Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика миллиметровых волн. Учебное пособие
.pdf
(3.2)
где
(3.4)
.
(3.5)
,
волновой вектор, ширина щели.
При рассмотрении синфазно излучающего набора щелей необходимо
учесть, что в направлении под углом излучение от соответствующих точек
соседних щелей будет иметь разность хода (рис. 3.2), что отве-
чает разности фаз
ное поле излучения решетки
. Поэтому, если ДР состоит из N щелей, суммар-
в зоне дифракции Фраунгофераможет быть
записано как
(3.3)
Интенсивность дифрагированного поля находится посредством вычис-
ления квадрата модуля (3.3):
где
интенсивность падающего излучения в области щели.
Рис. 3.3 иллюстрирует поведение угловой зависимости
, вычис-
ленной по формуле (3.4) для решеток с различным количеством щелей. Кри-
вые получены для значений мм, мм, мм, которые ис-
пользуются в настоящей работе. Можно видеть, что угловой спектр ДР
представляет собой набор из чередующихся минимумов и максимумов раз-
ной интенсивности, ширина которых убывает с ростом . В точках, соответствующих условию , где – целое число, назы-
ваемое порядком максимума или порядком дифракции, расположены глав-
ные максимумы. Их величина падает с номером квадратично:
Нетрудно убедиться, что главные максимумы достигаются при углах
соответствующих условию конструктивной интерференции вторичных
волн, излучаемых соседними щелями, т. е. когда разность хода кратна
длине волны:
.
,
Равенство (3.5) называется основной формулой дифракционной решетки. Отметим, что интенсивность главных максимумов превосходит
в (а не в ) раз интенсивность волны от одной щели в том же направле-
нии, что является следствием когерентности полей в щелях.
41
Рис. 3.3. Зависимости нормированной интенсивности излучения
(3.6)
(3.7)
(3.8)
дифрагированного на амплитудной решетке от угла дифракции
при различном числе щелей. Случай мм, мм, мм
Для формирования главного максимума важно, чтобы он не наклады-
вался на минимум одиночной щели, который соответствует условию
, или
В этих направлениях щели решетки не излучают, поэтому равенство (3.6)
также называется условием главных минимумов. Сопоставляя (3.6) и (3.5),
можно видеть, что если относительная ширина щелей равна отношению целых чисел
то главный максимум m-го порядка отсутствует (подавлен). Для решетки,
используемой в данной работе, , поэтому каждый третий порядок
для нее оказывается запрещен.
Между главными максимумами располагаются вторичных минимумов, дифракционный угол
для которых определяется из условия
где . Примерно посередине между вторичными минимумами находятся вторичных максимума, положение которых соответствует условиям ; ; – целое. Вторичные
42
максимумы образуются вследствие интерференции волн от щелей, располо-
(3.9)
(3.10)
женных на расстояниях , , ..., друг от друга, а их интенсивность по порядку величины в
раз меньше интенсивности главных мак-
симумов, что при делает их трудноразличимыми.
C использованием формул (3.5) и (3.8) можно определить угловую ши-
рину главных максимумов на полувысоте, которая приблизительно равна
интервалу углов между
гая
и
близкими, получим:
и ближайшим вторичным минимумом. Пола-
откуда видно, что падает с ростом числа щелей, но растет с увеличением
порядка дифракции. При или малых
величина есть не что
иное, как отношение длины волны к полной длине решетки .
Для определения длины волны излучения с помощью ДР пользуются со-
отношением (3.5), исходя из известных величин и и измеряя в эксперименте величину
. Очевидно, для этой цели не подходит лишь нулевой
максимум (), для которого (3.5) тождественно выполняется при лю-
бом , а также вырожденный случай, соответствующий равенству (3.7). Отметим, что число порядков дифракции у решетки всегда ограничено. При
нормальном облучении, согласно (3.5):
Выражение (3.10) также показывает, что для возбуждения высших дифракционных гармоник (
) период решетки обязательно должен быть
больше длины волны. Это отличает ДР от поляризационной решетки из линейных проводников, описанной в лабораторной работе № 1, для которой
. Для ДР из данной работы , поэтому при облучении по нормали такая решетка, помимо нулевого имеет лишь и порядки дифракции, углы
которых равны и
соответ-
ственно (рис. 3.3).
§ 3.1.2. Характеристики ДР как спектрального прибора
При использовании ДР в технике спектроскопии помимо основной формулы дифракционной решетки (3.5), дающей связь углов главных максимумов и длины волны, также принимают во внимание и другие приборные характеристики. К ним относят угловую и линейную дисперсии, разрешающую способность, область свободной дисперсии.
Угловая дисперсия
Данная величина характеризует изменение углового положения дифракционных максимумов с изменением длины волны излучения. Численно она
43
равна производной
(3.11)
(3.12)
(3.5) по переменным
. Взяв дифференциалы от обеих частей
и , в итоге получим
Угловая дисперсия ДР оказывается тем выше, чем больше порядок дифрак-
ции и чем меньше период решетки .
Линейная дисперсия
В реальных спектрометрах исследуемый спектр обычно наблюдают в
фокальной плоскости линзы (рис. 3.2). В этом случае удобнее оперировать
не угловой, а линейной дисперсией, характеризующей скорость изменения
координаты
положения дифракционного максимума при из-
менении длины волны. По определению линейная дисперсия равна произ-
водной и при малых углах, очевидно, равна
произвольной величине
выражение для линейной дисперсии ДР при-
. При
нимает вид
Линейная дисперсия также, как и угловая, тем выше, чем больше вели-
чины и .
Разрешающая способность
Разрешающая способность (разрешающая сила) ДР – величина, характеризующая способность различения двух близко расположенных длин волн
и . Математически она определяется как отношение длины волны к
ширине минимально различаемого спектрального интервала .
Ясно, что величина должна быть тем выше, чем уже дифракционный пик,
поскольку слишком широкие пики при наложении будут сливаться в один
общий и не смогут быть разрешены.
Для вычисления разрешающей способности решетки Рэлеем был предложен критерий, согласно которому длины волн
и могут
быть разрешены, если главный дифракционный максимум для одной длины
волны совпадает по своему положению с первым вторичным дифракцион-
ным минимумом в том же порядке для другой длины волны (рис. 3.4). С
учетом соотношений (3.5) и (3.8), данный критерий может быть записан как
откуда получим, что разрешающая способность есть произведение порядка
дифракции на число щелей:
44
(3.13)
Рис. 3.4. К определению разрешающей способности ДР. Качественно по-
казаны профили двух перекрывающихся дифракционных максимумов
, , соответствующие длинам волн
и
Из формулы (3.13) формально следует, что для максимизации следует
работать на максимально высоких порядках дифракции, а также использо-
вать ДР с максимально возможным числом . На практике, впрочем, переход к высокимнередко избегают для того, чтобы не уменьшать область
свободной дисперсии (см. ниже), и работают при
. Для решеток, ко-
торые имеют лишь порядки дифракции, период, согласно (3.10), ока-
зывается минимальным, поэтому при фиксированных линейных размерах
решетки число составляющих их щелей (штрихов) , и соответ-
ственно разрешающая сила в первом порядке дифракции, получаются
наибольшими в сравнении с более грубыми решетками, для которых
.
Отметим, что формула (3.13) имеет универсальный характер и может
применяться для всех спектральных приборов дифракционного и интерфе-
ренционного типов. Например, в случае интерферометров под понимается порядок интерференции, а в качестве берется эффективное число ин-
терферирующих лучей (см. § 2.1.2 лабораторной работы № 2).
Область свободной дисперсии
Данная величина характеризует максимальный интервал длин волн,
который при использовании ДР можно наблюдать без перекрывания соседних дифракционных порядков. Ясно, что перекрывание порядков препятствует однозначному определению спектра, если его ширина больше, чем
.
Исходя из определения и используя формулу (3.5), получим:
45
(3.14)
(3.15)
откуда
С ростом порядка дифракции область свободной дисперсии решетки сужается, в то время как ее спектральное разрешение возрастает (см. (3.13)). Та-
ким образом, величины и являются конкурирующими. В случае широко спектральных измерений, когда необходимо максимизировать, сле-
дует работать в первом порядке дифракции, а разрешающую способность
увеличивать за счет увеличения .
§ 3.1.3. Особенности режима наклонного падения
На практике в ряде случаев оказывается более выигрышным облучать
ДР не по нормали, а под углом. При наклонном падении излучения щели
решетки возбуждаются не одновременно, а с отставанием по фазе на вели-
чину , где
– угол падения (рис. 3.5). Это приводит к модифика-
ции основной формулы дифракционной решетки следующим образом:
В формуле (3.15) знаки
екции волновых векторов
шетки, параллельны (рис. 3.5 а). Если же
(рис. 3.5 б), то знаки
и следует брать положительными, если про-
и
и отрицательны.
на ось , перпендикулярную щелям ре-
и
антипараллельны
Рис. 3.5. К выводу основной формулы ДР для случая наклонного паде-
ния: (а) − проекции
разные стороны от нормали к решетке; (б) − проекции
и
параллельны, углы и отсчитываются в
и
антипарал-
лельны, углы и отсчитываются в одну стороны от нормали
При наклонном падении нулевой порядок, согласно (3.15), наблюдается
в направлении, совпадающем с направлением распространения падающей
волны:
. При этом оказывается возможным появление дифракци-
онных гармоник более высоких отрицательных порядков, нежели в случае
46
= 0, который регулируется неравенством (3.10). Действительно, макси-
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
мальное значение модуля разности синусов в (3.15) равно 2, что достигается
при углах
и .Поэтому вместо неравенства (3.10) в
общем случае следует писать
Переход к более высоким порядкам дифракциипозволяет увеличить разрешающую способность решетки согласно (3.13). Кроме того, при
наклонном падении в
раз увеличивается геометрический размер об-
ласти в плоскости ДР, засвечиваемой исходным пучком излучения. Поэтому если эта область не выходит за габариты решетки, то пропорционально увеличивается и число ее штрихов, формирующих поле дифракции,
что также увеличивает величину .
Вычисление угловой ширины главных максимумов при наклонном
падении показывает, что описывается формулой, аналогичной (3.9), но с
тем отличием, что теперь
определяется из равенства (3.15):
В этом легко убедиться, продифференцировав обе части (3.15) по перемен-
ным
и и приняв во внимание соотношение (3.13).
Интересно отметить, что в режиме скользящего падения, т. е. когда
близок к , оказывается возможным использование «грубых» решеток
( ) для эффективного наблюдения дифракции. Очевидно, что такие ре-
шетки более просты в изготовлении, однако при нормальном облучении
ввиду малости дифракционных углов формируемые ими дифракционные
порядки располагаются очень близко друг к другу и поэтому трудно различимы. Эти порядки могут быть значительно разведены (т. е. увеличена уг-
ловая дисперсия ДР) по мере приближения к . Эффект проявляется
таким образом, как будто происходит эффективное уменьшение периода ре-
шетки . Чтобы в этом убедиться, представим равенство (3.15) в виде
Если , то углы дифракции малы и угол
мало отличается от
. Это
позволяет свести (3.18) к форме
Из сравнения формул (3.19) и (3.5) можно видеть, что угол между направлениями на нулевой и ненулевые максимумы вычисляется так же, как для
47
нормального падения на решетку с периодом . Если
близок к
, то эффективный период ДР уменьшается весьма значительно.
В экспериментальной физике использование «грубых» решеток эффективно применяется для наблюдения дифракции рентгеновских лучей, длина
волны которых в десятки тысяч раз меньше, чем световых. Например, ДР с
периодом (10
3
штрихов/мм) является «грубой» для рентгенов-
ского диапазона, однако после прецизионной установки под углом
такая решетка становится эквивалентной ДР с периодом
1 Å = 104 мм и может быть использована для изучения дифракции рентгеновских лучей с величиной , составляющей долю ангстрема. Такой метод
дает экспериментаторам возможность весьма точного определения длины
волны рентгеновского излучения. Впервые он был применен в 1925 г. Комп-
тоном и Дьюэном, которые использовали ДР с периодом .
§ 3.2. Устройство дифракционной решетки и поворотной оправы
Дифракционная решетка представляет собой тонкую лавсановую пленку
с напыленными на нее металлическими полосками, образующими систему
щелей с шагом расположения и шириной щели .
Пленка приклеена к оправке диаметром 100 мм, которая вставлена в
обойму.
Поворотное устройство оправы дифракционной решетки состоит из неподвижного основания большого диска с отверстиями для крепления к
плите; стойки с фиксирующим винтом, в которую вставляется обойма с закрепленной в ней дифракционной решеткой; поворотной «руки», к которой
жестко крепится блок приемника излучения. «Рука» может поворачиваться
вокруг решетки на 360 градусов. На большой диск нанесены деления для
отсчета угла поворота (большой лимб). Кроме того, обойма с решеткой может поворачиваться относительно неподвижного основания. Фиксирование
поворота обоймы производится прижимным винтом. Угол поворота
обоймы отсчитывается по малому лимбу, неподвижно связанному с основанием.
§ 3.3. Практические задания
Упражнение 1. Измерение диаграммы направленности исходного
пучка излучения
Соберите установку согласно рис. В1 в следующем порядке:
1) с помощью линейки отрегулируйте высоту расположения источника
излучения, тефлоновых линз и приемника в их подставках так, чтобы центры всех элементов были на высоте 80 мм от основания;
2) закрепите источник и линзу 4 вдоль «оси», образованной одним из
рядов отверстий в плите-основании так, чтобы расстояние от плоскости
48
симметрии линзы до узкого места рупора излучателя было 50 мм (используйте линейку). После линзы 4 установите поглощающую диафрагму 6;
3) закрепите на этой же «оси» на расстоянии 40 см от линзы 4 прием-
ник излучения с линзой 7 таким образом, чтобы их ось симметрии совпадала
с осью всей системы. Расстояние между приемной линзой и входным окном
приемника выставьте равным 50 мм;
4) соедините генератор и приемник кабелями с электронным блоком;
5) включите электронный блок. Мигание светодиода на корпусе генера-
тора излучения свидетельствует о нормальной работе прибора. Поставьте
переключатель коэффициента усиления электронного блока в положение
«1»;
6) медленно передвигая линзу 4 перпендикулярно оси системы в неболь-
ших пределах, добейтесь максимального показания прибора электронного
блока. Ослабьте барашек, фиксирующий расстояние между рупором и линзой, и подъюстируйте данное расстояние с целью максимизации сигнала. В
случае зашкаливания сигнала ослабьте интенсивность излучения путем
введения в тракт пленочного аттенюатора 11!;
7) отъюстируйте линзу 7 приемника, выполнив действия аналогичные
описанным в пункте 6);
8) прикрутите блок приемника излучения к подвижной «руке» поворотной оправы дифракционной решетки иубедитесь, что вращению приемного
блока ничего не препятствует. Саму поворотную оправу установите относительно источника излучения таким образом, чтобы центр диска (лимба)
располагался на оптической оси источника, а расстояния от центра до обеих
линз были одинаковы (рис. 3.6). Зафиксируйте большой диск прижимами;
9) снимите обойму с дифракционной решеткой с поворотной оправы,
обеспечив беспрепятственное прохождение пучка ММ-излучения от источника к приемнику. Проверьте юстировку элементов оптической схемы, убедившись, что показания электронного блока максимальны, когда источник
и приемник располагаются вдоль оптической оси ( , рис. 3.6).
Вращая блок приемника излучения с помощью подвижной «руки»,
снимите диаграмму направленности исходного квазипараллельного пучка
излучения с шагом 1.
Постройте график зависимости интенсивности излучения от угла при-
ема и найдите ширину диаграммы направленности на уровне поло-
вины от максимума интенсивности. Используя полученные данные, оцените диаметр пучка излучения, а также эффективное число щелей решетки
, которые перекрываются таким диаметром.
49
Рис. 3.6. Квазиоптическая схема для изучения дифракции на амплитуд-
ной решетке
Упражнение 2. Изучение дифракции на решетке в режиме нормального падения
Установите обойму с дифракционной решеткой на неподвижное основание поворотной оправы и зафиксируйте прижимным винтом решетку в положении, когда ее плоскость перпендикулярна пучку падающего излучения
( , рис. 3.6).
Вращая блок приемника излучения, снимите зависимость интенсивно-
сти, регистрируемой приемником, от угла дифракции , просканировав
диапазон углов . Шаг изменения по углу в районе главных
максимумов рекомендуется брать 1. Убедитесь, что в режиме нормального
падения решетка имеет порядки дифракции: ,, и .
Постройте график измеренной зависимости и сравните с диаграм-
мой, полученной в упражнении 1. Определите угловые положения
главных максимумов и порядков и вычислите по ним среднее значе-
ние длины волны излучения, применив формулу (3.5).
Используя полученное значение и зная эффективное число щелей ре-
шетки в сечении пучка, сопоставьте экспериментальную зависимость
с расчетной (3.4), обратив внимание на соотношение интенсивностей
максимумов 0-го, 1-го и 2-го порядков и их угловую ширину. Для вычисления теоретических значений используйте формулу (3.9)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]