Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифровой обработки изображений. Учебное пособие
.pdf
49
Контрастирование
перепадов
I(i,j)
G(i,j)
Пороговый
детектор
E(i,j)
f''(x)
x
f(x)
x
f'(x)
x
θ
h
x
0
Рис. 33
В одномерном случае перепад
характеризуется высотой h, углом
наклона θ и координатой центра x0
склона. Перепад существует, если угол
его наклона и высота больше
некоторого заданного порога. Для
двумерного случая важна также
ориентация перепада по отношению к
оси х. Идеальный детектор перепада при
обработке областей изображения
должен указывать на наличие перепада
в единственной точке, расположенной в
центре склона.
Рассмотрим задачу выделения
контуров на полутоновом изображении.
Пусть полутоновое изображение
представляет собой двумерную
функцию яркости (интенсивности
сигнала) I(i, j), определенную на
ограниченной прямоугольной области,
называемой «кадром». Общий подход к обнаружению перепадов
яркости на таком изображении иллюстрируется схемой,
представленной на рис. 34.
Рис. 34
В соответствии со схемой рис. 34 для усиления перепадов
яркости исходное изображение, представленное массивом чисел I(i, j),
подвергается линейной или нелинейной обработке. В результате
контрастирования образуется массив чисел G(i, j), описывающий
изображение с подчеркнутыми изменениями яркостей. Затем
выполняется операция сравнения с порогом T(i, j) и определяется
положение элементов изображения с ярко выраженными перепадами.
перепадов. При слишком высоком уровне порога не будут обнаружены
структурные элементы с низким контрастом. Слишком низкий уровень
порога приводит к тому, что шум будет ложно принят за перепад. Для
обозначения положения перепадов на изображении часто формируют
контурный препарат – массив элементов Е(i, j). Нисходящий перепад
имеет место, если значение яркости после контрастирования G(i, j) <
Выбор порога является одним из ключевых вопросов выделения
50
< TL(i, j), а восходящий перепад – если G(i, j) ≥ TU(i, j), где TL(i, j),
TU(i, j) – нижнее и верхнее пороговые значения соответственно.
Положение точек восходящих препаратов можно было бы
отмечать белыми точками на черном фоне. Можно также точки
восходящих препаратов отмечать белым цветом, нисходящих –
черным, а остальные элементы изображения – некоторым средним
уровнем яркости. Значения порогов можно сделать переменными в
плоскости изображения для компенсации влияния сильных изменений
яркости на результаты обнаружения перепадов.
5.4. Контрастирование перепадов. Дифференцирование
одномерных и двумерных массивов
Главная цель повышения резкости заключается в
акцентировании мелких деталей изображения и контуров, которые
оказались расфокусированы вследствие ошибок или несовершенства
самого метода съемки. Поскольку усреднение аналогично
интегрированию, то логично, что повышение резкости, будучи
явлением, обратным по отношению к расфокусировке, может быть
достигнуто пространственным дифференцированием.
Один из наиболее простых способов контрастирования
перепадов (подчеркивания верхних пространственных частот)
заключается в вычислении дискретных разностей, что аналогично
непрерывному пространственному дифференцированию. Подчеркивание вертикальных перепадов осуществляется горизонтальным
(построчным) дискретным дифференцированием амплитуд отсчетов
сигнала, подчеркивание горизонтальных перепадов – вертикальным.
Дифференцирование изображения позволяет усилить перепады
яркости (в том числе и шумы) и не подчеркивать области с
медленными изменениями яркости.
Производные дискретной функции определяются в терминах
конечных разностей. Арифметическую разность первого порядка
можно задать различными способами, однако для нее должны
выполняться следующие три требования:
1) равенство нулю на участках с постоянным уровнем яркости;
2) ненулевое значение в начале и в конце ступеньки яркости;
3) ненулевое значение на склонах яркости: положительное при
увеличении яркости и отрицательное при ее уменьшении.
На рис. 35 поясняется использование маски для вычисления
приближенных значений производных одномерного массива. Пусть
сигнал S задан в виде последовательности выборочных значений
некоторой функции f(x). Тогда производная этой функции
представляется в виде:
51
f(x)
f(x)
S
s[i-1]
s[i]
s[i+1]
s[i+2]
S
x
x
S
s[i-1]
s[i] s[i+1]
s[i+2]
S'=SÄ М'
s[i]-s[i-1] s[i+1]-s[i]
s[i+2]-s[i+1]
-s[i]+s[i-1]+s[i+1]-s[i]
S''=S'Ä М'
s[i]-2s[i+1]+s[i+2]
М'
-1 1
М''
1 1
-2
f'(xi) ≈ (f(xi) – f(x
))/(xi – x
i-1
).
i-1
Для выборки дискретных значений область определения
функции f(x) разобьем на интервалы шириной x: = 1. Тогда
производную f'(xi) функции можно приближенно вычислить путем
применения скользящего окна М'=[–1, 1] к выборочным значениям S,
как показано на рис. 35.
Рис. 35
В результате можно получить разностный сигнал S'. Как
показано на рис. 36, удобно считать, что значения S' расположены
между значениями сигнала S.
Элементы S'[i] с большими абсолютными значениями
соответствуют областям, в которых значение сигнала быстро
Рис. 36
изменяется или сигнал имеет высокий контраст. Чтобы получить
выходной сигнал S", соответствующий второй производной исходной
функции f(x), первую производную S' можно продифференцировать с
использованием скользящего окна М'. Значения второй производной
52
I[i]
0
1
2
3
4
5
6
7
Склон
Ступенька
Изолированная точка
Линия
Ровный
участок
Яркостный
переход
i
5 543
2 1
0 0 0 4 0 0 0
0 7 7 7 7
0 0 0 0 1 3 1
0
-1 -1 -1 -1 -1 004
-4
0 0 0 1 2 -2-10 0 0
7
0 0 0
-1
0 0 0 0
1 0
4 -8
4
0 0 1 1
-4 1
1
0 0
7 -7 0 0
I[i]
I'[i]
I''[i]
I[i]
0
1
2
3
4
5
6
7
i
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-7
-8
I''[i]
I'[i]
S" также можно вычислить, применяя скользящее окно М" второй
производной к исходной последовательности S.
На рис. 37 показан участок строки изображения (профиль
яркости), где I[i] – значение яркости в i-м элементе строки
изображения.
Рис. 37
Как видно, на участке строки содержатся области постоянной
яркости, участок склона, изолированная точка и яркостная ступенька.
Кружки показывают начало или конец яркостных переходов.
Вычисленные по указанному выше описанию первая I'[i] и вторая I''[i]
производные изображены на нижнем графике рис. 37. По рис. 37
можно наблюдать поведение первой и второй производных при
движении вдоль профиля и проверить выполнение условий, указанных
53
T
T
,,),(
y
fxf
GGyxf
yx
G
.
(19)
( , ) /f x y x
( , )f x y y
( , ) /f x y x
( , ) /f x y y
на с. 50. В области с постоянной яркостью обе производные равны
нулю, значит, для обеих выполняется условие 1. Первая I'[i]
производная отлична от нуля на склоне и на ступеньке; аналогично
вторая I''[i] производная отлична от нуля в начале и в конце как склона,
так и ступеньки, т.е. в точке яркостного перехода; таким образом,
условие 2 выполняется для обеих производных.
Условие 3 также выполняется для обеих производных,
поскольку на склоне первая производная не равна нулю. Знак второй
производной меняется в начале и в конце ступеньки или склона.
Линия, соединяющая два значения второй производной на участке
ступенчатого перехода, в середине между экстремумами пересекает
горизонтальную ось. Это свойство пересечения нулевого уровня
полезно для выделения контуров.
На цифровых изображениях контурные переходы часто
являются склонами яркости, на которых первая производная будет
диагностировать в результате широкие контуры, поскольку она
отлична от нуля на всем протяжении склона. Вторая производная даст
двойной контур толщиной в одну линию и разделенный нулями. Таким
образом, вторая производная усиливает мелкие детали значительно
лучше, чем первая, – свойство, идеально подходящее для повышения
резкости изображений.
Повысить резкость можно путем вычисления первой
производной яркости, которая в обработке изображений реализуется
через модуль градиента. Для функции двух переменных f(х, у) градиент
в точке (х, у) по определению – это двумерный вектор-столбец:
Вычисление градиента изображения состоит в получении
величин частных производных
точки. Для дискретных величин требуется найти дискретную
аппроксимацию частных производных в окрестности данной точки. В
результате формируется некоторое изображение, массивы элементов
которого:
G
=
х
G
=
y
Геометрическое свойство вектора градиента заключается в том,
что его направление совпадает с направлением максимальной скорости
изменения функции f в точке (x, y). Модуль вектора G, равный
= f(х+1, у) – f(х, у),
= f(х, у+1) – f(х, у).
и
для каждой
54
22
( , )
xy
М х у f G G
G |Gx| + |Gy|,
(20)
скорости изменения функции f в направлении вектора градиента,
равен:
.
Gх, Gy и М(х, у) представляют собой изображения тех же размеров, что
и исходное изображение f; они формируются, когда координаты х и у
пробегают все пиксели f. Операции сложения, возведения в квадрат и
извлечения квадратного корня являются поэлементными операциями.
Компоненты вектора градиента G являются линейными
операторами, а модуль вектора – нет, поскольку он выражается через
операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня.
С другой стороны, частные производные в (19) не являются
инвариантными к повороту (изотропными), а модуль вектора
градиента таковым является.
Для уменьшения объема вычислений, необходимых для
обработки изображения оператором (19), модуль градиента вычисляют
приближенно:
но свойство изотропности при этом пропадает.
Направление вектора градиента задается углом
α(x, y) = arctg(Gy /Gx)
между направлением вектора G и осью х. α(x, y) также является
изображением тех же размеров, что и исходное изображение f, и
формируется поэлементной операцией арктангенса от поэлементного
деления изображения Gy на изображение Gx. Направление контура в
произвольной точке (х, y) перпендикулярно к направлению α(x, y)
вектора градиента в этой точке. Применение градиента для
определения величины и направления яркостного перепада в заданной
точке представлено на рис. 38.
На рис. 38, а представлен фрагмент изображения с
прямолинейным участком перепада, где каждый квадратик
представляет один пиксель изображения. Значения серых пикселей
равны 0, а белых – 1. Задача – получить величину и направление
перепада яркости в точке, которая отмечена рамкой.
Метод вычисления частных производных по направлениям х и у
при помощи окрестности 33 с центром в выделенной точке состоит в
следующем. Окрестность точки на рис. 38, б изображена пунктирной
линией. Из суммы значений пикселей в нижней строке окрестности
вычитается сумма значений пикселей в верхней строке окрестности,
что дает частную производную по направлению х.
55
( , ) 2 2.М х у
x
y
x
y
α
Вектор
градиента
а
б
Рис. 38
x
y
α
Вектор
градиента
Направление
контура
α-90°
Рис. 39
Аналогично, вычитая сумму значений в левом столбце
окрестности из суммы значений в правом столбце, получаем значение
частной производной в направлении у. Таким способом для точки
получаются оценки частных производных дf/дх= –2 и df/dy = 2,
следовательно, модуль градиента в этой точке
Направление вектора градиента в этой точке будет
равно α = – 45° или α= 135° в положительном направлении
относительно оси х. На рис. 38, б показан вектор градиента и отложен
угол его направления.
На рис. 39 показано, что
направление контурного перепада
в заданной точке перпендикулярно
к направлению вектора градиента
в этой точке. Таким образом, в
данном примере угол направления
перепада относительно оси х равен
α – 90°= 45°. Во всех точках
перепада (рис. 38, а) градиент
постоянен, поэтому весь участок
перепада имеет одно направление.
Вектор градиента иногда
называют нормалью к контурному
перепаду. Если нормализовать
этот вектор до единичной длины путем деления на модуль градиента,
то полученный вектор будем называть единичной нормалью к контуру.
56
22
( , ) [ , 1, 1 ] [ 1, , 1 ]М х у f x y f x y f x y f x y
( , ) | , 1, 1 | | , 1 1, |М х у f x y f x y f x y f x y
10
01
x
w
01
10
y
w
101
101
101
x
w
111
000
111
y
w
В системах обнаружения перепадов для контрастирования перед
пороговым ограничением используются нелинейные комбинации
значений яркости элементов изображения. В большинстве методов
ограничиваются обработкой окном размером 22 или 33.
Свойства скользящих окон для вычисления производных:
для получения высокого отклика в областях сигнала с высоким
контрастом элементы окна производных имеют разные знаки;
сумма элементов окна производных равна 0, поэтому в
областях сигнала с постоянными значениями маски дают нулевой
отклик;
точкам высокого контраста соответствуют большие
абсолютные значения отклика окон первой производной;
среди значений отклика окон второй производной точкам
высокого контраста соответствуют точки перехода через ноль.
Наиболее широко используются дифференциальные операторы
Робертса, Собела, Превитт. Для обнаружения перепадов яркости в
диагональных направлениях применяют маски размером 2×2.
Перекрестный градиентный оператор Робертса (по фамилии его
автора – Лоуренса Робертса, Lawrence Roberts, предложившего маску
фильтра в 1963 г.) предполагает следующую нелинейную операцию
двумерного дискретного дифференцирования:
.
При упрощении вычислений согласно (20)
,
поэтому окна оператора Робертса размером 22 имеют вид:
,
Операторы Превитт и Собела получили свои названия по
фамилиям их авторов: Джудит Превитт (Judith Prewitt), 1970 г., и
Ирвинга Собела (Irving Sobel), 1968 г. Данные операторы
непосредственно вычисляют значения компонент вектора градиента
для каждой точки изображения путем свертки локальной окрестности
точки с масками 33.
Для оператора Превитт маски имеют вид:
,
для оператора Собела:
.
;
57
101
202
101
x
w
121
000
121
y
w
а
б
Рис. 41
G
y,x
I
0
I
6
I
7
I
8
I
2
I
3
I
1
I
5
Рис. 40
,
.
Так, при выделении перепадов яркости
фильтром Собела в окрестности центрального
пикселя окна (рис. 40) вычисляется величина:
G(y, x) = (G
2
x
+ G
y
2)1/2
,
где
Gx = (I2+2I5+ I8) – (I0+2I3+ I6),
Gy = (I0+2I1+ I2) – (I6+2I7+ I8),
Ii – яркость i-го пикселя, накрытого окном фильтра.
Операторы Робертса, Превитт и Собела, являясь
пространственными фильтрами верхних частот, позволяют подавить
низкочастотную фоновую составляющую изображения и оставить
высокочастотные перепады яркости на границах объектов, т.е. их
контуры.
На рис. 41, б изображение получено в результате применения
оператора Собела к снимку Lenna (рис. 41, а) из базы изображений
USC-SIPI Image Database (аббревиатура USC-SIPI – от английского
наименования института обработки сигналов и изображений
Университета Южной Калифорнии, University of Southern California
Signal and Image Processing Institute).
Арджаил и Маклеод для контрастирования перепадов
предложили использовать весовые функции гауссовой формы.
58
22
2
1 1 1
, =exp – exp – exp –
2 2 2
y x p x p
H x y
t p p
2
2
2
2
2
),(
y
f
x
f
yxf
2
2
x
f
2
2
y
f
)1,(),()1,(),(4),1(),1(),(
2
yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf
010
141
010
л
w
010
141
010
л
w
111
181
111
л
w
111
181
111
л
w
Функция, предложенная Арджаилом, представляет собой разделенную
функцию Гаусса, определяемую в одномерном случае как
h(x) = exp{–(x/p)2/2} при x≥0,
h(x) = –exp{–(x/p)2/2} при x<0,
где p – постоянная рассеяния.
Функция Маклеода задается выражением:
,
где t, p – постоянные рассеяния, подавляют влияние элементов
изображения в области перепада яркостей и влияние других перепадов,
расположенных выше и ниже основного перепада, который
необходимо обнаружить.
Простейшим изотропным оператором, основанным на
производных второго порядка, является лапласиан (оператор Лапласа),
который в случае функции двух переменных определяется как
,
f(x – 1, y) – 2f(x, y) + f(x + 1, y),
f(x, y – 1) – 2f(x, y) + f(x, y + 1).
Таким образом, оператор Лапласа записывается в следующем виде:
и задается маской
Если помимо горизонтального (вдоль оси x) и вертикального
(вдоль оси y) направлений учитывать ещё и диагональные, то
Поскольку оператор Лапласа по сути является второй
производной, его применение подавляет области со слабыми
изменениями яркостей, т.е. фон изображения. Но фон можно
либо
либо
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]