Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Микроэлектромеханика. Учебное пособие
.pdf
1. Длинная прямоугольная пластина (
2–W/
2
p
F
L
z
LW
) (рис. 3.7).
W/
x
h
0
Рис. 3.7. Демпфирование с «несжимаемым газом» для длинной прямоуголь ной пластины
Уравнение (3.5) в данном случае имеет вид
2
12dp dh
dx h
граничные условия в нашем случае
23
dt
0
(2)0pW
, (3.6)
.
Общее решение уравнения (3.6)
6
dh
xt x cx c
(,) .
h
2
3
dt
0
12
Используя граничные условия, получаем частное решение
6
(,)
pxt x
3
h
0
2
Wdh
2
4
.
dt
Сила затухания
2
W
Lpxdx h
d
()
2
W
LW
h
0
3
Откуда коэффициент демпфирующей силы
51
3
.
cLWh
d
33
.
0
2. Прямоугольная пластина (
Р
Граничные условия для (3.5) будут
(2,)0pW y
решения уравнения коэффициент демпфирующей силы определяется как
LW
) (рис. 3.8).
,
(, 2) 0px L
3
LW
c
d
3
h
0
. В результате
,
()
ис. 3.8. Демпфирование с «несжимаемым газом» для пря моугольной пластины
Зависимость
где
поправочный коэффициент.
показана на рис. 3.9. Для бесконечно длинной и
()
узкой полоски (0) 1,
.
LW
β
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
Рис. 3.9. Зависимость поправочного
коэффициента β от аспектного
отношения W/L
LW
WL
;
()1 th
192 1
. Для квадратной пластины (1) 0, 42
0,25
0,5 0,75 1,0
W/L
55
n
1,3 ,5
n
3. Круглая пластина (рис. 3.10)
Уравнение Рейнольдса (3.5) в полярной системе координат будет
иметь вид
n
–
2
,
112
rr r dt
() .
rpr
52
dh
h
(3.7)
3
0
б
φ
0
а б
Рис. 3.10. Демпфирование с «несжимаемым
газом» для круглой пластины:
a
r
а – вид сверху; б – вид сбоку
h
0
Граничные условия в данном случае () 0pa,
(0) 0dp dr
, где a –
радиус пластины. Решение данного уравнения получается следующим:
3
3
h
0
22
() ( ) .
pr a r
dh
dt
Найдём силу затухания
a
Fprrdr a
d
()2 ,
0
откуда коэффициент демпфирующей силы
Кольцевидная пластина (рис. 3.11).
4.
3
3
2
h
0
cah
d
dh
4
dt
43
3(2)
.
0
a
b
0 r
а
Рис. 3.11. Демпфирование с «несжимае-
мым газом» для кольцевидной пластины:
а – вид сверху; б – вид сбоку
h
0
Для кольцевидной пластины уравнение Рейнольдса такое же, как и
для круглой, отличаются лишь граничные условия () () 0pa pb
и b – внешний и внутренний радиусы.
a
, где
53
В результате решения уравнения (3.7) с заданными граничны-
ми условиями получается следующий коэффициент демпфирующей
силы:
4
3
a
cg
d
3
2
h
0
(),
где /ba ,
Перфорированная бесконечно тонкая пластина (рис. 3.12).
5.
() 1 (1 ) ln()g
422
.
r
r
c
0
0
r
Рис. 3.12. Схематическое изображение перфорированной
бесконечно тонкой пластины и одной из ячеек
Для того чтобы уменьшить влияние демпфирования, например в
акселерометрах, микрофонах, микрозеркалах, движущиеся пластины
иногда перфорируют.
Для анализа примем следующие условия: а) отверстия круглые и
равномерно распределены по пластине; б) размеры пластины гораздо
больше, чем размеры одной ячейки, т. е. площадь пластины квазибесконечная; в) диаметр отверстия гораздо больше, чем толщина пласти
ны, т. е. пластина бесконечно тонкая.
В результате решения уравнения Рейнольдса для «несжимаемого
газа» получается следующий коэффициент демпфирующей силы:
-
2
3
A
ck
d
2
hN
54
3
0
()
,
где A – общая площадь пластины (включая площадь отверстий); N –
количество отверстий,
rr
0 c
,
() 4 4ln() 3k
24
,
r
0
– ради-
ус одного отверстия.
Для пластины с конечной площадью необходимо вводить поправку, для того чтобы учесть выход воздуха из зазора через края.
Поэтому, например, для прямоугольной перфорированной пластины длиной
и шириной W результирующий коэффициент демпфи-
L
рующей силы
12
cc
d
dd
12
cc
dd
,
0
– коэффициент демпфиро-
133
где
cLW h
d
()
форму пластины, а
c
– коэффициент демпфирования, учитывающий
0
22 3
3()(2 )
cAk hN
d
вания, учитывающий характер перфорации.
Данная модель подходит для тонких перфорированных пластин.
С развитием технологии МЭМС стало возможным перфорировать толстые пластины с помощью глубокого реактивного ионного травления.
Для толстых перфорированных пластин нужно учитывать сопротивление воздуха, проходящего через отверстия, поэтому необходимо решать модифицированное уравнение Рейнольдса, что является
более
сложным и порой требует применения численных методов расчёта,
таких как метод конечных элементов.
3.4.4. Влияние амплитуды колебаний пластины
на коэффициент демпфирования
В рассмотренных случаях амплитуда движения считалась небольшой, но часто амплитуда может быть сравнимой с номинальным зазором. Тогда необходимо учитывать амплитуду колебаний.
Если пластина колеблется по закону
(1 sin( ))hh t
0
ветствующие выражения для коэффициента демпфирования нужно
умножать на функцию
, зависящую от амплитуды колебаний :
()
f
d
()
f
d
1
(1 )
55
23/2
.
, то соот-
Например, для бесконечно длинной прямоугольной пластины ко-
z
эффициент демпфирующей силы будет
3
LW
c
d
323/2
h
(1 )
0
.
3.5. Демпфирование со скользящим слоем
Очень часто встречаются МЭМС-устройства с тангенциальным
(латеральным) движением, т. е. когда движение происходит парал-
лельно подложки. Поскольку размеры пластины обычно гораздо
больше ее толщины и зазора между подложкой и пластиной, то вязкое
демпфирование окружающего воздуха является причиной рассеивания
энергии колебательной системы.
Для исследования демпфирования со скользящим слоем используется
механическая модель, изображённая на рис. 3.13, состоящая из
квазибесконечной пластины, погружённой в несжимаемую вязкую
среду, пластина движется в латеральном направлении, при этом расстояние между подложкой и пластиной остаётся постоянным.
k/2 k/2
Направление движения
m
y
x
Рис. 3.13. Схематическое изображение модели
демпфирования со скользящим слоем
3.5.1. Базовые уравнения
Основным уравнением, описывающим стационарный поток не-
сжимаемой среды, является уравнение Навье–Стокса:
v
t
()
vvFp v
56
2
, (3.8)
где – плотность среды;
F
x
x
x
F
– коэффициент вязкости;
ijk
222
2
222
– приложенная сила; р – давление среды;
– скорость среды, где vui vjwk
v
yz
yz
– градиент,
– оператор Лапласа.
,
Если движение пластины происходит в
-направлении, то (3.8) преоб-
разуется в
u
uvwu
txyz
222
pu
x
222
x
xyz
. (3.9)
Если полагать, что пластина расположена в плоскости x-y и имеет
бесконечные размеры, движется в x-направлении, при этом отсутствуют внешние силы и градиенты давления, тогда имеем
222
uuu
и
222
zxy
,
.
,uvw
Таким образом, уравнение (3.9) упрощается:
uu u
u
tx
2
. (3.10)
2
z
Для квазибесконечной пластины (т. е. размеры пластины гораздо
больше, чем расстояние между пластиной и подложкой) вторым членом уравнения (3.10) можно пренебречь, т. е.
2
. (3.11)
2
z
uu
t
57
Условия применимости уравнения (3.11) следующие.
x
F
1. Скорость
у поверхности подложки и равна скорости дви-
0u
жущейся пластины у поверхности пластины.
2. Если пластина колеблется по закону
– характерный размер пластины.
где
l
3.
2lda
22
, где
0
2/( )
ния, расстояние в направлении оси
() sin( )
ta t
0
– эффективная длина затуха-
, на котором скорость движения
z
, то
al
0
текучей среды уменьшается в e раз относительно скорости пластины.
В случае если
, то уравнение (3.11) упрощается:
d
2
uz
. (3.12)
0
2
3.5.2. Модели демпфирования
При моделировании данного вида демпфирования используются
две модели: Куэтта и Стокса. Различие между этими двумя моделями
состоит в различных профилях скорости.
Модель Куэтта
Если полагать, что пластина колеблется с достаточно низкой частотой, т. е.
Граничные условия для скорости пластины в данном случае
, то для анализа используется уравнение (3.12).
d
,
(0) cos()uz u t
0
, ( ) 0uz d . (3.13)
Согласно (3.12) и (3.13) профиль скорости будет линейным
(рис. 3.14)
z
() (0)1 ,
uz u
d
где (0)u – скорость движения пластины. Сдвигающая сила сопротив-
ления, приложенная к пластине,
(0)Cdu
A
,
d
где
– площадь пластины.
A
58
E
u =
0
y
x
z
Рис. 3.14. Профиль скорости текучей
d
среды для модели Куэтта
m
подложка
u
Согласно модели Куэтта градиент скорости над пластиной равен
нулю. Рассеянная за один цикл энергия равна
T
(0) 1
u
Cd
AudtA dtuA
00
(0) ( )
ddd
Согласно определению добротности
2
, добротность для модели Куэтта
2mu
0
Q
Cd
где mHA;
от площади пластины
– толщина пластины. Таким образом,
H
A
2
22
cos ( )
ut
0
2QEE
2
mu
EA
md H d
0
Cd
.
2
, где
0
,
не зависит
Q
Cd
Модель Стокса
.
2
2Emx
В случае если расстояние между подложкой и пластиной достаточно большое, то модель Куэтта оказывается неверной, тогда используется модель Стокса, основанная на решении уравнения (3.11).
В результате решения уравнения (3.11) с граничными условиями
(3.13) получается профиль скорости с быстро ослабевающей амплитудой и сдвигом фазы относительно движения пластины (рис. 3.15):
dz dz
cos( ) cos( )
etzdetzd
()
uz u
0
dd
22
ee d
2cos(2 )
59
, (3.14)
0
где
стины
,
/dd
(0) cosuu t
0
и – сдвиг фазы относительно колебаний пла-
/zz
.
u =
d
u=u0cosωt
подложка
Рис. 3.15. Профиль скорости текучей
среды для модели Стокса
Выражение для
dd
ee d
arctg
dd
ee d
sin
. (3.15)
cos
Таким образом, демпфирующая сила, действующая на пластину,
Au
u
FA e td
Sd
z
z
0
dd d
sin( ) cos( ) sin( ) .
etdetdetd
22
ee d
0
dd
2cos(2 )
d
cos( )
Рассеянная за один цикл колебаний энергия равна
T
EFudt
Sd Sd
0
0
Au
2
0
sh(2 ) sin(2 )
dd
ch(2 ) cos(2 )
dd
. (3.17)
Тогда добротность системы
ch(2 ) cos(2 )
md d
Q
Sd
A
sh(2 ) sin(2 )
dd
. (3.18)
(3.16)
В случае если
d
, то
QQ
Sd Cd
, т.е. добротности, найденные с
использованием моделей Стокса и Куэтта, совпадают.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]