Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований. Учебное пособие-3
.pdf
81
На этом основании с доверительной вероятностью можно утверждать, что
выборочное распределение согласуется с гипотетическим, если λn<λ, где λ
1-p
квантиль распределения уровня значимости (1-Р).
При использовании этим критерием необходимо иметь в виду, что распределение Колмогорова F(λ) является предельным при n→∞и, следовательно,
надежные суждения о законе распределения экспериментальных данных можно
делать лишь по выборкам достаточно большого объема.
Критерий х2 – Пирсона. Он применим как к непрерывным, так и дискрет-
ным распределениям. Кроме того, допускается в гипотетическом распределении
использовать в качестве значений параметров их оценки. Метод имеет два серьезных достоинства [2]:
-он использует количественный, числовой критерий (его называют еще
“критерием согласия”), а значит, обладает математической строгостью;
-он пригоден не только для нормального, но и для других видов распреде-
ления.
Пусть имеем набор результатов наблюдений с параметрами n, хи необ-
ходимо ответить на вопрос, распределены ли это данные по закону Гаусса с пара-
метрами и х. Для этого сравнивают экспериментальное распределение с тео-
ретическим, параметры которого соответственно равны , х. Такое сравнение
можно произвести, сгруппировав результаты наблюдений (разумеется, свободные
от систематических ошибок) по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы
покрывали всю ось (-∞, +∞) и чтобы количество данных в каждом интервале было
достаточно большим (во всяком случае не менее пяти, лучше десяти). Для каждого интервала (X
i-1,Xi
)подсчитать чисти miрезультатов измерения, попавших в этот
интервал. Затем вычисляют вероятность Р попадания в этот интервал при нормальном законе распределения вероятностей:
где
– среднее арифметическое значение результатов наблюдения;
– стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение);
интегралвероятностейпредставленный таблицами в приложениях iii и iv.
Наконец, вычисляют сумму:
где I – число всех интервалов (-∞, Х1) (Х1,Х2),…, ( Х
I-1
, ∞);
n – число всех результатов измерений ;
Если сумма (6.5.9) окажется больше критического значений Х2 по таблице
приложения V при некоторой доверительной вероятности Р и числе степеней свободы ν= I-3, то с надежностью Р можно считать, что распределение эксперимен-
(6.5.8)
(6.5.9)
82
тальных данных отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований. При отсутствии достаточных оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу о нормальном распределении данных эксперимента, эта гипотеза часто может быть обоснована теоретически. Однако, следует
иметь в виду, что даже малая величина суммы (6.5.9) не может служить доказа-
тельством нормальности закона распределения.
Отметим еще важное свойство критерия Х2: если распределение отлично от
нормального, то при достаточно большом числе наблюдений сумма (6.5.9) превысит соответствующие критическое значение. Поэтому, если при проведенном
числе экспериментов критерий Х2 дал малую надежность, но сомнения в нормальности распределения осталось, то следует увеличить число экспериментов (в
несколько раз).
Указанное выше число степеней свободы ν= I-3 относиться только к тому
случаю, когда оба параметра нормального закона распределения определяют по
результатам экспериментов, то есть когда вместо точных значений М{Х} и
применяют их эмпирические оценки Х
I
и х. Если значение точно известно
(например, при измерении эталона), то число степеней свободы равно ν= I-2, если
известны оба параметра М{X} и , то число степеней свободы равно ν= I-1. На
практике такая ситуация встречается редко, и поэтому для получения числа степеней свободы не менее пяти надо брать число интервалов не менее восьми.
В заключение заметим, что эффективность критерия Х2 повышается, если в
каждый из выделенных интервалов попадает примерно одинаковое количество
данных. Это следует учитывать при группировке первичного материала (если
возможно).
Замечания:
1.Рассмотренный критерий может быть применим и к другим типам распре-
деления вероятности, разница будет лишь в том, что бинам (участникам) будут
соответствовать другие вероятности.
2. Кромекритерии Пирсона, применяют и другие критерии согласия. При
этом следует помнить, что при использовании критериев согласия определенным
является лишь отрицательный ответ (типа “закон не может быть признан нормальным”). Положительный ответ всегда носит предположительный характер,
так, что тест может ответить “да” и на вопрос о нормальном распределении, и на
вопрос о трапецеидальном, и еще каком либо ином типе распределения.
6.6 Методы исключения анормальных результатов эксперимента
При получении результата эксперимента, резко отличающегося от всех других результатов, естественно возникает подозрение, что допущена грубая погрешность. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия проведения эксперимента. Грубые погрешности могут являться
результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине. Наличие грубой погрешности в выборке значений случайной величины нарушает характер распределения, изменяет его параметры. Результат наблюдения, содержащий грубую погрешность, будем называть анормальным.
83
Принцип решения вопроса об анормальности заключается в том, что по ре-
зультатам наблюдений рассчитывают определенную функцию от случайной величины, для которой известно распределение вероятностей [22]. Вычисленное по
выборочным данным значение этой функции сравнивают с ее предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности. Если при этом выясняют, что вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдений
меньше принятой, и этот результат является следствием случайного нарушения
нормальных условий или грубых ошибок при наблюдении, или расчете, то его исключают из общей выборки, как не прилежащий к той же генеральной совокупности, что и остальные результаты наблюдений.
Можно встретить большое количество различных рекомендаций для проведения отсева грубых ошибок наблюдения (анормальных значений). Предложим
для практического использования наиболее простые методы отсева грубых ошибок.
Метод «трех сигм». Границы выборки определяют в пределах Х
так что все данные выходящие за эти пределы, удаляют как анормальные. Некоторые исследователи считают это правило чересчур жестким и предлагают, чтобы
границы цензурирования назначались в зависимости от объема выборки [21]:
n=6………..100→|*| > 4*
;
n=101……100→|*|>6.5*
;
n=1001…10000→| *|>5*
,
(6.6.1)
где Xi* – подозрительный результат в составе выборки.
Правило (6.6.1) годится только для случая нормального распределения. Для
больших выборок цензурирования вообще вряд ли оправдано.
Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки одного «выскакивающего» значения решается путем сравнения
его с остальными результатами эксперимента [22]. При этом применяют различные критерии, в зависимости от того, известно или нет среднее квадратическое
отклонение результата эксперимента (предполагается, что все эксперимента производятся независимо друг от друга).
Метод исключения при известном . Обозначим «выскакивающее» значе-
ние Xi*, а все остальные результаты эксперимента через Х1, Х2,…, Хn. Подсчитаем среднее арифметическое значение по формуле (6.1.3) и сравним абсолютную
величину разностиXi*
с величиной:
Для полученного отношения:
(6.6.2)
84
Подсчитаем вероятность 1-2 Ф(t) с помощью таблицы приложения IV. Это
дает вероятность того, что рассматриваемое отношение случайно примет значение не меньше, чем t, при условии, что значение Xi* не содержит грубой ошибки.
Если подсчитанная указанным образом вероятность окажется очень малой, то
«выскакивающее» значение содержит грубую ошибку и его следует исключить из
дальнейшей обработки результатов эксперимента.
Обычно применяют один из трех уровней малых вероятностей:
-5% уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых мень-
ше 0.05);
-1% уровень (соответственно, вероятность появления ошибки меньше 0.01);
-0.1% уровень (соответственно, вероятность появления ошибки меньше
0.001).
При выбранном уровне q малых вероятностей «выскакивающее» значение
Xi* считают содержащим грубую ошибку, если для соответствующего отношения
t (6.6.2) вероятность (1-2Ф(t))<q.
Метод исключения при неизвестном . Если величина заранее неизвестна,
то ее оценивают приближенно по результатам эксперимента, то есть применяют
среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле (6.6.5)
При этом, абсолютную величину разности |Xi
*
между «выскакивающи-
ми» значениями Xi* и средним значением
остальных (приемлемых) результатов
делят на эмпирический стандарт и полученное отношение:
.
Сравнивают с критическими значениями tn(P) из таблицы приложения IX.
Если при данном числеn приемлемых результатов отношение (6.6.3) оказывается
между двумя критическими значениями при надежностях Р1 и Р2 (Р2>Р1), то с
надежностью вывода , большей Р1, можно считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку, и исключить его дальнейшей обработки результатов эксперимента.
Резюмируем основные результаты, приведенные в данном параграфе в виде
рекомендаций по обработке экспериментальных данных. Будем считать, что все
результаты эксперимента содержат случайные и систематические составляющие.
В соответствии с требованиями ГОСТ 8.207-75 при статистической обработке
этих результатов необходимо выполнять следующие операции [17]:
- исключить известные систематические погрешности из результатов
наблюдений;
- вычислить выборочные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения результата наблюдения;
- обнаружить и исключить анормальные значения
- вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюде-
ний, принимаемое за результатом эксперимента;
- проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нор-
(6.6.3)
85
мальному распределению;
- вычислить доверительные границы случайных величин (случайной со-
ставляющей погрешности) результата эксперимента;
Выбор способа и формы представления результата эксперимента определяются назначением проводимых исследований и регламентируются соответствующими нормативно-техническими документами, в частности, методическими указаниями МИ 1317-86.
6.7 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
По многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на цифровых машинах. Это означает, что необходимо рассматривать только дискретные
отсчеты как временной функции, так и спектра, и только конечное число отсчетов
каждой из них. Предположим, что временная функция X(t) представлена последовательностью из N отсчетов.X(n∆t), 0<n<(N-1), ∆t- интервал дискретизации во
временной области. Допустим также, что спектр F(kΩ) представлен как F(kΩ);
0<k<(N-1), где Ω – выбранный интервал между отсчетами в частотной области.
Если из последовательности X(n∆t) сформирована функция X*(t) в виде конечного
числа импульсов, то можно написать выражение для
где Ω=2/N t.
При таком определении Ω существует только Nразличных значений, которые возможно вычислить по формуле (6.1.1), а именно при к=0,1,… N-1.
В самом общем виде пара дискретных преобразований Фурье, соответствующая дискредитированным вариантам этих функций, может быть записанная в
виде
где F(k) – комплексный спектр сигнала, полученный после ДПФ;
k– безразмерная частота, связанная с круговой частотой соотношением
n– безразмерное время, связанное с моментом взятия отсчета tnи интервалом
дискретизации t соотношением tn=n t;
T– длительность временной реализации анализируемого сигнала;
– количество учитываемых отсчетов исследуемых сигналов.
Удобно обозначить exp(j2П/N) черезWN, при этом пара ДПФ примет вид:
(6.7.1)
(6.7.2)
(6.7.3)
86
Следует отметить следующие основные свойства алгоритмов ДПФ, представленных формулами (6.7.2) и (6.7.3):
- они дают информацию только для N дискретных значений;
- алгоритмы пригодны только для периодических сигналов, значения кото-
рых в финитных точках равны нулю.
В практических расчетах часто возникает необходимость определить с помощью ДПФ спектры сигналов в виде перепада напряжения или сигналов с установившимся значением, не равным начальному. При вычислении ДПФ сигнал периодизируется, происходит как бы замыкание конца сигнала с его началом. Возникающий при этом идеальный скачок искажает спектр исходного сигнала.
Для спектрального анализа сигналов, содержащих перепады уровней, разработаны методы более эффективные, чем методы, основанные на использовании
окон для взвешивания сигнала. Один из методов основан на преобразовании сигналаX(n) в сигнал Y(n) так, что Y(n) не содержит скачков при его периодизации.
Известны следующие преобразования сигналов, устраняющие скачки начального
и конечного уровней.
1. Преобразование Самулона. Регистрируемый сигнал преобразуют по фор-
муле
Y(n) = X(n) – X(n-1), где n=1,2,…N.
После вычислений дискретного спектра его умножают на функ-
цию
2. Преобразование Никольсона. Преобразование функции ступенчатой фор-
мы в функцию импульсной формы предлагается выполнять через вычитание из
исходного сигнала выборочных значений сигнала пилообразной формы, записываемой в виде:
где n=0,1…,N-1
Зная спектр пилообразного импульса, и, принимая во внимание свойство
линейности преобразования Фурье, можно найти спектр финтизированного сигнала.
1.Преобразование Ганса. Исходный сигнал преобразуют по формуле
(6.7.4)
(6.7.5)
(6.7.6)
87
. (6.7.6)
В результате ДПФ сигналов Y(n) во всех трех случаях образуется функция
где k=1,2,…,N;
F*(kΩ) - дискретный спектр периодиозированного сигнала.
На практике наиболее легко реализуют метод Никольсона, поскольку метод
Самулона требует дополнительной обработки сигнала в спектральной области, а
метод Ганса для получения того же числа отсчетов требует увеличения размерности обрабатываемых массивов в два раза.
6.8 Основы алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ)
Непосредственно вычисление ДПФ (6.7.1) при комплексных значениях X(n
t) требует для каждого значения k (N-1) умножений и (N-1) сложений ком-
плексных чисел или 4(N-1) умножений и (2N-2)сложений действительных чисел,
а для всех N значений k=0,1,…N-1, требуется примерно N2 умножений и
N2сложений комплексных чисел. Поскольку умножение – самая медленная из
всех операций, выполняемых на ЦВМ, то время, необходимое для вычисления
ДПФ таким способом, будет почти точно пропорциональноN6. Таким образом, для
больших значенийN (порядка нескольких сотен или тысяч) прямое вычисление
ДПФ (6.1.4) требует выполнения весьма большого числа операций умножения и
сложения, что затрудняет реализацию вычисления в реальном масштабе времени
процессов и спектров.
Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ. Исходная идея этих алгоритмов состоит в том, что N- точечная последовательность многократно разбивается на более короткие под последовательности. Разбиением каждой под последовательности можно осуществить дальнейшее уменьшение объема вычислений. Разбиение следует продолжать вплоть до
получения простейших пар отсчетов, можно найти ДПФ четырехэлементных,
восьмиэлементных и т.д. последовательностей.
В основе алгоритма БПФ лежит операция сложение-вычитание с умножением одного из слагаемых на коэффициент (WN)k. Указанную операцию, являющейся базовой для БПФ, можно представить в виде сигнального графа.
Погрешности БПФ в основном обусловлены неточным выполнением ограничений, налагаемых теоремой отсчетов В.А.Котельникова для реальных сигналов, финитных по времени и, следовательно, неограниченных по спектру, а также
времени усечением анализируемых сигналов. В терминах, относящихся к частотной области, это означает, что спектры аналоговых сигналов повторяются перио-
дически в виде верхнего и нижнего боковых лепестков около частот 1/t, 2/t, и
88
т.д., каждый из которых описывается формулой:
где I – порядковый номер периодически повторяемого участка спектра решетчатой функции, I=1,2,3…
Максимальное значение относительной погрешности расчета амплитуд
гармонических составляющих при условиях будет равно
В связи с тем, что объем априорных сведений о спектральном составе анализируемых сигналов, как правило, невелик, является целесообразным ограничиться приближенной оценкой погрешности, предполагая, что для весьма широкого класса реальных сигналов амплитудный спектр вне интервала измерения монотонно убывает не медленнее, чем обратное значение четной степени частоты:
При
и q=1,2,3….
Если интервал дискретизации выбран из условия:
Где m ≥ 1;
Ω- максимальная частота интервала измерения
При этом максимальное значение относительной погрешности должно удовлетворять неравенство:
(6.8.1)
(6.8.2)
(6.8.3)
(6.8.4)
(6.8.5)
(6.8.6)
89
Правая часть которого выражается через обобщенную ε – функцию:
≤ (2m)
-2q
{ε(2q; -
+ ε(2q;
) – (2m)2q[1+(-1)2q]} . (6.8.7)
При практическом выполнении БПФ возникает экспериментальная часть
трудность, связанная с выбором начальной и конечной точек временной реализации. Еcли «временное окно» не перекрывает длительность существования временного процесса, то возникает погрешность спектрального анализа в пределах
целого частотного диапазона, называемая погрешность из-за временного усечения
и определяемая по формуле.
.
(6.8.8)
Где Т-длительность временной реализации.
Так как функция X(t) интегрируема в квадрате, то погрешность из-за временного усечения будет определяется асимптотическим поведением X(t) на интервале |t|>T. Не приводя промежуточные громоздкие математические преобразования, представим выражение, где относительной погрешности вычисления спектра по реализации конечной длительности:
где Ω
макс
=
.
90
Вопросы для самоконтроля
1. Какие системы координат применяют при графическом представлении
экспериментальных данных?
2. Что означает термин аппроксимации?
3. Сколько членов ряда Тейлора достаточно для использования в качестве
аппроксимирующей функции?
4.Какими показателями характеризуется качество аппроксимации?
5.Каковы возможности раздела математической статистики под названием
регрессионный анализ?
6.В чем сущность применения дисперсионного анализа для проверки стати-
стической однородности ряда экспериментов?
7.Перечислите критерии проверки выборки на ее соответствие нормальному
закону.
8.Каковы преимущества критерия Пирсона по отношению к другим крите-
риям?
9.Каким образом исключаются анормальные результаты эксперимента?
10.Что такое дискретное преобразование Фурье?
11.Какой выигрыш по времени дает применение алгоритма быстрого преоб-
разования Фурье?
12.Какие методы фенитизации временной функции сигнала известны вам?
13.Перечислите виды погрешностей цифрового спектрального анализа.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]