Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование переноса электрических зарядов в электровакуумных приборах с электростатическим управлением. Учебное пособие
.pdf
1.3. Режим умеренного положительного анодного напряжения в вакуумном…
21
В области II верификационной модели диода элементарные отрицательные заряды движутся только в одну сторону – к аноду. Такая концепция позволяет рассчитать все свойства лампы в целом, исходя из символьного анализа явлений во второй ее части.
В самом деле, поскольку электроны все движутся в одном направлении, плотность тока j и отрицательный объемный заряд r, создаваемые ими,
их скорость u (почти одинаковая у всех электронов) связаны уравнением
непрерывности:
j = – ru, (1.8)
где скорость u может быть вычислена по пройденной разности потенциалов от минимума потенциала на основе уравнения движения:
mWeUu /2
. (1.9)
Здесь обозначение W отмечает добавку к кинетической энергии,
приобретаемой электронами в электрическом поле. Она равна их средней
начальной энергии при вылете из катода (или при пролете через минимум
потенциала). Величина W мала (W = 2·k·T – несколько десятых электронвольт при T = 2000К) и её влиянием сравнительно с воздействием e·U элек-
трического поля в верификационной модели ЭП пренебрегаем.
Тогда уравнение (1.9) упростится следующим образом:
meUu 2
. (1.10)
В идеализированном диоде с плоскими параллельными электродами
плотность тока j постоянна как по сечению, параллельному поверхности
катода и анода, так и при перемещении зарядов по нормали к ним от одного
к другому:
j = const. (1.11)
Из соотношений (1.8), (1.10) и (1.11) следует, что
2
1
2
1
2
UconstU
m
e
j
u
j
r
. (1.12)
Таким образом, плотность r объемного заряда в различных точках
области движения электронов определяется потенциалом электрического
поля в этих точках и, следовательно, неявно зависит от расстояния х.
1. Концептуальная модель электронных процессов в двухэлектродной лампе
22
Поэтому для его идентификации воспользуемся уравнением Пуассона, связывающим объемный заряд и потенциал электрического поля диода:
div gradU = – 4··r. (1.13)
Тогда из равенств (1.12) и (1.13) получается:
div gradU =
2
1
2
4
U
m
e
j
. (1.14)
Для плоских параллельных электродов, если края их достаточно удалены и практически не влияют на поле в центральной части диода, справедливо тождество
div gradU = d2U/dx2, (1. 15)
где х – координата, направленная по нормали к поверхности электродов.
Выражение (1.14) является в этом случае обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения распределения потенциала U как функции координат:
2
1
2
1
2
2
2
4
aUU
m
e
j
dx
Ud
, (1.16)
где a – параметр, зависящий от тока двухэлектродного ЭП. При получении
конкретного результата из формулы (1.16) путем интегрирования требуется уточнение граничных условий, соответствующих физической стороне
решаемой задачи. Эти условия можно определить, вспомнив, что соотношение (1.16) справедливо во II части диода, начиная от минимума потенциала, откуда и отсчитывается расстояние = x – x
min
и потенциал
= U + U
min
.
В новой начальной точке величины
= x – x
min
= 0, Ф = U + U
min
= 0 и (dU/dx)=0. (1.17)
При этом уравнение (1.16) можно записать так
2
1
2
1
min
2
2
aФUФd
d
Фd
. (1.18)
1.3. Режим умеренного положительного анодного напряжения в вакуумном…
23
Умножая равенство (1.18) справа и слева на 2dФ/d , получим
d
Фd
a
d
dФ
aФ
d
dФ
d
d
d
Фd
d
dФ )(
422
2
1
2
1
2
2
2
. (1.19)
U
-U
м
x
м
U
a
К А
φ
x
Рис. 1.6. К выводу уравнения закона "трех вторых"
Так как справа и слева в соотношении (1.19) стоят полные производ-
ные, то первое интегрирование дает
CaФ
d
dФ
2
1
2
2
4
. (1.20)
Подставляя в уравнение (1.20) условия (1.17), найдем значение вто-
рого слагаемого C = 0.
Тогда формула (1.20) преобразуется к виду
412
1
2 Фa
d
dФ
. (1.21)
Разделяя в выражении (1.21) переменные, получим в результате вто-
рого интегрирования:
DаФ
2
1
4
3
2
3
4
. (1.22)
Из условий (1.17) следует, что постоянная D = 0 и переменная Ф
равна
1. Концептуальная модель электронных процессов в двухэлектродной лампе
24
3
4
3
4
2
1
2
3
СаФ
. (1.23)
Откуда имеем
3
4
min
3
2
3
4
min
2
3
xxaUU
. (1.24)
Как и следовало ожидать, потенциал во всех точках пространства II,
получающийся по уравнению (1.24), ниже потенциала, наблюдаемого при
отсутствии пространственного заряда.
Дифференцируя напряжение U по координате х, получим распределение напряженности E поля:
3
1
min
3
2
3
1
2
3
2 xxa
dx
dU
E
. (1.25)
Таким образом, при наличии пространственного заряда напряженность поля является функцией х
1/3
, тогда как при отсутствии простран-
ственного заряда она постоянна. Вторично дифференцируя и деля на 4,
получим объемный заряд:
3
2
min
3
2
3
1
2
3
6
1
4
1
xxa
dx
dE
r
. (1.26)
Наконец, скорость электронов u равна
3
2
min
3
2
3
1
3
2
6 xxja
r
j
u
. (1.27)
На рис. 1.7 сплошными линиями показаны зависимости величин U
и E, r и u от расстояния x. Отметим, что эти графики несправедливы для
I части диода, где объемный заряд определятся не только уходящими от
катода электронами, но и возвращающимися к нему. Кроме того, изображенные функции U, E, r, u не вполне справедливы и во II части диода, в
области, где напряжения U и U
min
сравнимы друг с другом.
Напомним, что уравнение (1.18) было упрощено для наглядности
вывода последующих формул путем пренебрежения U
min
по сравнению с
величиной Ф. В этом случае потенциал U считается положительным, что
1.3. Режим умеренного положительного анодного напряжения в вакуумном…
25
имеет место при достаточно большом Ua и лишь на некотором расстоянии
от минимума. На рис. 1.7 точками отмечено рассчитанное распределение
объемного заряда r в I части концептуальной модели диода и сплошной ли-
нией истинное распределение его с учетом заряда электронов, возвращающихся к катоду. Кроме того, штриховой E и штрихпунктирной U линией
отмечено распределение напряженности и потенциала электрического
поля в двухэлектродной системе при отсутствии объемного заряда, реализуемое в обычном вакуумном диоде с холодным катодом и микродиоде при
электростатической эмиссии катода.
Катод
Анод
x
U
м
d
x
м
u
0
u
u,r
U,E
U
r
U
E
E
U
а
Рис. 1.7. Зависимости потенциала U, напряженности E, плотности объемного
заряда r и скорости электронов u от расстояния x между электродами
Из уравнения (1.24) можно определить плотность тока j, так как она
входит в постоянную а. Для этого выбираем длину х = d, соответствующую
расстоянию до анода, а величину U = Uа – потенциалу анода, и получаем
уравнение Чайлда – Ленгмюра:
2
min
2
3
min
/2
9
1
xd
UU
mej
a
, (1.28)
1. Концептуальная модель электронных процессов в двухэлектродной лампе
26
определяющее зависимость анодного тока от анодного потенциала двухэлектродной системы в явном виде, т.е. ВАХ изучаемой лампы на втором
ее участке (рис. 1.2).
При достаточно высоком анодном напряжении величинами U
min
и
x
min
можно пренебречь сравнительно с Uа и d, и формула (1.28) принимает
вид
2
2
3
/2
9
1
d
U
mej
a
. (1.29)
Соотношение (1.29) носит название закона «степени трех вторых»,
так как указывает, что плотность тока (и полный анодный ток) растет пропорционально анодному потенциалу в степени три вторых. Видно, что
уравнение «трех вторых» может соответствовать истинной закономерности только при не слишком малых Ua, много больших, чем U
min
, т.е. для
значений потенциала анода не менее нескольких вольт, что и наблюдается
в экспериментах.
Закон «трех вторых» может быть представлен в символьной форме
и для цилиндрических электродов, расположенных один в другом коаксиально. Этот конструктивный вариант вакуумного диода исследуется в [7,8]
и потому особенно интересен.
Алгоритм получения аналитического выражения закона «трех вторых», соответствующий модели цилиндрической конструкции диода, аналогичен уже рассмотренному выводу для плоских электродов. Вместе с тем
более сложная форма электрического поля при нелинейности исходного
уравнения (1.16) приводит к более громоздким математическим расчетам.
Закон «трех вторых» для цилиндрического диода имеет форму уравнения С. А. Богуславского:
2
2
2
3
/2
9
2
a
a
r
U
mej
, (1.30)
где j – ток на единицу длины цилиндрического катода; 2 – трансцендентная функция отношения радиуса анода ra к радиусу катода rк вида:
32
2
ln
120
11
ln
5
2
ln
к
a
к
a
к
a
r
r
r
r
r
r
. (1.31)
1.3. Режим умеренного положительного анодного напряжения в вакуумном…
27
Отметим, что для большей наглядности величину 2 часто приводят
в виде графика, изображенного на рис. 1.8.
Однако, при значениях rа/rк > 10, параметр 2 практически можно
принимать равным 1. Таким образом, его следует учитывать только при
больших радиусах катодов и малых радиусах анодов.
Рис. 1.8. График функции β2(ra/rk)
Упомянем, что в случае сферической конфигурации электродов в
уравнение закона «трех вторых» входит другая функция 2 такого же характера.
Для всех этих трех случаев закон «трех вторых» иллюстрируется почти одинаковым математическим соотношением, если его выразить для
полного анодного тока лампы, вводя при этом величину площади анода Па
(для цилиндра Па = 2··ra·la, для сферы Па = 4··r
a
2
). Тогда уравнение «трех
вторых» принимает вид
fx
U
me
П
I
a
aа
a
2
2
3
/2
9
, (1.32)
где ха – радиус анода для цилиндра и сферы или расстояние d для плоских
электродов. Величина f для плоских электродов равна 1, в цилиндрических
и сферических конструкциях соответствует величинам 2 и 2.
1. Концептуальная модель электронных процессов в двухэлектродной лампе
28
Одинаковость закона «трех вторых» для этих типов электродов привела к мысли о возможности применения соотношений (1.29), (1.30) и ко
всем другим типам электродов, если представить их в следующей форме:
𝐼 = 𝑔𝑈
𝑎
3/2
, (1.33)
где g – первеанс диода, является функцией только формы и расположения
электродов. Он пропорционален «действующей площади» анода и обратно
пропорционален квадрату среднего расстояния от катода до анода. Его величина характеризует собой проводимость диода при постоянном токе
насыщения.
Так, например, для нити (цилиндрический катод), находящейся
внутри плоского анода (рис. 1.9) можно применить закон трех вторых, если
принять в уравнении (1.32) в качестве Па площадь «действующей» полосы
анода, имеющей такую ширину, что все ее точки лежат практически на почти одинаковом от анода расстоянии xа (рис. 1.10). Эта «действующая» полоса на обеих половинах анода улавливает большую часть электронов и в
основном определяет напряженность электрического поля в лампе.
x
а
x
а
x
а
x
а
Рис. 1.9. "Действующая" площадь анода
На рис. 1.11 кривая 0АВ, рассчитанная по формуле (1.33), соответствует статической анодной ВАХ Ia = f(Uа) вакуумного диода.
Таким образом, объемный заряд подвижных электронов создает амплитудно-зависимое распределение потенциала и напряженности электри-
1.3. Режим умеренного положительного анодного напряжения в вакуумном…
29
ческого поля в межэлектродном пространстве диода. В ближайшей к катоду области возникает тормозящая сила, задерживающая пролет элементарных зарядов с малыми начальными скоростями и ограничивающая значение тока анода и падение напряжения на лампе. Действие этой силы
определяется не только отрицательным объемным зарядом, но и влиянием
электрического поля анода, проникающего в область катода. При вариации
мгновенного напряжения анода меняется потенциал задерживающего
поля, а вместе с тем и число направленно перемещающихся электронов
между электродами диода.
Анод
x
а
x
а
Катод
x
а
Рис. 1.10. Определение "действующей" площади анода
U
a
I
a
0
B
A
α
Рис. 1.11. Теоретическая статическая ВАХ Ia = f (Uа) диода
1. Концептуальная модель электронных процессов в двухэлектродной лампе
30
Описанный способ регулировки тока и напряжения в лампе рассматривается как электростатическое изменение потока элементарных зарядов,
а вакуумные ЭП, функционирование которых основано на этом способе,
классифицируются как лампы с электростатическим управлением.
Отметим, что рис. 1.1–1.11 и формулы (1.1)–(1.33) являются графическими и аналитическими операторами верификационного варианта концептуальной модели вакуумного диода. Они обеспечиваю корректное составление целевой функции, необходимой для оптимизации его функционирования в ЭМ поле с энергетической точки зрения.
1.4. Реальная вольт-амперная характеристика вакуумного диода
Выведенный закон «степени трех вторых» справедлив при одновременной подаче сигнала, имеющего частоту fu, и постоянного напряжения питания на диод. Однако он применим при условии, что период Тu переменного
напряжения, связанный с угловой частотой ω =2·π·fu ЭМ колебаний, достаточно велик по сравнению со временем te пролета электронов между катодом
и анодом. При этом электронный поток в любом сечении двухэлектродной
конструкции в данный момент времени остается практически неизменным.
Для сравнения величин te и Тu вводят понятие угла пролета
θe=ω·te=2·π·te/Tu, (1.34)
который соответствует части периода Тu, выраженной в радианах. Если
время te меньше 5 % периода переменного напряжения, то угол пролета характеризуется неравенством θe < 0,1π. При столь незначительных величинах θe электронный ток диода не зависит от того, вызван ли он мгновенным
значением переменного напряжения или равным ему постоянным во времени напряжением.
Согласно уравнению (1.33) ВАХ двухэлектродной лампы (рис. 1.11)
должна начинаться от значения Ua = 0 и неограниченно расти с увеличением Ua. То есть она не должна была бы иметь ни первого участка при отрицательном Ua, ни третьего участка (насыщения), наблюдаемых на практике. Это отклонение от теоретической зависимости при малых Ua происходит потому, что в исходной модели диода не приняты во внимание
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]