Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование процессов тепло- и массопереноса
.pdf
31
N
i
iii
rr
t
Q
1
1
111
4
. (3.15)
t
xxf
xxf
tt
x
21
1
1
,
,
)();(
2
2
1
1
2211 xxср
xx
xxср
xx
tt
dx
dt
tt
dx
dt
21
21
11
)(
Ftt
Q
срср
В уравнениях (3.14)-(3.15) индекс i относится к предыдущему
(внутреннему) радиусу, а (i+1) – к последующему (наружному) радиусу слоя.
Если считать, что коэффициент теплопроводности стенки не зависит от
температуры, то из уравнения (3.7) можно получить выражение для
определения закона распределения температур по толщине стенки. В
результате преобразований получим
. (3.16)
Итак, в плоской стенке распределение температуры по толщине
прямолинейное. В цилиндрической стенке температура меняется по
логарифмической кривой, а в сферической – по кривой, близкой к гиперболе.
Передача тепла от одной подвижной среды с температурой t
температурой t
через разделяющую их однородную или многослойную
ср2
к другой с
ср1
твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача
включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке,
теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной
подвижной среде.
Граничные условия на поверхностях стенок
. (3.17)
Полное количество передаваемого через плоскую стенку тепла [5]
. (3.18)
Отношение 1/ называется тепловым сопротивлением теплоотдачи. Сумма
сопротивлений в знаменателе формулы (3.18) представляет собой тепловое
сопротивление теплопередачи.
32
При наличии в стенке нескольких слоев, имеющих разную толщину и
N
i
i
i
срср
Ftt
Q
1
21
21
11
)(
N
i
i
i
k
1
21
11
1
N
i
Ni
i
i
срср
l
rr
r
r
tt
q
1
12
1
11
21
1
ln
11
)(2
N
i
Ni
i
i
l
rr
r
r
k
1
12
1
11
1
ln
11
2
изготовленных из различных материалов, уравнение для определения
количества тепла, передаваемого через многослойную стенку, имеет вид
. (3.19)
В этом случае предполагается, что тепловые сопротивления слоев
размещаются последовательно по направлению теплового потока.
В уравнении (3.19) величина
(3.20)
называется коэффициентом теплопередачи плоской стенки. Численно он равен
тепловому потоку, передаваемому через 1 м2 поверхности стенки при разности
температур сред, омывающих стенку, в 1 К, и имеет размерность Вт/(м2·К).
Для цилиндрической стенки величину теплового потока удобнее относить
к единице длины цилиндра.
Тепловой поток через многослойную цилиндрическую стенку,
приходящийся на 1 м длины цилиндра (линейный тепловой поток), [Вт/м]:
(3.21)
где
– полный линейный коэффициент
теплопередачи, характеризующий интенсивность передачи тепла от одной
подвижной среды к другой через разделяющую их многослойную
цилиндрическую стенку, Вт/(м·К).
Если цилиндрическая стенка тонкая (r2/r11), то величина линейного
теплового потока
33
)(2
21 срсрl
ttrkq
, (3.21)
N
i
N
iii
срср
r
rr
r
tt
Q
1
2
12
1
2
11
12
11111
)(4
)()(
2211
21
срxxxxср
ttttq
где r – радиус трубы, м; k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К).
Для многослойной шаровой стенки тепловой поток
. (3.22)
Температуры поверхностей стенок легко определить с помощью
граничных условий, используя при этом известную величину теплового потока:
. (3.23)
Зная температуры поверхностей и величину q, можно вычислить также
температуры поверхностей соприкосновения отдельных слоев. При
определении температур той или иной поверхности должны использоваться
соответствующие этой поверхности граничные условия.
При анализе уравнений для определения величины удельного теплового
потока, передаваемого от одной среды к другой через разделяющую их стенку,
можно легко установить, что с целью интенсификации теплопередачи следует
увеличить или разность температур сред, или коэффициент теплопередачи.
Увеличить разность температур сред в ряде случаев не представляется
возможным, поэтому целесообразно влиять на величину q путем изменения
термического сопротивления теплопередачи. Оно падает при уменьшении
толщины стенки и увеличении коэффициента теплопроводности, а также при
увеличении коэффициента теплоотдачи. Термическое сопротивление стенки
изменять в ряде случаев нельзя, поэтому термическое сопротивление
теплопередачи можно уменьшить путем увеличения коэффициентов
теплоотдачи.
Чтобы выяснить влияние коэффициента теплоотдачи на величину
коэффициента теплопередачи k, уравнение для определения последней удобнее
представить в виде
34
1
2
2
2
1
1
21
11
11
1
k
, (3.23)
где не учитывается термическое сопротивление стенки.
Если принять, что
При
1
величина k
<<
1
, то величина k
2
, поэтому увеличение большего коэффициента
2
.
1
теплоотдачи практически не влияет на повышение k. Наиболее целесообразно
изменять величину меньшего коэффициента теплоотдачи, что приведет к
увеличению k.
Для выравнивания термических сопротивлений теплоотдачи с обеих
сторон стенки, когда одна поверхность стенки омывается капельной жидкостью
с большим коэффициентом теплоотдачи, а другая – газом с меньшим
коэффициентом теплоотдачи, создающим большое термическое сопротивление,
на практике применяются ребристые поверхности. Оребрение стенки с
большим термическим сопротивлением позволяет увеличить поверхность ее
соприкосновения с горячим (или холодным) теплоносителем, уменьшить общее
тепловое сопротивление теплопередачи и увеличить тепловой поток.
3.2. Нестационарный теплоперенос
В отличие от стационарного режима температурное поле при
нестационарном теплопереносе изменяется во времени, поэтому
нестационарный тепловой процесс всегда связан с явлениями нагрева и
охлаждения тел. В металлургии нагрев металлов и сплавов производят либо для
уменьшения их сопротивления пластической деформации (т.е. перед ковкой
или прокаткой), либо для изменения структуры, т.е. при термической
обработке. При нагреве перед обработкой давлением температура выдачи
заготовок из печи должна быть достаточно высокой, так как это приводит к
повышению производительности прокатного и кузнечного оборудования.
Однако существует верхний предел температуры нагрева, поскольку она
35
лимитируется ростом зерна, явлениями перегрева и пережога, а также
TT
Е
ср
1
ускоренным окислением металла. Нижний предел температуры нагрева
устанавливают исходя из допускаемой температуры в конце обработки
давлением с учетом всех потерь тепла от заготовки и выделением тепла в ней
самой за счёт пластической деформации. Кроме того, при нагреве металла из-за
термических деформаций различных частей твердого тела возникают
напряжения, которые в упругопластической области определяются законом
Гука:
, (3.24)
где β – коэффициент линейного расширения, 1⁄К; Е – модуль упругости, Па;
ν – коэффициент Пуассона (для стали ν=0,3); Тср, Т – температура средняя по
толщине заготовки и в данной точке соответственно, К.
Наибольшее совпадение с действительностью имеет постановка задачи
охлаждения или нагревания различных тел с граничными условиям III рода,
когда задается коэффициент теплоотдачи α между телом и окружающей средой.
Действительно, в практике работы металлургических печей чаще всего
известны температуры внешнего источника тепла, а также закон теплообмена
между внешней средой и поверхностью нагреваемого материала. С другой
стороны, решения для граничных условий I и II рода могут быть сведены к
задаче с граничными условиями III рода.
Если перепад температур по сечению заготовки несущественен, такое тело
называют термически тонким, в противном случае – термически массивным.
Следует отметить, что аналитическое решение нагрева (охлаждения) тел
различной формы предоставляет собой достаточно сложную задачу и в
инженерных расчетах прибегают к некоторым упрощениям.
3.2.1. Нагрев термически тонкого тела
Пусть имеется некоторое термически тонкое тело объемом V,
характеризующееся плотностью ρ и удельной теплоемкостью c. Известно, что в
36
печах передача тепла к поверхности F нагреваемого изделия осуществляется
Ftt
t
cV
п
d
cV
Fd
C
cV
F
ln
0
ln ttC
cV
F
tttt
пп
exp
0
п
п
tt
tt
F
cV
0
ln
F
tt
c
t
cV
п
пр
44
100
273
100
273
конвекцией и излучением. В зависимости от уровня температуры печи tп и
условий теплового взаимодействия можно считать, что преобладает либо
конвективный, либо лучистый теплоперенос.
В первом случае можно записать элементарный тепловой баланс,
используя закон Ньютона:
, (3.25)
где t – температура изделия, К; α – коэффициент конвективной теплоотдачи от
печных газов к поверхности нагреваемого изделия, Вт/(м2·К); – время, с.
Обозначив θ=t – tп, проинтегрируем соотношение (3.25) в виде:
. (3.26)
Получим
Зная, что при τ=0 t=t0, определим
.
. Тогда
. (3.27)
Отсюда получаем время нагрева
. (3.28)
В тех случаях, когда преобладает передача тепла излучением, справедлив
закон Стефана-Больцмана, балансовое уравнение (3.25) несколько усложняется:
. (3.29)
Его решение представляет собой громоздкое соотношение, поэтому для
инженерных расчетов предлагается относительно простое выражение для
времени нагрева [6]:
37
273
273
273
273
273
100
0
3
пп
к
п
пр
t
t
f
t
t
f
t
Fc
cV
, (3.30)
2
2
x
T
a
T
x
T
ж
TT
x
T
где спр=с
Вт/(м2·К4);
с
=5,67 Вт/(м2·К4) – коэффициент излучения абсолютно черного тела;
0
– приведенный коэффициент излучения системы «печь-металл»,
0пр
– приведенная степень черноты системы «печь-металл»;
пр
tк – конечная температура металла, оС.
Значение функции f определяется по таблицам или графикам [6].
3.2.2. Нагрев (охлаждение) термически массивного тела
Для решения задачи нагрева термически массивного тела сделаем
допущения о том, что теплофизические свойства тела не меняются,
коэффициент теплоотдачи α постоянен по поверхности тела, а изменение
температуры происходит только в одном направлении – по нормали к этой
поверхности (рис. 3.1).
Математическое описание задачи включает запись дифференциального
уравнения теплопроводности:
, (3.31)
где a – коэффициент температуропроводности, м2/с.
С условиями однозначности, состоящими из начальных условий:
при =0: Т=Т0 (3.32)
и граничных условий:
1) при x=0:
2) при x=:
0 – симметрия температурного поля относительно оси;
. (3.33)
38
Решением краевой задачи (3.31)-(3.33) будет функция F, зависящая от
2
2
XFo
X
X
Рис. 3.1. Схема нестационарной теплопроводности
в плоской стенке при граничных условиях III рода
(переходный процесс):
Тж – температура среды на удалении от стенки;
Т0 – начальная температура тела
нескольких параметров:
T = F(, x, , T0, Tж,a, , ).
Приведем задачу к безразмерному виду, используя понятие об
инвариантности решения к размерностям параметров.
Введем следующие безразмерные функции:
для температуры = (T – Tж)/(T0 – Tж) ,
для координаты X= x/ ,
для времени Fо=a/ 2 – критерий Фурье.
Величина Bi=aδ⁄λ называется критерием Био и отражает отношение
внутреннего δ⁄λ к внешнему 1⁄α термическому сопротивлению.
Приведем уравнение теплопроводности к безразмерному виду, используя
введенные выше безразмерные функции, и получим
Условия однозначности для уравнения (3.34):
Fo=0: θ=1 ; X=0:
Решение системы (3.3)-(3.35) будем искать в виде функции:
Для получения решения используем метод Фурье или метод разделения
переменных:
. (3.34)
0 ; X=1:
= (Fo, X, Bi).
Bi . (3.35)
39
Fo
X
Fo
X
Fo
X
2
2
2
2
X
Fo
X
2
2
X
Fo
Fo
X
X
X
Fo
Fo
2
2
const
2
.0
;0
2
2
.cossin
;exp
32
2
1
XcXcX
FocFo
= (Fo)(X) ,
где φ(Fo) – функция, зависящая только от τ или от числа Fo; (X) – функция,
зависящая только от x или от безразмерного X.
Из смысла представления функции θ следует, что
, (3.36)
а
и
. (3.37)
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (3.34) запишется в
виде
. (3.38)
Разделяя переменные, перепишем уравнение (3.38) в форме
(3.39)
В уравнении (3.39) отражена основная идея метода Фурье: если левая часть
выражения не зависит от X, а правая часть от Fo, то, следовательно, они могут
быть равны между собой в том случае, если они равны константе, не зависящей
ни от X, ни от Fo. Тогда
где μ2 – характерное число, представляющее запись постоянной величины.
Из уравнения (3.40) следует, что можно получить два дифференциальных
уравнения:
Система (3.41) легко интегрируется:
, (3.40)
(3.41)
(3.42)
40
Из граничного условия при X=0:
0
X
XFocc
cosexp
2
31
X
cosexpsinexp
22
FoBiAFoA
ctg
Bi
Bi
1
1
2
cosexp
i
iii
XFoA
Рис. 3.2. Графическое решение
характеристического уравнения (3.44)
Окончательно, решение предстанет в виде
Обозначим с1с3=А.
следует, что с2=0.
. (3.43)
Из второго граничного условия при X=1:
Дифференцируя θ по X, получим
В результате имеем
. (3.44)
Это выражение называется характеристическим уравнением и позволяет
непосредственно определить величину 𝜇 в зависимости от критерия Bi.
Но при одном значении Bi решение уравнения (3.44) будет иметь
бесконечное множество значений 𝜇. Это объясняется поведением функции ctg𝜇,
приведенной на рис. 3.2.
Можно рассмотреть предельные
Bi .
.
случаи при определении 𝜇.
Если Bi→∞, то все значения будут
составлять ряд μ1→π/2, μ2→3π/2 и т.д.
Если Bi→0, то μ1→0, μ2→π и т.д.,
причем
Ввиду линейности дифференциального уравнения теплопроводности сумма
частных решений тоже образует
решение:
.
. (3.45)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]