Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ в информационных технологиях. Учебное пособие
.pdf
Кроме того, для любого Mx
x
x
M
M
)()( xHyH
выполняется хотя бы для одного i.
ii
ˆ
и всех
ˆ
My
неравенство
Мы установили, что Парето-оптимальными могут быть только
векторы выигрышей на множестве М. Покажем, что все векторы этого
множества являются таковыми.
ˆ
My
, y
Пусть x,
но так как y
Поэтому )()(
, то
xPyH .
Пусть утверждение справедливо для r = k – 1. Рассмотрим луч
. Отрезок с концами М1 и М2. Имеем
),(),(
xMyM
либо ),(),(
11
0
),(),(),(),(),(
MxxMMyyMMM
,
212121
xMyM
.
22
z
с началом в точке х, проходящий через у, если r = k.
Тогда существует точка
Очевидно, что z лежит на границе
мерной грани k-мерного многогранника
Zz
, такая, что
x
ˆ
ZMz
x
.
),(max),(
zxzx
ˆ
, т.е. принадлежит (k – 1)-
ˆ
. По индукции
0
)()(
xPzH
Тогда по определению Парето-оптимального множества существует
хотя бы одно i
Учитывая, что
, для которого )()(
0
.
),(),(
MxMz
ii
00
zxy )1(
, ]1,0[ , имеем неравенство
MxMzxMy
т.e. ),(),(
MxMy .
ii
00
Поменяв местами х и у, аналогично получим, что
Таким образом, для всех
0
)()(
xPyH . Следовательно, множество )(0xP имеет вид
0
|)({)(
и только для них
tT
0
iii
xHzH
, или, что то же,
ii
00
),(,)1((),(
000
ˆˆ
MMy
tT
0
0
xC
)(
ˆˆ
}
MMxxHxP
0
)(
xC
.
MxMxMxMz
iiii
0
xPxH .
,),(),()1(),(),()1(
0000
)()(
x
.
131
3. Пусть точки Мi, i = 1, 2, …, n, расположены таким образом, что
M
T–t
М
T–t
P
tT
0
ˆ
0
)(
(рис. 3.8). Тогда
xCM
0
|)({)(
ˆ
tT
0
0
xC
)(
tT
0
0
)}(
xCMxxHxP
(в этом случае все целевые точки недостижимы, но цели экспертов
сильно отличаются друг от друга).
Доказательство этого факта следует из предыдущего случая, если
tT
0
множества
ˆ
и )(
4. Рассмотрим общий случай расположения точек М
относительно множества
0
xC
поменять местами.
tT
0
xC
0
)(
(рис. 3.9).
М
3
, i = 1, 2, …, n
i
М
2
0
С
(x0)= P(x0)
М
4
М
1
М
5
Рис. 3.8. Случай 3
М
М
1
2
(x0)
М
4
0
С
(x0)
3
Рис. 3.9. Случай 4
132
Рассмотрим два подмножества множества индексов целевых точек
: ,
1
NNNNN
2121
tT
0
, )}(|{
i
xCMNiN
NN 0, }...,,2,1{ nN
21
0
)}(|{
2
i
tT
0
.
Для этого случая множество Парето-оптимальных оценок имеет
вид
0
|)({)(
.
ˆ
}
MxxHxP
tT
0
0
)(
xC
Покажем это. Если N1 = 0, то мы находимся в условиях случаев 1
или 3 соответственно, когда
tT
ˆ
если N2 = , то )(
Будем считать, что N
0
xCM
tT
ˆ
0
, и мы находимся в условиях случая 2.
1
ˆˆ
,
11
Тогда
0
Пусть
'
, )(
tT
Нужно показать, что
0
)(
0
xCM
, N2 0. Выведем обозначения:
0
)(
0
xC
0 или MxC
tT
0
0
)(
xCMM
1
ˆ
My
0
)(
, (3.37)
tT
0
0
)(
ˆˆ\ˆˆ
MMMM .
ˆˆˆ
, 'yx
ii
MMM
tTtT
0
tT
0
.
0
2
)(
xCxC
0
xCx
)()'( xHyH
ˆ
,
12
. (3.36)
хотя бы для одного Ni.
Для этого рассмотрим два варианта:
1)
ˆ
'
My . Так как MM
1
ˆˆ
, тогда доказательство неравенства
1
(3.37) проводится таким же образом, как в случае 2.
ˆ\ˆ
2)
(3.36) и
ство
0
0
_
Yy
, где }'|
__
yxyy
('
)(
),(),'(
. Поэтому неравенство (3.37) вытекает из утвер-
)
. Тогда для любых x из
1
ˆ
{
2
ждения 4. Таким образом, множество
ˆ
MMMy
tTtT
0
2
0
)(
xCxC
yyMyY
tT
0
0
)(
xC
состоит только из
, выполняется неравен-
ˆ
M
tT
0
0
xC
)(
точек, удовлетворяющих условию (3.37).
,
0
xCMNiN
133
Покажем, что, кроме точек множества M
~
~
~
tT
0
0
)(
xC
нет точек, обладающих свойством (3.37), т.е. что для любых
tT
0
0
\)(
которой
для всех Ni
Рассмотрим множество
tT
0
0
существует точка
ˆ
\)(
MxCx
3
),(),~(
MxMy для всех Ni
ii
Пусть теперь
искомая (см. утверждение 2), т.е. xy
ˆ
, но существует точка
ˆ
M
Mx
tT
0
0
xC
)(
)1(
ˆ
M
ˆ
MxCx
tT
0
найдется такая точка My
0
xC
)(
),(),~(
MxMy
ii
ˆ
conv
3
.
. Для любых
.
ˆ
\
. Если
3
, и в соответствии с утверждением 3
xx
MxMx
ˆ
MMx
tT
0
0
xC
)(
~
ˆ
M
),(),'(
для всех i = 1, 2, ..., n,
ii
, в множестве
tT
0
, такая, что
M
. Если же
'
ˆ
tT
0
0
xC
)(
, для
tT
0
xC
ˆ
MM
0
xC
)(
ˆ
My
tT
0
3
0
xC
)(
ˆ
, то точка y
Mx
ˆ
1
ˆ
M
ˆ
Mx
tT
0
2
0
)(
xC
ˆ
0
)(
–
ˆ
, то
Mx
2
, где
т.е. х' есть искомая точка yˆ.
Проведенный анализ всех случаев взаимного расположения целевых точек и множеств достижимости дает конструктивный способ построения Парето-оптимального множества в задаче сближения с несколькими целевыми точками и позволяет определить геометрическую
структуру множества Парето-оптимальных концов траекторий движения системы.
Контрольные вопросы
1. Перечислите возможные случаи расположения точек M и мно-
жества достижимости.
3.4. ОПТИМИЗАЦИЯ В СИСТЕМАХ С ИЕРАРХИЧЕСКОЙ
СТРУКТУРОЙ
Понятие иерархической структуры невозможно определить одной
сжатой формулировкой. Однако можно выделить ряд существенных
характеристик, присущих всем иерархическим системам. Во-первых,
совокупность подсистем, составляющих данную систему, имеет последовательное вертикальное расположение. Во-вторых, устанавливается
приоритет действий, принятия решения. В-третьих, результаты действий подсистем верхнего уровня зависят от действий нижнего уровня.
134
Таким образом, любая иерархия состоит из вертикально соподчиненных подсистем.
На деятельность подсистемы любого уровня (кроме верхнего) непосредственное воздействие оказывают подсистемы, расположенные на
более верхних уровнях. Хотя такое воздействие направлено сверху вниз,
успех действия системы в целом и каждого уровня зависит от поведения
всей элементов системы. Понятие приоритета действий предполагает
что вмешательство подсистем верхнего уровня предшествует действиям
более низких уровней. Поэтому успешность работы подсистем вышестоящих уровней зависит не только от собственных действий, но и от
реакций подсистем нижних уровней на вмешательство.
Подсистему самого верхнего уровня будем называть центром, а
подсистемы более низких уровней – элементами.
В системах управления элементам предоставлено
право вырабатывать определенные управляющие воздействия принимать решения.
Поэтому наряду с иерархией системы говорят об иерархической структуре управления.
Иерархическая структура управления в сложной системе представляет собой совокупность уровней управления, следующих друг за другом в порядке определенного приоритета. Между элементами различных уровней иерархии существуют как вертикальные, так и
горизон-
тальные связи.
Появление иерархической структуры в системах управления и
принятия решений обусловлено наличием большого объема информации об управляемых процессах в системе, невозможностью обработки
этой информации и принятия решения одним управляющим центром, а
также существующей в реальных системах децентрализацией процесса
принятия решений, когда элементы, подчиненные центру, вырабатывают управляющие
воздействия исходя из указаний центра и с учетом
собственных интересов.
Теория иерархических систем управления в настоящее время
достаточно хорошо освещена в литературе. Одними из первых работ,
посвященных систематическому исследованию иерархических систем
управления, являются, например, работы [1 – 3].
Рассмотрим математическую модель простейшей двухуровневой
иерархической системы управления. Пусть центру А
менты системы управления B
, B2, …, Bn, которые в дальнейшем будем
1
подчинены эле-
0
называть подсистемами. Центр вырабатывает управляющее воздействие
u = {u
B
1
рают собственные управления {v
управлений V
игроком А
, u2, …, un} и сообщает его подсистемам нижнего уровня
1
, B2, …, Bn, которые, получив информацию о решении центра, выби-
} из некоторых множеств допустимых
i
(u), V2(u), …, Vn(u), зависящих от выбора управления u
1
.
0
135
,
Обозначим через U множество допустимых управлений центра.
Управление u будем называть допустимым, если для любого i = 1, 2, …,
n множества V
Если для любого u U все множества V
(u) не являются пустыми.
i
(u) состоят из единствен-
i
ных управлений, то в этом случае центр обладает полной информацией
о реакции подсистем нижнего уровня на свое управление.
Пусть H
терии оптимальности подсистем B
стремится максимизировать свой функционал. Если множества V
состоят из единственных управлений, т.е. V
бирает свое управление u
а значения функционалов Hi будут равны
(u, v) – критерий оптимальности центра, a Hi (ui, vi) – кри-
0
*
так, чтобы
0
*1*
11
22
, B2, …, Bn. Каждый из элементов
1
(u) = {vi (u)}, то центр вы-
i
**
, (3.38)
0
Uu
))(v,(max))(v,(
uuHuuH
.
*****2*
)(vv),v,(...,),v,(),v,(
uuHuHuH
iinnn
i
(u)
В рассмотренном нами случае выбор центром управления u U
позволяет однозначно определить и конечный результат, т.е. значения
функционалов центра и подсистем. Это является следствием того, что
множества V
(u) состоят из единственных элементов. Однако в общем
i
случае выбор управления и не определяет единственные значения
управлений подсистем, а лишь позволяет вышестоящему уровню оценить возможный выбор подсистемы на некотором множестве допустимых управлений.
)}('v)'v,()v,(|)(v{)( uVuHuHuVuR
(u) мно-
i
Будем называть множество управлений i-й подсистемы R
жеством оптимальных реакций этой подсистемы, если
.
iiiiiiiii
Если множества Ri (u) не являются одноэлементными, то центр при
принятом решении оказывается в условиях неопределенности. Для
решения задачи в этих условиях требуется сделать дополнительные
предположения о поведении подсистем нижнего уровня. В зависимости
от характера предположений получим те или иные постановки
задач.
Одной из возможных гипотез поведения является предположение
о том, что подсистемы
выбирают управление v = (v1, v2, …, vn) такое,
что
)'v,()v,(
uHuH
00
для любых )('v uR
шим для центра образом. В этом случае естественным является выбор
центром управления u
, т.е. подсистемы выбирают управления наихуд-
ii
0
такого, что
(3.39)
136
0
0
)(v
0
uR
)(v
UuuHuHuH
)v,(min)v,(min)v,(
, (3.40)
где
0
n
i
00
uRuR
)()( .
i
1
0
uR
Выбор решения центром в соответствии с процедурой (3.39) –
(3.40) называется принципом гарантированного результата.
Изменив гипотезу поведения, получим другие постановки задачи
оптимизация. Например, предположим, что подсистемы, проявляя доброжелательность по отношению к центру, выбирают управление
)(vˆuR таким образом, что
)v,(max)vˆ,(
uHuH
, (3.41)
0
т.е. подсистемы строят свое решение в виде функции )(v
ветствии с условием (3.41). Тогда центр выберет управление
доставляющее максимум функция
00
0
uR
)(v
ˆvˆ
u
в соот-
ˆ
u
))(vˆ,(0uuH . Таким образом,
)v,(maxmax))(vˆ,(max)vˆ,ˆ(
uHuuHuH
. (3.42)
0
uRUuUu
)(v
В условиях предположения о доброжелательности центр, очевидно, добьется большего значения функционала, чем при реализации
принципа гарантированного результата. Это следует из неравенства
0
)(v
)v,(minmax)v,(maxmax
.
UuuRUu
uHuH
0
uR
)(v
Заметим, что от управления центра зависят как функционалы подсистем, так и множество их допустимых управлений и оптимальных
реакций. Это позволяет центру осуществлять руководство подсистемами посредством воздействия на множества допустимых управлений и
значения функционалов.
Рассмотрим два примера иерархических систем управления.
Пример 1 (распределение ресурсов) [12, 16]. Рассматривается
следующая идеализированная экономическая ситуация. Администра
тивный центр распределяет ограниченный объем ресурсов между подчиненными ему подразделениям i, которые, в свою очередь, расходуют
полученный ресурс для производства продукции с учетом собственного
критерия.
Проведем формализацию этой задачи. Центр A
из п векторов:
21
,0:)...,,,(
Euuuuu
, i = 1, 2, …, n,
iiin
выбирает систему
0
,
-
137
n
0,
bbu
i
i
1
.
Вектор и будем интерпретировать как набор ресурсов из l наименований, выделяемых центром A
ления. Каждое из подразделений B
Ev из множества векторов, удовлетворяющих ограничениям
mi
для i-го производственного подразде-
0
, зная выбор A0, выбирает вектор
i
0,0,0v,v
AuA . (3.43)
iiiiiii
Здесь вектор vi интерпретируется как производственная программа производственного подразделения B
, по т видам продукции; Ai – произ-
i
водственная или технологическая матрица i-го производственного подразделения;
Определим критерии участников. Для центра положим
– вектор наличных ресурсов подразделения Bi.
i
n
auauuuH
0),(v))(v...,),(v,( ,
10
i
1
iiin
Ea
, i = 1, 2, …, n,
mi
где u = (u1, u2, …, un) – управление центра A0; vi (u) – производственная
программа подразделения B
вектор полезности центра A
ственным подразделением; a
a
и vi (u). Для производственного подразделения B
i
иметь вид
, удовлетворяющая условию (3.31); аi –
i
от продукции, выпускаемой i-м производ-
0
(u) – скалярное произведение векторов
ivi
критерий будет
i
)(v))(v,( ucuuH
, 0
iiii
c ,
i
Ec , i = 1, 2, …, n,
mi
где сi – вектор полезности предприятия i от своей продукции.
Целью каждого является максимизация своего критерия.
Рассмотрим следующую процедуру принятия решения. Пусть
)(v*u
– решение задачи параметрического программирования (пара-
i
метром является вектор и)
*
а )...,,,(
1
**2*
uuuu – решение задачи
n
ciivmax
,
ii
)(v
uR
uuAuR ,
n
*
ua
)(vmax ,
ii
Uu
i
1
}0,0,v,0v|v{)(
iiiiiiiii
138
n
;0| . (3.44)
i
buuuU
ii
1
Покажем, что построенное решение удовлетворяет неравенствам
0
Действительно,
0
и для всех i = 1, 2, …, n
**
n
ii
i
*
0
****
n
1
i
******
UuuuHuH )),(v,()v,(
,
)(v),v,())(v,(
uVuHuuH
, i = 1, 2, …, n. (3.45)
iiiiiii
***1****
ii
.
0
*
0
**
))(v,()(v)(v)(v,(
uuHucucuuH
iiiiiiii
))(v,()(v)(v))(v,(
uuHuauauuH
Это означает, что ни одному производственному подразделению
, а также центру A0 невыгодно одностороннее отклонение от ситуации
B
i
*
(u
, v
*
1
(u*), …, v
*
(u*)). Такая ситуация в теории игр называется ситуаци-
n
ей равновесия по Нэшу.
В этом примере центр оказывает воздействие только на множество
допустимых управлений подчиненных подразделений, не влияя никак
на их функционалы.
Пример 2. Задача о нормировании выбросов. Предположим, что
уровень загрязнения в промышленном районе характеризуется скалярной величиной
n
aq
v , 0ia ,
ii
i
1
bv0 , i = 1, 2, …, n,
ii
где vi – объем выброса вредных веществ i-м предприятием.
Зависимость между объемами выбросов и затратами предприятий
на переработку несброшенных отходов выражается функцией
bch
)v()v(
, ci > 0, i = 1, 2, …, n.
iiiii
Если уровень загрязнения в районе превышает величину Q, то на
предприятия накладываются штрафы s
> 0. Таким образом, функция
i
затрат предприятия i имеет вид
139
sbH
1
)v...,,v;;(
niii
i
n
Qabc
;v),v(
iiiii
1
n
i
1
Qasbc
iiiiii
(3.46)
.v,)v(
Предприятия заинтересованы в минимизации своих затрат. Центру
поручено осуществлять контроль за уровнем загрязнения и предоставлено право ограничивать выбросы предприятий и налагать штрафы
за загрязнение, т.е. устанавливать значения величин b
s
, s2, …, sn. Критерий центра зададим в виде
1
H
)v...,,v,v(
n
210
n
i
ii
1
n
ii
i
1
, b2, …, bn;
1
Qa
;v,1
(3.47)
Qa
.v,0
Целью центра является максимизация функции H0(v1, …, vn) посредством выбора величин b
, …, bn; s1, …, sn. При этом их необходимо
1
выбрать таким образом, чтобы предприятиям было невыгодно отклоняться от значений v
Пусть v = (v
, v2, …, vn
1
, v2, …, vn) таково, что
1
1
H .
10
n
Qa1v . В этом случае
ii
i
nibcsbH
...,,2,1),v()v...,,v;;(
iiiniii
1)v...,,v(
n
,
Найдем, при каких значениях bi и si указанная точка является точкой минимума функций
фиксируем значение v
, …, v
i
Заметим, что для ),v(v
а для ]v,0[v
ii
1 ii
sbH по аргументу v
1 niii
, v
, …, vn и положим vi = bi, тогда
i-1
i+1
b
выполнено неравенство
)v...,,v;;(
sbsbH
11
sbHsbH
)v...,,v,,v...,,v;;(
bsbHsbH
11 niiiiniiii
11 niiiiniiii
.
iniiiiiii
. Для этого
i
)v...,,...,,v;;()v...,,v...,,v;;(
,
)v...,,v...,,v;;()v...,,v...,,v;;(
.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]