Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках и элементах теплообменного оборудования ЯЭУ. Учебное пособие
.pdf
2. Каковы достоинства и недостатки одно-, многошаговых и
-значных разностных схем решения ОДУ?
3.
Что такое схема Эйлера?
4.
Как получить расчетные формулы исправленного метода Эй-
лера?
5.
Какой порядок аппроксимации имеет модифицированный
метод Эйлера?
6.
Что такое метод Рунге–Кутта 4-го порядка аппроксимации?
7.
Как получаются расчетные формулы явной схемы Адамса
2-го порядка аппроксимации?
8.
Каков порядок аппроксимирующего полинома при построе-
нии неявной схемы Адамса 2-го порядка аппроксимации?
9.
Что такое явная схема Адамса 4-го порядка аппроксимации?
10.
Что такое неявная схема Адамса 4-го порядка аппроксима-
ции?
11.
Как выбирается число итераций в методе прогноза-
коррекции?
12.
Как получаются расчетные формулы метода прогноза-
коррекции на основе схем Адамса 2-го порядка аппроксимации?
13.
Какие расчетные формулы используются в методе прогно-
за-коррекции на основе схем Адамса 4-го порядка аппроксимации?
14.
Что такое «жесткая» система уравнений?
15.
Какой многозначный метод решения используется для ре-
шения «жестких» задач?
16.
Как оценить погрешность численного решения?
17.
Каковы основные возможности учебной программы
Ody_lab?
18.
Каковы основные возможности учебной программы Sys-
temOdy_lab?
41
2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА
Пространственно-временные поля температур, скоростей, давлений и других теплофизических параметров при моделировании
процессов тепломассопереноса определяются из решения краевых
задач для дифференциальных уравнений в частных производных в
заданных областях изменения пространственных переменных и на
заданных временных интервалах. В настоящее время применение
вычислительной техники и численных методов позволяет получать
приближенные решения многомерных, нелинейных, нестационарных задач теплообмена, для которых использование точных и приближенных аналитических методов не представляется возможным.
При использовании численных методов на первом этапе решения задачи выполняется дискретизация пространственной и временной областей, в ходе которой в этих областях задаются узловые
точки. На втором этапе составляется система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых
точках. Полученная система уравнений решается на третьем этапе.
Основными численными методами решения уравнений в частных производных являются: метод конечных разностей и метод
конечных элементов. Они отличаются способами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на
дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов – на эквивалентной вариационной постановке
задачи.
В данном разделе на примере уравнения теплопроводности рассмотрим основные понятия теории численных методов, свойства и
методы создания конечно-разностных схем.
2.1. Основные понятия теории разностных схем
2.1.1. Разностная схема и разностное решение
Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для
пластины с внутренним источником тепловыделения
42
TT
x
J
x
J
{}{
}
x
x
∂∂
cqxltt
ρ=λ + << <≤
t
На границах пластины заданы граничные условия третьего рода
а начальное условие имеет вид
∂
2
,0 ,0 .
v
2
x
∂
T
∂
λ+α =
x
∂
(,) ().
Txt T x
Tq
0, 0,
ll
xl
=
0,
= (2.3)
|0 0
t
=
max
,
(2.2)
(2.1)
Решением задачи (2.1)–(2.3) является функция ( , ),Txt заданная в
непрерывной области
{}{ }
00 ttlx ≤≤×≤≤=Ω
max
.
При использовании численных методов в пространственной области выбирается некоторое конечное число значений координаты
, , ...,
xx
12
менной также выбирается конечное число значений
(узлов пространственной сетки), для временной пере-
N
, , ...,
tt t
01
(узлов временной сетки). Цель – определение значений температу-
j
ры
T в узлах пространственной сетки
n
j
TTxt n Nj J=== (2.4)
( , ), 1,..., ; 0,..., ,
nnj
в моменты времени
n
t :
т.е. значения искомой функции находятся в дискретной области
Ω, (рис. 2.1):
th Δ
,, ,, .
Ω= ×
,1 0
ht N J
Δ
xtt
Для упрощения будем считать пространственное и временное
разбиения равномерными с шагами h по координате х и Δt по времени:
( 1) , /( 1), 1, ..., ;
nhhlN n N=− = − =
n
tjtttJj J=Δ Δ= =
j
, / , 0,..., .
max
43
Рис. 2.1. Пространственно-временная сетка,
x
x
используемая при численном решении
Уравнения для определения
(2.1)–(2.3).
Выразим производные дТ/дх и д2Т/дх2 в точке ( , )
чения функции
j
T в этой точке и в некоторых соседних узлах сет-
n
ки. Из определения производной имеем
∂
T
=+δΔ
∂Δ
j
где )( t
разность 1−−
Δδ – величина, стремящаяся к нулю при 0→Δt . Конечную
n
j
n
j
TT называют «разностью назад», или левой раз-
n
tt
ностью.
Выражение для )( t
1−j
T с помощью разложения в ряд Тейлора относительно точки
n
(,):
t
nj
TT t
nn
j
Δδ можно получить, выразив в (2.5)
n
TTt
∂∂Δ
jj
−
1
=− Δ+ −
t
∂
j
T получим из основной задачи
n
t через зна-
nj
1
jj
TT
−
−
nn
j
n
∂
j
t
(),
(2.5)
n
j
22
.
2
t
n
2
44
После несложных преобразований получим:
γ
x
ρρ
j
δΔ= − +
n
t
() .
jj
232
Tt Tt
∂Δ∂Δ
23
26
tt
∂∂
nn
(2.6)
Из выражения (2.6) следует, что при достаточно малых Δt выполняется неравенство 1() .
разом, )( t
j
Δδ является величиной порядка Δt, т.е. o(Δt).
n
j
t А tδΔ ≤ Δ Здесь А1 – константа. Таким об-
n
Аналогичным образом можно построить аппроксимацию для
временной производной с помощью «разности вперед» (или правой
разности):
1
jj
+
TT
T
∂
=+Δ
tt
∂Δ
−
nn
ot
(2.7)
().
Достоинства и недостатки этих двух способов аппроксимации
производной дТ/дt рассмотрим позднее.
При построении выражения для второй производной д2Т/дх2 ис-
j
пользуем значения искомой функции
пространственной сетки:
Используя представление
тельно точки
j
n
j
2
∂∂∂
TT
== +
2
x
∂
=γ .
xx h
∂∂
n
2
)()(
hoh
j
n
jj
(2 )/ ().
TTTh h
=−+ +γ
nn
−+
11
(,),
можно показать, что в выражении (2.8)
t
nj
jj
jj
−−−
()/()/
TThTT h
nn
nn
11
+−
jj
nn
j
T1+ с помощью рядов Тейлора относи-
n
T
в трех соседних узлах
n
j
()
h
n
2
=
(2.8)
Подставив выражения для производных (2.5) и (2.8) в уравнение
теплопроводности (2.1), получим
jj
1
−
−
TT q
nn n n v
Δ
t сс
jj
+δ = +γ +
nn
jjj
−+
2
TTT
λ
n
11
+−
2
h
. (2.9)
45
j
j
ρ
Jjj
Отбрасывая величины
δ и
ния приближенных значений
uu q
1
jj
−
−
nn v
=−++
t с
Δ
j
γ , получим уравнение для определе-
n
n
j
u
искомой величины :
n
a
jjj
uuu
()
2
h
2
nn
+−
n
11
T
n
. (2.10)
Здесь a – коэффициент температуропроводности, a = λ/ρc.
Уравнения (2.10) можно записать для всех внутренних пространственных узлов (п = 2, ..., N – 1). Уравнения для ju1 и
j
u по-
N
лучим из граничных условий (2.2). Заменяя производные их разностными аналогами и отбрасывая члены порядка о(h), получим
,
jj
uu
−
N
−
N
1
ll
N
jj
uu
−
21
−λ +α = λ +α = . (2.11)
hh
jj
uq uq
00
1
В начальный момент времени из начального условия (2.3)
имеем:
0
uTx n N== . (2.12)
В численных методах дискретное множество
(), 1,,
0
nn
N
{}
n
1
nx=
называется
пространственной сеткой, дискретное множество
менной сеткой, дискретное множество (область)
t
{}
Ω, – про-
– вре-
0
=
th Δ
странственно-временной сеткой. Совокупность значений
j
n
),(
txTT = в узлах пространственно-временной сетки называет-
jn
ся сеточной функцией точного решения. Совокупность приближенных значений
решения, или просто разностным решением. Разница между
j
называется погрешностью разностного (численного) решения.
u
n
Обозначим ее через
j
называется сеточной функцией разностного
u
n
j
j
j
n
n
. Система алгебраических уравне-
uT −=ε
n
j
и
T
n
ний (2.10)–(2.12), соответствующая исходной дифференциальной
задаче (2.1)–(2.3), называется разностной схемой.
46
2.1.2. Сходимость, аппроксимация
и устойчивость разностной схемы
При численном решении дифференциальных уравнений можно
выделить следующие этапы:
• замена исходной области непрерывного изменения перемен-
ных пространственно-временной сеткой;
• построение разностной схемы;
• решение системы разностных уравнений.
При построении разностной схемы необходимо обеспечить
стремление сеточной функции разностного решения
функции точного решения
j
при измельчении шагов по про-
T
n
странственным и временной координатам. Погрешность
j
u к сеточной
n
j
ε раз-
n
лична в разных узлах пространственно-временной сетки. Погрешность во всей области
j
:
ε
n
Ω, характеризуют нормой погрешности
th Δ
jj
max
ε= ε
nn
nj
. (2.13)
,
Используя понятие нормы, сформулированное требование к разностной схеме можно записать в виде
j
lim 0
ε=
0,
thΔ→
0
→
. (2.14)
n
Условие (2.14) называется условием сходимости разностной
схемы. Если при достаточно малых Δt и h выполняется условие
jrp
С t С hε≤Δ+
12
n
где
,CC – постоянные, не зависящие от Δt и h, то говорят, что
12
разностная схема сходится со скоростью ( ),
, (2.15)
rp
ot hΔ+ или порядок
точности схемы равен r по временной и р по пространственной переменной, т.е. понятие порядка точности характеризует асимптотическое поведение погрешности при измельчении сетки.
47
Уравнение (2.9) для сеточной функции точного решения
ψ
ψ
j
личается от разностного уравнения (2.10) для
j
γ , стремящиеся к нулю при 0,0 →→Δ ht . Поэтому точные се-
n
точные функции
j
в общем случае не удовлетворяют уравнениям
T
n
для разностного решения, и при подстановке
возникает некоторая невязка
j
. Для разностного уравнения (2.10)
ψ
n
j
на величины
u
n
j
T в эти уравнения
n
T
n
j
от-
j
δ и
n
эта невязка:
j
j
с λγ+δρ−=ψ
n
. (2.16)
n
Невязка
j
n
j
, которая возникает при подстановке сеточной функции
ψ
n
точного решения в уравнение для разностного решения, называется
погрешностью аппроксимации исходного дифференциального
уравнения разностным уравнением. Эта невязка, как следует из со-
j
отношений для
δ и
j
γ , стремится к нулю при измельчении сетки:
n
n
j
().
othψ= Δ+
n
2
Для характеристики погрешности аппроксимации всей разностной схемы вводят ее норму
j
, определяемую как и
n
j
, из
ε
n
(2.13).
Условие аппроксимации исходной дифференциальной задачи
разностной схемой заключается в том, что погрешность аппроксимации должна стремиться к нулю при измельчении пространственно-временной сетки:
Если
rp
(),
ot hψ=Δ+
n
lim 0
thΔ→
то говорят, что имеет место аппрокси-
j
. (2.17)
=
n
0,
0
→
мация с порядком r по времени и р по пространственной координате.
48
Стремление к нулю «отличительных членов»
ψ
j
при измельче-
ψ
n
нии шагов пространственно-временной сетки позволяет надеяться
j
на сходимость
u к
n
j
T . Однако это выполняется не всегда. Необ-
n
ходимо, чтобы помимо аппроксимации выполнялось условие
устойчивости.
Понятие устойчивости связано с «поведением» погрешности
j
ε
n
при 0,0 →→Δ ht . Рассматриваемая разностная задача решается
последовательно во времени, причем решение на (j – 1)-м слое ис-
пользуется для определения решения на j-м слое. Погрешность
1
ε
n
на первом временном слое уже будет отлична от нуля и будет зависеть от
1
ψ . На втором временном слое погрешность
n
ется погрешностью на предыдущем слое
проксимации
2
. Происходит как бы «перенос» погрешности раз-
ψ
n
1
и погрешностью ап-
ε
n
2
ε определя-
n
ностного решения с предыдущего шага на текущий и ее «взаимодействие» с погрешностью аппроксимации.
Если схема не обладает устойчивостью, то при решении задачи
в результате описанного процесса происходит увеличение погреш-
ности
j
по мере продвижения во времени. Появляется и развива-
ε
n
ется так называемая «раскачка» схемы, которая выражается в том,
что погрешность увеличивается по модулю и меняет знак при переходе от одного временного слоя к следующему.
При измельчении сетки в случае неустойчивых схем погрешность не уменьшается, несмотря на снижение погрешности аппрок-
симации
происходит. Величина
при понижении погрешности аппроксимации
j
. Для устойчивых схем такого роста погрешности не
ψ
n
j
остается ограниченной и уменьшается
ε
n
j
.
ψ
n
Запишем условие устойчивости как условие выполнения неравенства
jj
Bε≤
nn
(2.18)
при достаточно малых Δt и h и постоянной В, не зависящей от Δt
и h.
49
При более общей математической трактовке устойчивость рассматривается как свойство разностной схемы, заключающееся в
том, что малым изменениям правых частей в системе алгебраических уравнений разностной схемы соответствуют малые изменения
разностного решения.
Если условие (2.18) выполняется при любом соотношении между шагами Δt и h, то схему называют безусловно устойчивой. Если
устойчивость наблюдается лишь при условии выполнения определенного соотношения между шагами по пространственной координате и по времени, то схему называют условно устойчивой.
Выполнение условий аппроксимации и устойчивости является
необходимым и достаточным для сходимости.
2.2. Явная и неявная разностные схемы
При аппроксимации производной по времени обычно используют значения Т в j-й и (j – 1)-й моменты времени. Такие разностные схемы называются двухслойными.
Пространственный дифференциальный оператор в двухслойных
схемах также аппроксимируют на основе значений температуры в
j-й и (j – 1)-й моменты времени. При этом наибольшее распростра-
нение получили два «крайних» случая. В первом случае при аппроксимации используются только значения температуры для искомого, текущего j-го момента времени:
а во втором – только значения температуры для предыдущего момента времени (j – 1):
Соответственно, получают два различных разностных уравнения,
которые аппроксимируют уравнение теплопроводности (2.1):
2
T
∂
2
x
2
T
∂
≈−+
2
x
∂
jj
TTTh
≈−+∂,
()
jjj
TTTh
()
nn
+−
2/
nn
+−
11
−−−
1112
2/
n
11
j
n
2
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]