Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование процессов тепло- и массопереноса
.pdf
71
N
i
ijij
yx
N
b
1
1
; j=0…k. (4.28)
.
ˆ
0
k
j
jj
xby
k
ji
ijji
k
j
k
j
jj
xxbxby
1
1
10
ˆ
3211233223311321123322110
ˆ
xxxbxxbxxbxxbxbxbxbby
№
опыта
x0
x1
x2
x3
x1 x2
x1 x3
x2 x3
x1 x2 x3
y
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
y1 2 +1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
y2 3 +1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
y3 4 +1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
y4 5 +1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
+1
y5 6 +1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
y6 7 +1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
y7 8 +1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
y8
N
i
i
i
yxx
N
b
1
2112
1
Линейное уравнение регрессии (без учета эффектов парного и тройного
взаимодействия) для представленного плана имеет вид
(4.29)
3. Расширяют МП для определения эффектов парного и тройного взаимо-
действия между уровнями различных факторов. Расширенная матрица планирования приведена в табл. 4.4.
Полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия имеет вид
В нашем случае
Расширенная матрица планирования ПФЭ типа 2
(4.30)
. (4.31)
Таблица 4.4
3
Эффекты взаимодействий определяют аналогично линейным эффектам.
Например, коэффициент парного взаимодействия x1x2 в соответствии с рассмотренной МП определится так:
; j=0…k. (4.32)
4. Определяют дисперсию воспроизводимости
72
1
1 1
2
2
mN
yy
S
Nim
u
iiu
воспр
, (4.33)
m
u
iui
y
m
y
1
1
2
воспр
S
1
1
2
00
2
m
yy
S
m
u
u
воспр
0
u
y
m
u
u
y
m
y
1
00
1
2
воспрвоспр
SS
NSS
воспрb
/
NmSS
воспрb
/
b
j
j
S
b
t
b
ij
ij
S
b
t
где среднее значение по серии дублирующих опытов
i=0…N. (4.34)
Если основные опыты не дублировались, то для определения дисперсии
воспроизводимости
в центре плана проводят дополнительно m дублирую-
щих опытов. В результате
, (4.35)
где
– результат дублирующего опыта в центре плана;
– среднее по
серии дублирующих опытов.
5. Подсчитывают ошибку воспроизводимости и точность коэффициентов
уравнения регрессии (одинаковые для всех b):
;
(4.36)
или при дублировании основных опытов
. (4.37)
6. Оценивают значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для
этого определяют квантиль распределения Стьюдента при числе степеней сво-
боды =т-1 для уровня значимости (который, как правило, выбирают из
стандартных значений: 0,01, 0,05 или 0,1): t
. При дублировании основных
/2,
опытов = N(т-1).
7. Рассчитывают статистики
для j=0…k;
Из сравнения полученных значений t с квантилем t
фициенты, для которых t< t
, являются незначимыми и их надо исключить
/2,
для i=1…k-1, j=i+1…k; и т.д.
следует, что коэф-
/2,
из уравнения регрессии.
73
8. Проверяют адекватность уравнения по критерию Фишера.
i
y
ˆ
N
yym
S
N
i
ii
ад
1
2
2
ˆ
N
yy
S
N
i
ii
ад
1
2
2
ˆ
2
ад
S
2
воспр
S
Для этого вычисляют значения
(i=1…N) по уравнению регрессии (4.30)
или для нашего случая по формуле (4.31).
Определяют дисперсию адекватности:
- при дублировании основных опытов
; (4.38)
- для случая выполнения отдельной серии опытов в центре плана
, (4.39)
где – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.
Определяют критерий Фишера F =
/
.
Находят значение квантиля распределения Фишера для уровня значимости
при степенях свободы
Если F < f
, то уравнение регрессии адекватно описывает эксперимент.
α;1;2
=N- и
1
=т-1: f
2
α;1;2
.
9. Преобразуют уравнения регрессии из безразмерных координат в нату-
ральный масштаб. Для этого вместо безразмерных факторов х в уравнение регрессии (4.31) подставляют выражения (4.24).
4.2.2. Композиционные планы Бокса-Уилсона
ПФЭ базируется на линейной модели изучаемого процесса. В практике
планирования факторного эксперимента может понадобиться варьирование не
на двух, а на большем числе уровней. При этом наиболее важным является рассмотрение факторов, которые изменяются непрерывно. Если необходимо путем
интерполяции определить оптимальную комбинацию уровней различных количественных факторов, то в эксперимент приходится включать хотя бы 3 уровня
каждого фактора. Это позволит изучить область, близкую к экстремуму.
Область, близкую к экстремуму, называют почти стационарной обла-
стью. Для ее описания приходится использовать нелинейные полиномы – чаще
74
всего полиномы второго порядка. Очевидно, что применение ПФЭ даже на трех
Рис. 4.4. Композиционный
план второго порядка
для k=2
уровнях типа 3k приведет к заметному увеличению числа опытов. Так, при изучении трех факторов потребуется 27 опытов, четырех – 81, пяти – 243. При
этом число коэффициентов уравнения регрессии, которые необходимо определить, значительно меньше числа опытов. Например, при трехфакторном эксперименте, выполняемом на трех уровнях, требуется определение всего 10 коэффициентов уравнения регрессии, при четырехфакторном – 15, пятифакторном –
25. Из приведенных данных очевидно, что число опытов в плане типа 3k растет
значительно интенсивнее, чем число коэффициентов уравнения регрессии, которые необходимо определить. Приведенные соображения показывают, что
план типа 3k неприемлем, так как не может рассматриваться как оптимальный
вследствие большого числа опытов.
Сокращение числа опытов достигается применением композиционных
планов.
Ядро композиционного плана составляет ПФЭ типа 2k. Так, полный фак-
торный эксперимент типа 22 может быть представлен точками 1, 2, 3, 4, как по-
казано на рис. 4.4. При построении композиционного
плана второго порядка к ядру плана необходимо доба-
вить 2k звездных плеч (точки 5, 6, 7, 8) и опыты в центре плана. Координаты опытов в центре плана нулевые
(0,0). Соответственно координаты в точках 5, 6, 7, 8
(,0) и (0,).
Общее число опытов в матрице композиционного
плана второго порядка
N = 2k + 2k + N0 ,
где N0 – число опытов в центре плана.
Композиционные планы второго порядка не ортогональны. Однако они
легко могут быть приведены к ортогональным путем выбора соответствующего
75
звездного плеча . Значения 2 при различном числе опытов N0 в центре плана
21
2
2
22
kk
N
№
опыта
x0
x1
x2
x1x2
1
+1
+1
+1
+1 2 +1
+1
-1
-1 3 +1
-1
-1
+1 4 +1
-1
+1
-1
№
опыта
x0
x1
x2
x1 x2
x
1
2
x
2
2
1
+1
+1
+1
+1
+1
+1 2 +1
+1
-1
-1
+1
+1
3
+1
-1
-1
+1
+1
+1 4 +1
-1
+1
-1
+1
+1
5
+1
+
0
0
2
0 6 +1
-
0
0
2
0
7
+1
0
+
0
0
2
8
+1
0
-
0
0
2 9 +1 0 0 0 0
0
2
1
x
2
2
x
рассчитываются по формуле
. (4.40)
В качестве примера рассмотрим построение композиционного плана для
двух факторов (k=2) при изменении каждого фактора на трех уровнях. Примем
один опыт в нулевой точке. Тогда число опытов
N = 2k + 2k + N0 = 22 + 22 + 1 = 9.
В качестве ядра плана примем ПФЭ типа 22 (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Матрица планирования ПФЭ типа 2
2
Для построения композиционного плана второго порядка необходимо добавить квадратичные эффекты каждого фактора и опыты в нулевой точке. Матрица композиционного плана имеет вид, как показано в табл. 4.6.
Таблица 4.6
Матрица композиционного плана второго порядка для двух факторов
ных столбцов
При k=2 и N0=1 имеем =1. Произведем линейное преобразование квадрат-
и
, пользуясь уравнением
76
,
3
2
9
12422
;
2
2
1
2
222
N
a
ax
N
x
xxxx
k
i
ii
N
j
ij
iiii
i=1…N. (4.41)
kkkkkkkkkk
axbaxbxxbxxbxbxbxbby
2
1
2
11111211222110
ˆ
N
i
ji
N
i
iji
j
x
yx
b
1
2
1
211100
ababbb
kk
N
i
jiвоспрb
xSS
j
1
222
j
b
j
j
S
b
t
ji
b
ij
ij
S
b
t,
Обработка результатов выполняется в такой последовательности.
1. Выписывается уравнение регрессии с преобразованными столбцами для
квадратичных эффектов
2. Определяются коэффициенты уравнения регрессии по формуле
. (4.43)
3. Вычисляется коэффициент b0:
. (4.44)
. (4.42)
4. Вычисление дисперсии воспроизводимости проводится по соотношени-
ям (4.33) или (4.35).
5. Подсчитываются дисперсии коэффициентов:
. (4.45)
6. Проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии по крите-
рию Стьюдента:
- рассчитываются статистики
для j=0…k;
для i=1…k-1, j=i+1…k; и т.д.
- определяется табличное значение квантиля распределения Стьюдента для
уровня значимости α и числа степеней свободы =m-1: t
.
α;
- производится отсев незначимых коэффициентов, для которых t< t
/2;
.
7. Определяется дисперсия адекватности (остаточная дисперсия) по соот-
ношениям (4.38) или (4.39).
77
8. Определяют критерий Фишера F =
2
ад
S
2
воспр
S
y
ˆ
constу
ˆ
2
constу
ˆ
2
k
2
ka
k
2
/
.
Находят значение квантиля распределения Фишера для уровня значимости
при степенях свободы
=N- и
1
=т-1: f
2
α;1;2
.
Если F < f
, то уравнение регрессии адекватно описывает эксперимент.
α;1;2
4.2.3. Рототабельное центральное композиционное планирование
Ортогональные центральные композиционные планы Бокса-Уилсона
(ОЦКП) имеют недостаток, связанный с различной точностью предсказаний
значений
на разных удалениях от центра плана:
при R=const,
где R – радиус-вектор в факторном пространстве, т.е. дисперсия (точность)
предсказания выхода по найденному уравнению регрессии постоянна в различных направлениях факторного пространства в точках, расположенных на одинаковом расстоянии от центра планирования.
При использовании рототабельных центральных композиционных планов
(РЦКП) обеспечивается равная точность предсказания выхода внутри области
планирования:
при R=var.
Матрица плана для РЦКП строится аналогично матрице ОЦКП с учетом
следующих характеристик:
N
= 2k – количество опытов ПФЭ типа 2k;
ПФЭ
N = 2k – количество опытов в звездных точках;
N0 = k2/2
N = N
k-2
+2k – количество опытов в центре плана;
+ N + N0 – общее количество опытов РЦКП;
ПФЭ
– звёздное плечо;
– константа преобразования элементов столбцов, соответствую-
щих квадратам факторов.
Опыты в центре РЦКП не обязательно проводить многократно, достаточно
провести один и записать его результаты N0 раз.
78
Дальнейшая обработка результатов опытов РЦКП проводится аналогично
0xy
i
описанному ранее для ОЦКП.
4.2.4. Экстремальные эксперименты
В настоящее время большое значение среди задач инженерной практики
приобрели задачи, связанные с разработкой и выбором наиболее рационального
способа управления оборудованием.
Все сравниваемые варианты управления должны удовлетворять некоторым
ограничительным условиям технологического или экономического характера,
сформулированным при постановке задачи. Выбор оптимального варианта может быть произведен путем сопоставления значений показателя (критерия оп-
тимальности), характеризующего ценность того или иного решения.
Задача оптимизации может быть решена двумя основными путями:
1) получение математической модели процесса y=f(x1,x2,…,xn) во всей об-
ласти факторного пространства, а затем использование этой модели для определения точки экстремума;
2) методами экспериментального поиска выйти в район экстремума, а за-
тем искать точку экстремума в ограниченной зоне.
Если упростить задачу до экспериментального определения модели процесса, связывающего лишь один отклик с факторами хi (i=1,2,...,п), то задачей
экстремального эксперимента будет являться не определение зависимости
y=f(x1,x2,…,xn), а определение оптимума функции y, при котором все частные
производные
.
При этом отклик y называется параметром оптимизации.
Планирование экстремального эксперимента – это метод выбора мини-
мального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий выполнения поставленной цели.
Основные требования к факторам и параметрам оптимизации.
Для планирования эксперимента необходимо, чтобы факторы и параметры
оптимизации удовлетворяли определенным требованиям.
79
Рассмотрим вначале требования к факторам.
Факторы должны быть управляемыми и определяться операционально.
Управляемость фактора означает, что экспериментатор, выбрав и установив
нужное значение фактора, может поддерживать его постоянным в течение всего
опыта. Операционность определения фактора предполагает указание последовательности установления уровней фактора, установление размерности фактора
и точности его фиксирования. Степень точности замера фактора определяется
диапазоном его изменения. Факторы должны быть однозначны (т.е. не являться
функциями других факторов).
При проведении экспериментов на объект исследования обычно воздействует не один, а несколько факторов. К совокупности факторов выдвигаются
требования их совместимости и отсутствия линейной корреляции между ними. Несовместимость факторов может привести к разрушению объекта исследования. Независимость факторов предполагает возможность установления необходимого уровня любого фактора вне зависимости от уровней остальных
факторов. Требование линейной некоррелированности факторов предполагает
достаточным отсутствие между ними линейной связи. Выбор факторов является ответственным этапом при подготовке к планированию эксперимента.
Рассмотрим теперь основные требования к параметру оптимизации.
Первой задачей экстремального эксперимента является выбор выходного
переменного (параметра оптимизации), по которому необходимо оптимизировать процесс. Виды параметров оптимизации зависят от объекта и цели его исследования.
Параметр оптимизации имеет свою область определения и должен быть
количественным, т.е. задаваться числом. Однако в ряде случаев нет способа
определения числового значения параметра. В этом случае используют прием,
называемый ранжированием. Прием состоит в присваивании параметрам оптимизации оценок (рангов) по заранее выработанной шкале. Ранговый подход
имеет дискретную ограниченную область применения. Для каждого измеряемо-
80
го параметра можно построить ранговый аналог. Однако предпочтение следует
отдавать числовому значению параметра.
Параметр оптимизации должен быть однозначен в статистическом смысле
(заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение
параметра оптимизации с точностью до ошибки эксперимента).
Желательно, чтобы параметр оптимизации был универсальным, или пол-
ным. Под универсальностью параметра понимается его способность к всесто-
ронней характеристике объекта. Универсальностью обладают обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от частных параметров
оптимизации.
Наконец, желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический
смысл, был простым и легко вычисляемым.
Приближение к оптимуму параметра оптимизации
Рассмотрим наиболее употребительные способы приближения к оптимуму
параметра оптимизации. При этом для использования возможностей геометрической интерпретации процесса будем рассматривать простой случай «черного
ящика» с двумя входами и одним выходом.
В общем виде математическая модель объекта (или процесса) представляется в виде функции y=f(x1,x2).
Если функция у непрерывна, то она образует непрерывную поверхность,
ограниченную значениями х1, х2, соответствующими минимальным и максимальным уровнями факторов. Эту поверхность называют поверхностью откли-
ка. Пространство, в котором строится поверхность отклика, называют факторным пространством. Иногда под факторным пространством понимают про-
странство, ограниченное только осями факторов.
Для двух факторов можно не переходить к трехмерному пространству, а
ограничиться плоскостью факторов. Для изображения на этой плоскости функции y=f(x1,x2) можно произвести сечение поверхности отклика плоскостями,
параллельными плоскости факторов, а линии, полученные в сечениях, спроек-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]