Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование процессов тепло- и массопереноса
.pdf
61
среднее геометрическое
N
N
i
iгеом
xx
1
1
1
1
1
N
i
iг арм
xNx
c
N
i
c
iст
x
N
x
1
1
1
2
1
2
1
2
2
11
1
xx
N
N
xx
N
s
N
i
i
N
i
ix
N
uxm
N
ux
x
x
x
22
;
среднее гармоническое
среднее степенное (c>1)
мода x
медиана x
– наиболее часто встречающееся выборочное значение;
mod
– значение выборки, для которого равны количества выбороч-
mеd
;
;
ных данных по величине больших и меньших медианы.
Из всех оценок только среднее арифметическое х является состоятельной,
несмещенной и достаточной оценкой.
2. Оценки дисперсии:
выборочная (исправленная) дисперсия
;
размах R = x
коэффициент вариации
max
– x
min
;
= sx /x .
x
Интервальные оценки
Задача определения доверительных интервалов для произвольного числа
опытов решена только для НР СВ.
1. Оценка математического ожидания:
если дисперсия
2
– известна, то для доверительной вероятности p=1–
x
, (4.15)
где квантиль u
если дисперсия
определяется из условия (4.10): (u
/2
2
– неизвестна, то для доверительной вероятности p=1– и
x
)=/2;
/2
числа степеней свободы =N–1
62
N
s
txm
N
s
tx
x
x
x
,2,2
, (4.16)
2
,21
2
2
2
,2
2
x
x
x
ss
где квантиль t
определяется из условия (4.12): T(t
/2,
/2,
)=/2.
2. Оценка дисперсии: для доверительной вероятности p=1– и числа
степеней свободы =N–1
, (4.17)
где квантили хи-квадрат распределения определяются из условия (4.14):
(
2
)=/2 и (
/2,
2
1-/2,
)=1–/2.
4.1.5. Промахи и методы их исключения
Одним из условий правомерности статистической обработки выборки является требование ее однородности, т.е. принадлежности всех ее членов к одной и той же генеральной совокупности.
Если измерения и их последующая обработка проводятся одним и тем же
человеком, то для исключения из выборки «не подходящих» результатов он
может воспользоваться своими воспоминаниями о каких-либо нарушениях
условий эксперимента в момент получения этих результатов, положиться на
свою интуицию и т.п. Но в тех случаях, когда обработка, а возможно и сам эксперимент, проводятся автоматически измерительно-вычислительными комплексами без участия оператора, то вопрос о формальных методах исключения
«чужих» для данной выборки результатов приобретает первостепенное значение.
Результаты, принадлежащие другой генеральной совокупности (т.е. другим условиям опытов), по своим значениям могут существенно не отличаться
от интересующей нас генеральной совокупности. Наличие таких аномальных
результатов принято называть загрязнением выборки, однако «очистить» требуемую выборку от «чужой» в этом случае практически невозможно.
Результаты, резко отличающиеся по своим значениям от большинства других данных, принято называть промахами и исключать из выборки.
63
Но особую неприятность при обработке экспериментальных данных до-
,2
tt
ставляют результаты, которые, хотя и не входят в компактную группу основной
массы данных выборки, но и не удалены от нее на значительное расстояние.
Такие результаты называют предполагаемыми промахами.
Таким образом, единственным формальным признаком «чужого» наблюдения является его аномально большое удаление от центра распределения. Поэтому в экспериментальной практике исследователи издавна стали просто отбрасывать крайние, «слишком» удаленные от центра наблюдения. Этот способ
получил название цензурирования выборки. Однако для принятия решения об
исключении предполагаемого промаха необходимы какие-либо формальные
критерии.
Простейший из таких методов заключается в использовании «правила 3»,
когда по выборке с удаленными результатами, похожими на промахи, вычисля-
ется оценка стандартного отклонения
вается в виде 3
, а все хi 3
х
и граница цензурирования устанавли-
х
признаются промахами. Для нормального
х
распределения это означает, что вероятность такого события крайне мала поскольку
P{хi 3
}1/300.
х
Более объективный метод цензурирования выборки может быть основан на
проверке статистической гипотезы об аномальности значения x
, которое
N+1
можно рассматривать как «чужую» выборку, состоящую из одной экспериментальной точки x
Значение x
. Тогда N1=N, N2=1, x2= x
N+1
признается аномальным, если выполняется неравенство
N+1
, s2= (N2–1) s
N+1
2
=0, s1= (N1–1) s
x2
2
.
x1
, (4.18)
где квантиль распределения Стьюдента находится из равенства T(t
= N–1 – число степеней свободы исследуемой выборки без предполагаемого
/2,
)=/2,
промаха, а статистика t рассчитывается по выборочным данным следующим
образом:
64
1
1
11
N
N
s
xx
t
x
N
.
Значение называется уровнем значимости проверяемой гипотезы о принадлежности к одной генеральной совокупности рассматриваемых выборок
(т.е. о равенстве их математических ожиданий). По своему смыслу это вероятность отвергнуть правильную основную гипотезу Н0: mx1=mx2 в пользу аль-
тернативной НА: mx1mx2.
4.1.6. Суммарная погрешность измерений
Помимо случайной погрешности при использовании в эксперименте каких-либо измерительных приборов необходимо учитывать приборную (систе-
матическую) погрешность. В паспорте прибора принято указывать предел до-
пустимой погрешности , означающий максимально возможную погрешность
при рекомендованных условиях работы прибора. Если приборная погрешность
распределена по нормальному закону, то из такого определения следует, что
распределение характеризуется средним квадратичным отклонением
приб
=/3.
Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс
точности, записываемый в виде числа, например 0,05 или 4,0. Это число дает
максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от
наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0…30 В, класс
точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в
любом месте шкалы не превышает 0,3 В, следовательно, среднее квадратичное
отклонение
приб
=0,1 В.
Реальная погрешность прибора существенно зависит от условий окружающей среды, где установлен прибор. Например, погрешность электроизмерительных приборов зависит от температуры помещения и отличается от паспортной погрешности, которая обычно приводится для 20оС. Другой причиной
погрешностей может быть электромагнитное излучение другого лабораторного
65
оборудования, вибрация установки и т.д. При планировании эксперимента для
22
прибслуч
xx
повышения точности измерений может возникнуть необходимость в учете этих
факторов.
Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого при-
бора неизвестен, за погрешность
всегда принимают половину цены его
приб
наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения
от этого не станет точнее.
Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешно-
сти
принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора.
приб
Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как
случайную, так и приборную (систематическую) погрешности. Поскольку слу-
чайная погрешность x
целесообразно сделать такое количество измерений, чтобы x
уменьшается с увеличением количества измерений,
случ
<< , т.е. чтобы
случ
случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с приборной
погрешностью. На практике достаточно, чтобы случайная погрешность была в
2-3 раза меньше систематической. В любом случае надо сделать 2-3 измерения,
чтобы убедиться в том, что случайная погрешность действительно мала.
Если приборная и случайная погрешности близки по значению, то суммарная погрешность
. (4.19)
Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной
вероятностью 0,68, а
– оценка максимальной погрешности прибора, то можно
считать, что выражение (4.19) задает доверительный интервал также с вероятностью, не меньшей 0,68.
66
4.1.7. Погрешности косвенных измерений
2
2
'
2
2
'
2
2
'
zfyfxfs
zyx
zfyfxf
zyx
'''
,,
xfx
'
Пусть исследуемую величину s определяют по результатам прямых измерений других независимых физических величин, например х, y, z, с которыми
она связана заранее установленным функциональным соотношением
s=f(x, y, z). (4.20)
Также известны окончательные результаты прямых измерений x x,
y y, z z. Предполагается, что величины х, y, z являются случайными и к
ним применимо нормальное распределение.
Тогда для среднего значения справедлива зависимость:
s=f(x,y,z), (4.21)
а для погрешности:
, (4.22)
где f'x , f'y , f'z – частные производные в точке (x,y,z).
Следует помнить, что при непосредственных расчетах в формулу необхо-
димо подставлять погрешности x, y, z, найденные для одного и того же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измеренияs также
будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности p = 0,68.
Сравнение между собой величин
позволяет выделить
«критический» фактор, процесс измерения которого дает наибольший вклад в
погрешность s. Если, например, величина
больше остальных более чем в
2–3 раза, то их вкладом в погрешность s можно пренебречь. Для повышения
точности измерения величины s в первую очередь надо повышать точность измерения «критического» фактора.
Для наиболее распространенных зависимостей в табл. 4.1 приведены формулы для расчета погрешности.
67
Таблица 4.1
Рабочая зависимость
Формула погрешности
CzByAxs
222
)()()( zCyBxAs
zyAxs
222
)()()( zyxs
s = ln х
xхs /
s = ex
хs
sinAs
cosAs
Связь погрешностей прямых и косвенных измерений
Примечание: – абсолютная погрешность; – относительная погрешность; A, B, C, ,
, – постоянные; х, y, z,
мерения.
– результаты прямых измерений; s – результат косвенного из-
Одной из типичных ошибок планирования эксперимента является косвенное измерение величины s через разность измеряемых напрямую величин A и B,
если их абсолютные значения много больше значения величины s (например,
поиск толщины стенки трубы через измерение ее внешнего и внутреннего радиусов). При этом погрешность s будет того же порядка или может даже превосходить значение искомой величины s. Аналогично – деление друг на друга
больших величин или степень с маленьким основанием и большим показателем. Во всех этих случаях необходимо искать альтернативные пути.
4.2. Планирование эксперимента
Объект при экспериментальном исследовании в большинстве случаев рассматривается как черный ящик, имеющий входы (факторы), влияющие на
функционирование объекта, и выходы (функции отклика). Сущность модели
сводится к установлению связи между входами и выходами. Физическая сущность модели при этом не рассматривается. Однако с помощью экспериментальных исследований удается уточнить аналитические модели, в которые заранее (априори) вводят неизвестные коэффициенты, определяемые по результатам опытов. Такая процедура называется идентификацией.
68
Многофакторность объекта (а следовательно, модели) и наличие случайных помех привели к возникновению нового научного направления – теории
планирования эксперимента. Некоторые основные идеи этой теории рассмотрим далее.
4.2.1. Полный факторный эксперимент типа 2k
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называют эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.
Наиболее простым факторным экспериментом является эксперимент, в котором каждый фактор рассматривается на двух уровнях. Число изучаемых факторов может быть любым. Такой эксперимент называется полным факторным
экспериментом (ПФЭ) типа 2k: 2 – количество уровней факторов, k – количество факторов, N=2k – количество опытов.
ПФЭ типа 2k применяются для задач, когда требуется ответить на вопрос,
не влияют или влияют и в какой степени рассматриваемые факторы x на зависимую переменную у, то есть построить математическую модель объекта.
Уровни факторов могут быть количественные и качественные. При выполнении экспериментов типа 2k весьма важен выбор уровней изучаемых факторов. При качественных уровнях выбор прост и целиком диктуется интересами
исследователя, а также зависит от располагаемой информации и его интуиции.
При выборе количественных уровней необходимо учитывать следующие
соображения: какую информацию желает получить исследователь, что знает он
о характере связи между зависимой переменной и уровнем. Так, например, при
выполнении эксперимента на двух уровнях желательно уровни фактора выбрать на концах интервала, в пределах которого связь линейна или может быть
описана полиномом второго и более высоких порядков.
При использовании факторного эксперимента типа 2k исследователь может
получить только линейную модель (регрессию) с максимальной близостью к
действительной зависимости.
69
Для иллюстрации факторного подхода к планированию и обработке ре-
m
l
ilii
y
m
yy
1
1
2
minmax
0
jj
j
ZZZ
2
minmax
jj
j
ZZZ
0
j
Z
0
1
Z
0
2
Z
0
k
Z
j
Z
j
Z
j
Z
№
опыта
Факторы
Результат
эксперимента y
Z1
Z2
Z3
1
Z
1
min
Z
2
min
Z
3
min
y1
2
Z
1
max
Z
2
min
Z
3
min
y2
3
Z
1
min
Z
2
max
Z
3
min
y3
4
Z
1
max
Z
2
max
Z
3
min
y4
5
Z
1
min
Z
2
min
Z
3
max
y5
6
Z
1
max
Z
2
min
Z
3
max
y6
7
Z
1
min
Z
2
max
Z
3
max
y7
8
Z
1
max
Z
2
max
Z
3
max
y8
j
jj
j
Z
ZZ
x
0
зультатов эксперимента рассмотрим задачу определения влияния трех факторов
Z1, Z2 и Z3, применив ПФЭ типа 2k.
Число опытов, которые необходимо провести для решения поставленной
задачи, N=23=8 (т.е. «перебираются» все возможные сочетания уровней факторов). План эксперимента и его результаты представлены в табл. 4.2, в которой
для каждого i-го опыта (i=1…N) проводится одинаковое количество дублирующих опытов m, а у есть среднее арифметическое по этим дублирующим опы-
там, т.е.
.
Результаты эксперимента обрабатывают в такой последовательности.
1. Переходят к безразмерным координатам хj, обозначив факторы соответ-
ственно х1, х2, х3. Для этого определяют
где
– точка с координатами
фактора
и
,
, ...,
;
– интервал варьирования фактора
называется основным уровнем
; j=1…k.
, (4.23)
Таблица 4.2
ПФЭ типа 2
3
(факторы в натуральном масштабе)
ляется по соотношению
Переход к безразмерной системе координат для любого фактора осуществ-
. (4.24)
70
В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний
№
опыта
Факторы
Результат
эксперимента y
x1
x2
x3 1 -1
-1
-1
y1
2
+1
-1
-1
y2
3
-1
+1
-1
y3
4
+1
+1
-1
y4
5
-1
-1
+1
y5
6
+1
-1
+1
y6
7
-1
+1
+1
y7
8
+1
+1
+1
y8
01
Ni
uiji
xx
01
Ni
ji
x
Nx
N
i
ji
1
2
уровень –1, а координаты центра плана совпадают с началом координат, т.е.
равны 0.
2. Составляют матрицу планирования (МП) с фиктивной переменной х0=+1
в безразмерной системе координат (табл. 4.3).
Таблица 4.3
ПФЭ типа 2
3
(факторы в безразмерном масштабе)
Такая матрица обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
uj ; u, j=0…k (4.25)
j=1…k (4.26)
j=0…k. (4.27)
Важным из этих свойств является равенство нулю скалярных произведений всех векторов-столбцов. Это свойство упрощает расчет коэффициентов
уравнения регрессии и называется свойством ортогональности МП. При ортогональном планировании матрица коэффициентов нормальных уравнений становится диагональной и, следовательно, ковариации оценок коэффициентов
равны нулю. Это означает, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов.
изведением столбца у на соответствующий столбец xj, деленным на число опытов в МП:
Любой коэффициент уравнения регрессии bj определяется скалярным про-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]