Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование процессов тепло- и массопереноса
.pdf
21
После подстановки безразмерных величин вместо исходной системы (2.1)
Fr). Re, Y, Eu(X, =Eu
Fr); Re, Y, X, V( = V
Fr); Re, Y, U(X,= U
получим систему
(2.2)
В системе (2.2) фигурируют всего два безразмерных параметра Re и Fr.
Из полученного результата вытекает важный вывод, заключающийся в
следующем: для двух потоков, описываемых одинаковой системой уравнений,
распространяющихся в геометрически подобных системах и характеризующихся подобием условий однозначности, зависимость безразмерных искомых величин скоростей U, V и давления Eu от безразмерных координат X и Y оказывается одинаковой, т.е. условия U=idem, V=idem и Eu=idem в сходственных точках
(X=idem, Y=idem) выполняются при одинаковых значениях критериев Рейнольдса и Фруда, т.е. при выполнении условий Re=idem и Fr=idem. Следовательно,
для таких потоков одинаковые значения критериев Рейнольдса и Фруда
(Re=idem и Fr=idem) являются необходимыми и достаточными условиями подобия потоков. При этом условия U=idem, V=idem и Eu=idem в сходственных
точках выполняются автоматически.
Критерии подобия, имеющие смысл безразмерных постоянных параметров
задачи (в рассматриваемом случае Re и Fr) и, следовательно, составленные из
параметров, т.е. из условий однозначности, называются определяющими крите-
риями.
Критерии, имеющие смысл безразмерных искомых величин (в данном случае безразмерные скорости U, V и безразмерное давление Eu), называются
определяемыми критериями.
Определяющие критерии, как правило, характеризуют соотношение важнейших факторов, влияющих на развитие процесса. Например, критерий Рейнольдса характеризует соотношение сил инерции и внутреннего трения, а критерий Фруда – сил инерции и гравитации.
22
Такой же анализ может быть проведен для любых процессов, имеющих
соответствующее математическое описание, что позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия подобия таких процессов.
Теперь можно сформулировать так называемую основную теорему тео-
рии подобия. Процессы являются подобными, если они принадлежат к одному
классу, т.е. описываются тождественными уравнениями, протекают в геометрически подобных системах, характеризуются подобием других условий однозначности и равенством одноименных критериев, составленных из условий однозначности (определяющих).
2.3. Автомодельность
Каждый из определяющих критериев характеризует соотношение определенных физических факторов, оказывающих решающее влияние на рассматриваемый процесс. Очевидно, что в случае, когда один из факторов оказывается
очень большим или, напротив, очень малым, их соотношение перестает оказывать влияние на протекание процесса. При этом соответствующий критерий
также оказывается либо очень большим, либо очень малым, а его изменение не
влияет на ход процесса. В этом случае говорят об автомодельности процесса
(явления) по отношению к некоторым определяющим критериям.
Например, автомодельность потока по отношению к числу Рейнольдса
наблюдается при рассмотрении потерь энергии на трение в случае турбулентного течения жидкости в каналах (трубах). При больших значениях Re в шероховатой трубе коэффициент трения перестает зависеть от числа Рейнольдса.
При этом потери давления на трение оказываются пропорциональными квадрату скорости (квадратичный закон сопротивления), а соответствующий потерям
критерий Eu является постоянной величиной, не зависящей от Re.
Аналогичный случай автомодельности потока по отношению к числу Рейнольдса часто реализуется в топливных металлургических печах. Автомодель-
23
ность течения газов в рабочих камерах печей по отношению к числу Рейнольдса значительно упрощает моделирование процессов.
2.4. Моделирование движения газов в печах
При моделировании движения газов в рабочих камерах металлургических
печей могут ставиться две задачи:
1) исследование качественной картины течения, т.е. направления движения
потоков, их распределения по каналам, формы и размеров циркуляционных зон
и т.п.;
2) исследование количественных характеристик потоков, т.е. распределе-
ния скоростей и давлений в различных частях рабочего пространства печи.
В первом случае прибегают к так называемому гидравлическому моделированию с использованием воды в качестве моделирующей среды (рабочей
жидкости). Во втором случае применяют аэродинамические модели, в которых
рабочей жидкостью служит воздух. В любом случае течение в модели должно
быть подобно течению в образце, т.е. в моделируемой печи.
Рассмотрим, как при этом выполняются условия подобия, сформулированные в основной теореме теории подобия.
Первое из этих условий, заключающееся в тождественности уравнений,
описывающих течение в образце и в модели, строго говоря, как при гидравлическом, так и при аэродинамическом моделировании, нарушается. Дело в том,
что уравнения, описывающие движение в печи газов, обладающих переменной
плотностью, и уравнения движения несжимаемой жидкости (воды или воздуха)
в модели различны. Однако этим обстоятельством при моделировании пренебрегают, считая, что плотность печных газов постоянна и равна своему среднему значению, которое и используют при расчетах модели. Разумеется, это придает моделированию приближенный характер.
Второе условие, т.е. требование геометрического подобия образца и модели, выполняется без труда. Для этого модель изготавливают геометрически по-
24
добной внутренним контурам печи в масштабе, обеспечивающем удобство работы с моделью. Обычно для изготовления модели применяют прозрачный материал, который позволяет проводить визуальные наблюдения потока.
Наибольшие трудности вызывает выполнение третьего условия подобия,
т.е. подобия условий однозначности. Что касается подобия граничных условий,
т.е. условий на входе в образец и в модель, и на выходе из них, а также на твердых стенках, то оно обеспечивается следующим образом. Вход в модель и выход из нее изготавливают геометрически подобными входу в образец и выходу
из него, что позволяет обеспечить подобие распределений скоростей в этих сечениях образца и модели. Граничные же условия на стенках модели всегда подобны таковым в образце, так как на твердой поверхности выполняется условие
прилипания. Это так называемые неуправляемые граничные условия. Практически невозможно обеспечить подобные распределения физических параметров
(плотности и вязкости) в образце и в модели, поскольку в модели эти параметры постоянны, а в образце меняются, так как зависят от температуры. При этом
в качестве физических параметров среды в образце принимают средние значения плотности и вязкости печных газов, которые используют, рассчитывая модель. Это также снижает точность моделирования и придает ему приближенный характер.
Выполнение четвертого условия, т.е. равенства определяющих (составленных из условий однозначности) критериев обычно не составляет труда. В современных высокофорсированных печных агрегатах влиянием силы тяжести на
течение газов можно пренебречь, поэтому определяющим критерием является
число Рейнольдса. В связи с этим достаточно обеспечить равенство чисел Рейнольдса, рассчитанных по входной скорости для образца и модели. Однако, как
было указано выше, в современных печах очень часто реализуется автомодельный по отношению к числу Рейнольдса режим движения газов. Поэтому и равенство чисел Рейнольдса не является обязательным. Подобие потоков в образце и в модели может быть обеспечено и в случае, когда число Рейнольдса для
25
модели меньше, чем для образца, если при этом режим движения в модели так-
2
wp
lw
же является автомодельным.
Для того чтобы убедиться в наличии автомодельного режима, поступают
следующим образом. Измеряют разность давлений в двух точках модели p
при различных расходах рабочей жидкости и строят график зависимости
Eu
стает зависеть от Re, т.е. когда реализуется квадратичный закон сопротивления.
При этом график представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
1. Что такое безразмерные коэффициенты подобия?
2. Сформулируйте основные критерия подобия при течении жидкости.
3. Поясните смысл основной теоремы подобия.
4. Что такое автомодельность?
5. Каковы основные принципы моделирования движения газов в печи?
от Re
2.5. Контрольные задания и вопросы к разделу 2
. Автомодельный режим наступает, когда Eu пере-
3. Математическое моделирование
Математическое моделирование – это теоретическое исследование объекта
или процесса, отражающее в логически-дискурсивной форме (в виде уравнения
или системы уравнений) важнейшие свойства оригинала. Математическое
моделирование включает в себя три последовательных этапа:
1) формирование совокупности математических соотношений,
описывающих исследуемую систему с достаточной степенью адекватности;
2) построение алгоритма решения сформулированной математической
задачи;
3) создание программы расчета для компьютерных вычислений, которая,
имитируя различные значения входных данных, определяет величины,
26
характеризующие поведение системы-оригинала. Как правило, исследование
V
q
z
t
zy
t
yx
t
x
dt
c
завершается нахождением оптимального значения (оптимума) или оптимумов
некоторого критерия.
Математическое моделирование, в отличие от физического, позволяет
обойтись без сложного дорогого оборудования и порою рискованных
экспериментов при экстремальных значениях теплофизических параметров.
Поскольку в металлургических печах осуществляются
высокотемпературные процессы, связанные с фазовым переходом веществ и
интенсивным тепломассопереносом, от инженера-теплотехника требуется
владение аналитическими и конечно-разностными методами расчета
температурных полей как для стационарных, так и для нестационарных
условий теплопереноса. При этом математическое моделирование позволяет,
во-первых, управлять тепловым процессом в печах, а во-вторых,
контролировать температурное поле в зоне технологического процесса, в
критических зонах рабочего пространства печи и ограждающих конструкциях.
Основным соотношением для процессов тепломассопереноса является
дифференциальное уравнение Фурье-Кирхгофа, являющееся математической
формой первого закона термодинамики для тел, процесс взаимодействия
которых с окружающей средой происходит без совершения какой-либо
внешней работы. В декартовой системе координат уравнение Фурье-Кирхгофа
имеет вид
, (3.1)
где – плотность, кг/м3; с – теплоемкость, кДж/(кгК); – коэффициент
теплопроводности, Вт/(мК); t – температура, К; x, y, z – пространственные
координаты; qV – удельная мощность внутренних источников (стоков) теплоты,
Вт/м2.
Дифференциальное уравнение (3.1) в самом общем виде устанавливает
связь между временным и пространственным изменением температуры в любой
27
точке непрерывной сплошной среды. Для конкретизации моделирования
,)(
dx
dt
tt
сп
необходимые данные, которые называют краевыми условиями, или условиями
однозначности.
Существуют различные условия однозначности:
1) геометрические, характеризующие форму и размеры тела;
2) физические, задающие физические свойства среды, в которой
протекает процесс теплопроводности;
3) временные, определяющие поле температур в начальный момент
времени;
4) граничные, характеризующие взаимодействие тела с окружающей
средой.
Граничные условия в свою очередь бывает трех родов:
I рода: задается изменение во времени температуры на поверхности тела;
II рода: задается изменение во времени плотности теплового потока на
поверхности тела;
III рода: задается закон теплоотдачи от поверхности тела с температурой tп
к окружающей среде с температурой tс (закон Ньютона-Рихмана):
(3.2)
где – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К)
3.1 Стационарный теплоперенос
Рассмотрим решение простейшей задачи по определению стационарного
температурного поля в стенке при граничных условиях I рода при отсутствии
внутренних источников (стоков) теплоты.
На наружных поверхностях стенки температуры t1 и t2 поддерживаются
постоянными. Если при этом исключить узкую зону, окаймляющую стенку у
торцов, то практически можно считать температуру внутри стенки изменяющейся только по ее толщине, т.е. можно отнести задачу к категории
одномерных.
28
Определим температурное поле в стенке и величину теплового потока,
x
t
x
x
t
x
dt
c
k
k
k
0
dt
0
2
2
dx
dt
x
k
dx
td
,
dx
dt
q
q
x
k
dx
dq
dx
x
k
q
dq
k
x
c
cxkq
1
1
lnlnlnln
проходящего через стенку, при постоянстве ее коэффициента теплопроводности.
Для рассматриваемого случая дифференциальное уравнение
теплопроводности Фурье удобнее записать в виде [5]:
, (3.3)
где
коэффициент формы тела; для пластины, цилиндра и шара он равен
соответственно 0, 1 и 2; x – пространственная координата, направленная по
толщине стенки. Для цилиндрической и сферической стенок координатой
служит радиус.
Так как для стационарного режима
, то уравнение (3.3) можно
представить в виде (при замене частных производных на полные):
. (3.4)
Исходя из того, что плотность теплового потока определяется выражением
можно записать вместо соотношения (3.4):
или
где с1 – постоянная интегрирования.
. (3.5)
После интегрирования уравнения (3.5) получим
В результате
,
29
k
x
c
dx
dt
1
или
k
x
dx
cdt1
2111
,
2
1
2
1
xxfc
x
dx
cdt
x
x
k
t
t
),(
21
12
1
xxf
ttc
1221
2
1
, xxdxxxf
x
x
1
2
21
ln,
2
1
x
x
x
dx
xxf
x
x
21
12
2
21
2
1
,
xx
xx
x
dx
xxf
x
x
k
x
c
q1
)(
211
ttcq
1
2
21
ln
r
r
r
ttq
r
. (3.6)
Уравнение (3.6) интегрируется в зависимости от граничных условий: при
x=x1: t=t1; при x=x2: t=t2.
Из уравнения (3.6) непосредственно следует (при =const):
. (3.7)
Откуда
Для плоской стенки толщиной :
Для полого цилиндра:
Для сферической оболочки:
.
.
.
.
Подставим значение с1 в уравнение (3.6), получим
. (3.8)
Используя уравнение (3.8), можно получить расчетные уравнения для
определения величины плотности теплового потока:
для плоской стенки
для цилиндрической стенки (при замене x на r)
где
радиус поверхности цилиндра, к которой относится тепловой поток, м;
, (3.10)
для сферической стенки
; (3.9)
30
21
2
21
11
rr
r
tt
q
, (3.11)
1
2
ln
1
r
r
21
111
rr
N
i
i
i
tF
Q
1
N
i
i
i
i
r
r
tl
Q
1
1
ln
1
2
где r – радиус поверхности сферического слоя, к которой относится тепловой
поток, м.
Отношение / называется тепловой проводимостью стенки, а обратная
величина / – тепловым или термическим сопротивлением стенки. Последнее
представляет собой падение температуры в стенке на единицу плотности
теплового потока.
Для цилиндрической и сферической стенок тепловые сопротивления
соответственно имеют вид
и
. (3.12)
Понятие теплового сопротивления позволяет получить уравнение для
вычисления теплового потока, передаваемого через многослойную стенку,
состоящую из N слоев различной толщины, имеющих различные значения
коэффициентов теплопроводности.
Для многослойной плоской стенки
, (3.13)
где t=t1 – t
– разность температур внешних поверхностей первой и
N+1
последней стенок соответственно.
Для многослойной цилиндрической стенки
где l – длина (высота) цилиндра.
Для сферической стенки
, (3.14)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]