)
М
3
М
4
Рис. 3.7. Случай 2
ˆ
. По-
tT
ˆ
0
xC
0
,
)(
, кроме то-
0
xCM
P
)(tx
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]