Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Микроэлектромеханика. Учебное пособие
.pdf
Хорошим примером иллюстрации данного эффекта является кристаллическая структура кварца, где расположение ионов Si (положительные заряды) и O (отрицательные заряды) несимметрично относительно любой точки кристалла, что видно из рис. 6.1, а.
0 В
+ + + + + + + + + +
–
Si
++
––
+
O
+V
–
++
––
+
– – – – – – – –
– – – – – – – –
–V
+ + + + + + + + + +
–
++
––
+
Рис. 6.1. Эффект пьезоэлектричества на примере кварца:
а – напряжение отсутствует – нет механической деформации; б – поло-
жительное напряжение – происходит растяжение кристалла; в – отрица тельное напряжение – происходит сжатие кристалла
Если сжимать или растягивать кристаллическую решётку, то знак
вызванной поляризации будет изменяться, а её величина практически
линейно будет зависеть от приложенного механического напряжения,
что очень выгодно использовать в сенсорах.
При приложении же электрического поля к пьезоэлектрику
(рис. 6.1, б и 6.1, в) электростатические силы будут влиять на нецен-
тросимметричное расположение ионов и
вызывать растяжение или
сжатие кристаллической решётки в зависимости от знака приложенного напряжения и коэффициента связи (пьезоэлектрической постоянной). Возможность изменять знак деформации при изменении прикладываемого напряжения является очень привлекательным для
микроактюаторов.
6.2.1. Математическое описание эффекта
пьезоэлектричества
Поскольку данный эффект анизотропный, то введём обозначения
для направлений в кристалле.
Как правило, направление положительной поляризации выбирают
так, чтобы оно совпадало с осью
декартовой системы координат, как
z
показано на рис. 6.2. Нормальные компоненты механических напряжений вдоль осей
и z обозначаются через 1, 2 и 3 соответственно,
,xy
101
D
E
ETETE
Р
ис. 6.2. Схематическое
изображение кристалла пьезоэлектрика в прямоуголь ной системе координат
т. е. ось поляризации всегда совпадает с
осью
(индексом 3). Сдвиговые компо-
z
ненты механического напряжения и деформации обозначаются через индексы 4,
5 и 6.
Основные уравнения, описывающие
пьезоэлектрический эффект, имеют тензорный вид. Уравнение, связывающее
электрическую поляризацию и прикладываемое механическое напряжение, имеет
вид
где
– вектор электрической поляризации;
i
ских напряжений;
DdT E
i ikl kl ik k
T
– матрица электрических постоянных при по-
ik
стоянном механическом напряжении;
электрического поля;
– тензор пьезоэлектрических постоянных.
d
ikl
T
, (6.1)
– матрица механиче-
T
kl
– вектор напряжённости
k
Электрическая поляризация складывается из двух составляющих:
механическая нагрузка и электрическое смещение.
В отсутствие электрического поля 2-е слагаемое в уравнении (6.1)
равно нулю. В матричном виде уравнение (6.1) имеет следующий
вид:
Ddddddd
1 111213141516
Ddd dddd
2 212223242526
Ddddddd
3 313233343536
T
1
T
2
11 12 13 1
3
T
T
21 22 23 2
4
31 32 33 3
5
6
, (6.1а)
102
где
E
E
E
E
E
M
сдвиговые напряжения вокруг осей
ности величин
d
ij
– нормальные напряжения вдоль осей
T
1,2, 3
,xy
2
[Кл/м ]
[Кл/Н][м/В]
D
i
.
,
T
j
[Н/м ]
и z, а
,xy
и z соответственно. Размер-
2
, [Ф/м]
, [В/м]
ik
E
k
6.2.2. Обратный эффект пьезоэлектричества
Уравнение, связывающее деформацию, механическое напряжение
и напряжённость электрического поля имеют следующий вид:
E
eSTdE
ij ijkl kl kij k
, (6.2)
T
4,5,6
–
,
где
ний;
– матрица деформаций;
e
ij
– вектор напряжённости электрического поля;
k
– матрица механических напряже-
T
kl
– тензор
S
ijkl
упругих податливостей при постоянной напряжённости электрического поля;
– тензор пьезоэлектрических постоянных.
d
kij
В отсутствие механического напряжения 1-е слагаемое в уравнении
(6.2) равно нулю. Размерность
E
S
ijkl
2
[м / Н]
,
– безразмерная ве-
e
ij
личина.
В матричном виде уравнение (6.2) имеет следующий вид:
eSS SSSS Tdd d
1 11 12 13 14 15 16 1 11 21 31
eSSSSS S Tddd
2 21 22 23 24 25 26 2 12 22 32
eSS SSSS Tddd
3 31 32 33 34 35 36 3 13 23 33
eSSSSS S Tddd
4 41 42 43 44 45 46 4 14 24 34
eSSSSSS Tddd
5 51 52 53 54 55 56 5 15 25 35
eSSSSSS Tddd
6 61 62 63 64 65 66 6 16 26 36
1
2
3
. (6.2а)
Коэффициент электромеханической связи – величина, характеризующая количество энергии, преобразованной из электрической энергии в механическую энергию, или наоборот:
преобразованная энергия
k
входная энергия
U
PZT
UU
E
,
103
где k характеризует степень эффективности преобразования энергии,
M
E
д
пьезоэлектрическая энергия
TT
1
UTdE ,
PZT j ij j
{}{ }{ }
2
механическая энергия
TE
1
UTST
{} {}
jijj
2
и электрическая энергия
TT
1
UE E.
{} {}
kikk
2
6.3. Модель пьезоэлектрического
балочного актюатора
Пьезоэлектрические актюаторы часто используются вместе с консольными балками или пластинами. Общие модели таких актюаторов
являются довольно сложными, их точный анализ часто требует использования численных методов (например, МКЭ). Для некоторых простых
случаев, однако, всё же можно получить аналитические решения.
Рассмотрим консольную балку, изображённую на рис. 6.3,
стоящую из двух слоёв материала, один из которых является пьезоэлектрическим (
биморфный пьезоэлектрический актюатор).
Пьезоэлектрический слой
Упруги й слой
а
x
δ(x)
e
прод
1-й слой
2-й слой
Дуговой профиль
под действием
e
про
а и со-
R
φ
б
Рис. 6.3. Изгиб пьезоэлектрического
биморфного элемента
104
Для анализа примем следующие допущения:
E
E
E
xR
R
E
E
F
1) вызванное механическое напряжение и деформация направлены
строго вдоль балки;
2) поперечное сечение балки не изменяет своей формы и конфигу-
рации при изгибе;
3) балка сохраняет постоянный изгиб вдоль всей своей оси;
4) сдвиговые напряжения и деформации полностью отсутствуют;
5) изгибом балки из-за внутренних напряжений можно пренебречь;
6) толщина балки гораздо меньше, чем радиус её кривизны, вы-
званный пьезоэлектрическим эффектом;
7) коэффициент Пуассона изотропный для всех плёнок.
Когда слой пьезоэлектрика подвергается продольной деформации
, то балка изгибается в дугу, радиус кривизны которой
e
прод
4( )( ) ( )
R
где
S
и
– площади поперечного сечения пьезоэлектрического и
S
1
2
упругого слоёв;
JEJESES ttESES
11 2 2 11 2 2 1 2 11 2 2
2()
ettESES
прод 121122
и
1
– модули Юнга для этих слоёв;
2
2
, (6.3)
и
t
2
– их
t
1
толщины.
Если известен радиус кривизны (рис. 6.3,
вертикальное смещение () (1 cos )
2
1cos 2
где
– пьезоэлектрическая постоянная;
d
31
и
()
x
4( )( ) ( )
JEJESES ttESES
11 2 2 11 2 2 1 2 11 2 2
трического поля вдоль оси
xR
, так как угол 1
, т.е.
(1 c os ) (2 )
2
xd E t t ESES
()
31 3 1 2 1 1 2 2
. Зная вертикальное смещение пьезоэлек-
z
б), то можно определить
, то
2
xR
3
, отсюда
2
, (6.4)
– напряжённость элек-
трического балочного актюатора, можно определить силу, развиваемую актюатором ()
xk
, где k – коэффициент жёсткости балки.
Пример 1. Пьезоэлектрический актюатор балочного типа длиной
500 мкм изготовлен из двух слоёв
: ZnO и poly-Si (рис. 6.4). Найти вер-
тикальное отклонение конца балки и поперечную силу на конце балки,
если приложить напряжение 10 В.
105
р
poly
12
–
x
x
F
z
y
x
E
ZnO
3
металлические
контакты
Парамет
Ширина, мкм 20 20
Толщина, мкм 12
Модуль Юнга, ГПа 160 160
Пьезоэлектрическая постоянная d31, Кл/Н 5·10
V
поликремний
Параметры слоев ZnO и Si
Рис. 6.4. Биморфный пьезоэлектрический
элемент
ZnO
–
-Si
Решение
1. В данном частном случае ось поляризации z перпендикулярна
лицевой поверхности балки. Ось
трическое поле прикладывается вдоль оси
напряжение в направлении оси
расположена вдоль балки. Элек-
, вызывая механическое
z
.
Продольная деформация
eedEdVt
прод 1313311
.
Радиус кривизны балки определяется выражением (6.3), макси-
мальное поперечное отклонение конца балки выражением (6.4):
2
() 2,778
xl
4( )( ) ( )
EJ E J ES E S t t ESE S
11 2 2 11 2 2 1 2 11 2 2
1t
3
,
мкм,
.
12Jtw
Stw
22
2
где
Stw
В,
1
22
11
ld E t t ESES
,
мкм,
2t
2. Поперечная сила на конце балки ()
коэффициент жёсткости
()
31 3 1 2 1 1 2 2
2
мкм,
500l
20w
. Проанализируем поперечное сечение
k
мкм,
31
12
12
510d
Н/м,
160EE
xlk
, где неизвестен
31
ГПа,
11
мкм,
10EVt
3
12Jtw
балки; нужно определить нейтральную ось многослойной структуры
балки
106
7
,
z zES ES
R
xl
Р
N iii ii
ii
для двухслойной структуры балки, изображённой на рис. 6.5, нейтральная ось
zES z E S
111 2 22
z
N
ES E S
11 2 2
,
,
где
121
,
2zt t
22
.
2zt
Затем находим эквивалентный момент
инерции сечения:
() ( )
EJ E J z S z z
экв
ii iii N
i
В случае двухслойной балки
() ( ) ( ).
EJ E J z S z z E J z S z z
экв 11 111 2 2 222
Изгибающий момент балки
()EJ
M
вертикальное отклонение балки при
22
()
xl
lMl
22()
REJ
коэффициент жёсткости
3( )EJ
kl
Поперечная сила на конце балки
.
NN
экв
ис. 6.5. К определению
нейтральной оси двухслой-
ной структуры балки
,
,
,
экв
экв
.
3
3( )
()
Fxlk
3
M
22
EJ
экв
llR
Вычисления приводят к коэффициенту жёсткости
В результате поперечная сила на конце балки
107
.
0,173k
Н/м.
0,481F
мкН.
Пример 2. Кусочек тонкой плёнки ZnO расположен около основа-
F
J
J
ния консольной балки, как показано на рис. 6.6. Плёнка ZnO расположена между двумя проводящими слоями. Длина всей балки равна l и
состоит из двух сегментов l
и lB, сегмент A покрыт пьезоэлектриче-
A
ским материалом, а сегмент B – нет. Устройство используется как
сенсор, определить взаимосвязь между приложенной силой F и генерируемым напряжением V.
Решение
Обычно ось
осаждённой плёнки ZnO соответствует нормали к
z
лицевой поверхности балки, на которую она осаждается. Это означает,
что поперечная сила
будет вызывать механическое напряжение рас-
F
тяжения в плёнке пьезоэлектрика, что приведёт к появлению электрического напряжения
вдоль оси z. Сдвиговые механические напря-
V
жения здесь не будем учитывать.
x
V t
l
A
Рис. 6.6. Биморфный пьезоэлектрический
1
сенсор
t
2
l
B
l
F
Из курса прикладной механики максимальное механическое
напряжение вдоль консольной балки, вызванное внешней силой
lt
2
где
Tx
1max
T
1max
,
– момент инерции сечения балки без плёнки ZnO.
2
,
2
2
Для ZnO матрица пьезоэлектрических постоянных
000011,340
d
0 0 0 11,3400
ij
5,43 5, 43 11,37 0 0 0
108
пКл
Н
.
:
F
В результате электрическая поляризация в направлении оси z
E
x
A
xl
A
A
x
R
B
A
x
равна
.
(2 )VEt Dt dFltt J
Выходное напряжение
DdT
3311max
.
31 31 31 12 2
Пример 3. Для такого же случая, как и в предыдущем примере,
найти вертикальное отклонение конца балки, если устройство
используется в качестве актюатора. Прикладываемое напряжение
равно V.
Решение
При приложении напряжения V напряжённость электрического
поля
.
Vt
31
Приложенное электрическое поле вызывает продольную деформа-
цию вдоль оси
Смещение на конце сегмента
в примере 1, при этом сегмент
:
edE
1313
.
A
()
может быть найдено, как
будет изогнут в дугу. Угловое откло-
нение на конце пьезоэлектрического сегмента
,
A
где
– радиус кривизны сегмента A.
Сегмент
не изгибается и остаётся прямым. Вертикальное откло-
()
llR
нение конца балки в таком случае будет
()( )sin( )
lxll xl
BA
.
Пример 4. На рис. 6.7 изображён тонкоплёночный сенсор с ZnO,
имеющий конструкцию с компланарными электродами (лежащими в
одной плоскости). Найти: 1
внешней силы F; 2
) если структура используется как актюатор, чему
) выходное напряжение V при приложении
равны компоненты деформации, когда между электродами прикладывается напряжение V.
109
z
x
x
A
A
E
x
t
1
V
l
A
Рис. 6.7. Биморфный пьезоэлектрический
сенсор с компланарными электродами
F
Решение
1. Приложенная внешняя сила F приводит к появлению двух компонентов механического напряжения:
– нормального и
T
1
– сдвигового.
T
5
Выходное электрическое поле связано с механическими напряже-
ниями согласно выражению для прямого пьезоэлектрического эффекта
а). Поскольку внешнее электрическое поле отсутствует, то
(6.1,
и выражение (6.1, а) принимает вид
0E
1,2,3
T
1
0
D
1
D
2
D
3
000011,340
0 0 0 11,34 0 0 10 Кл/м
0
12 2
,
0
5,43 5, 43 11,37 0 0 0
T
5
0
откуда
11,34 10DT
15
,
0D
,
2
31
5,43 10DT
12
. Поскольку
12
выходное напряжение в данном случае связано с поляризацией в
направлении оси
, то
VDl .
/
1
A
2. Определим деформацию, когда устройство используется как актюатор. Пусть напряжение
тать, что расстояние между электродами
напряжённости электрического поля
трическое поле порождает продольную деформацию вдоль оси
прикладывается вдоль оси x. Будем счи-
V
, следовательно, величина
l
. Приложенное элек-
/
Vl
1
со-
гласно уравнению (6.2а), поскольку внешние механические напряжения отсутствуют, то
16
и вектор деформаций будет представлять
0,T
собой
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]