Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Микроэлектромеханика. Учебное пособие
.pdf
Частные решения системы (1.10):
A
A
A
A
где
xA t
xA t
и
1
– амплитуды колебаний первого и второго тел соответ-
2
sin( ),
11
sin( ).
22
(1.11)
ственно. Найдём значения первой и второй производных от частных
решений (1.11):
xA t
11
xA t
22
xAt
11
xAt
22
cos( ),
cos( );
2
sin( ),
2
sin( ).
(1.12)
Подставляя (1.12) и (1.11) в систему уравнений (1.10), получаем
()0,
kk m AkA
12 1 122
kA k m A
21 2 2 2
Видно, что (1.13) удовлетворяет тривиальному решению
2
()0.
2
(1.13)
12
0AA
которое подразумевает, что колебания отсутствуют. Для того чтобы
найти нетривиальные решения, найдём определитель матрицы относи-
и
тельно
1
и приравняем его нулю:
2
()()0kk m k m k
12 1 2 2 2
222
. (1.14)
,
Поделив (1.14) на
которое называется
mm , получим выражение
12
kk k kk
42
12 2 12
mm mm
12 12
0
, (1.15)
характеристическим уравнением.
Решение уравнения (1.15) даёт два значения собственных частот
колебаний:
2
1,2
12 2 12 2 12
24
mm mm mm
12 12 12
. (1.16)
11
kk k kk k kk
11
2
Исходя из выражения (1.16) следует, что колебания системы про-
A
A
A
j
j
A
AA
A
исходят на двух частотах, и общее решение (1.11) системы уравнений
(1.10) принимает вид
xA t A t
111 1 12 2
xA t A t
221 1 22 2
sin( ) sin( ),
sin( ) sin( ).
(1.17)
Амплитуды
Отношения амплитуд
зависят от частот собственных колебаний
ij
A
21 11
и
22 12
, называемые коэффициен-
A
тами формы колебаний, определяются следующим образом:
AA kkm kkkm
jj j j
21 121 2222
()()
где j равно 1 или 2. Анализ показывает, что амплитуды
начальных условий
11
11 2 1 2 2 1 2
21
11
12 1 1 2 1 1 2
21
Амплитуды колебаний
(0)x , 2(0)x , 1(0)x
1
(0) (0) (0) (0)Axx xx
(0) (0) (0) (0)Axxxx
21 1 11
22
,
(0)x
следующим образом:
2
22
2
1
22
,
22 2 12
2
2
.
A
, (1.18)
зависят от
1
12
12
При соответствующем возбуждении колебания системы могут
происходить на одной частоте
12
, такие колебания называ-
ются главными.
1.2. Колебания механической системы
с демпфированием
.
1,2
,
.
Диссипативные силы могут быть линейными и нелинейными.
Линейные силы принимаются пропорциональными скорости перемещения. Если диссипативная сила пропорциональна скорости перемещения, то такую систему называют системой с вязким трением. Вязкое трение характерно для микромеханических систем с воздушным
демпфированием.
12
На рис. 1.7 представлена модель системы масса–пружина с учётом
F
x
демпфирования. Уравнение движения в этом случае выглядит следующим образом:
где
mx kx cx
– демпфирующая сила; c – коэффициент демпфирующей
cx
d
, (1.19)
силы. Поделим выражение (1.19) на m , перенесём все слагаемые в одну сторону равенства, и сделаем замену
2
0
и
km
(2 )nc m
, тогда
(1.19) примет следующий вид:
20xnx x
2
0
, (1.20)
где
ственная частота колебаний); n – коэффициент демпфирования.
– циклическая частота колебаний системы без затухания (соб-
0
Рис. 1.7. Модель системы масса–пружина
с учётом демпфирования
k
Если положить exp( )
At
, то из (1.20) получается уравнение
22
20n
уравнение (1.21) имеет два решения:
, (1.21)
0
22
nn
1,2 0
m
.
Поведение системы может быть охарактеризовано через соотношение
, называемое скоростью затухания. Различают
(2 )ncm
00
три вида демпфирования (рис. 1.8).
1. Незначительное демпфирование
n , т. е. 1
Если
0
, корни уравнения (1.21)
1,2 0
решение уравнения (1.20) будет иметь вид
exp( ) sinxA nt nt
22
0
, (1.22)
c
22
,ni n
где
– фазовый сдвиг; A – амплитуда колебаний при
13
.
0t
Уравнение (1.22) показывает, что система будет колебаться, но в
x
x
x
отличие от свободных колебаний:
22 2
– частота затухающих колебаний
d
n
00
ше, чем частота свободных (собственных) колебаний
1
;
0
– амплитуда колебаний экспоненциально затухает во времени.
Зависимость ()
t для данного случая представлена на рис. 1.8, а,
кривая 1.
2. Сильное демпфирование
Если
, т. е. 1 , корни уравнения (1.21)
n
0
1,2 0
а решение уравнения (1.20)
мень-
22
,nn
где
exp( ) exp exp
– константы интегрирования.
c
1, 2
nt c n t c n t
102 0
22 22
, (1.23)
В этом случае колебаний системы не происходит, и инерциальная
масса возвращается в своё первоначальное положение (см. рис. 1.8,
кривая 2).
3. Критическое демпфирование
Если
n
, т. е. 1 , то
0
12 0
n
, и решение уравне-
ния (1.20) имеет вид
где
– константы интегрирования.
c
1,2, 3
exp( )[ ]
cntctc
123
, (1.24)
Рис. 1.8. Три вида демпфирования
колебаний:
1 – незначительное; 2 – сильное;
3 – критическое
14
Данный результат означает, что в случае критического демпфиро-
A
F
вания нет колебаний, как и в случае сильного демпфирования, но время, затрачиваемое на смещение инерциальной массы в первоначальное
положение, минимально (см. рис. 1.8, кривая 3).
На практике очень часто используется характеристика демпфирования, называемая логарифмическим декрементом затухания:
ln( ) ln exp( ) exp ( )
AntntTnT
ii
где
– период затухающих колебаний.
T
1
,
Рис. 1.9. Энергетическая диаграмма
процесса затухающих колебаний
На рис. 1.9 изображена энергетическая диаграмма процесса затухающих колебаний, соответствующая кривой 1, изображенной на рис. 1.8.
Из обоих рисунков видно, что амплитуда колебаний уменьшается со
временем, поскольку полная энергия постепенно рассеивается, превращаясь в тепло.
1.3. Вынужденные колебания
механической системы
Предположим, что на систему масса–пружина действует внешняя
сила, изменяющаяся по гармоническому закону
sin( )
Ft
0
, в этом
случае дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы,
0
15
sin( ).mx kx cx F t
(1.25)
Уравнение (1.25) имеет решение
x
x
x
x
x
B
x
f
B
уравнения (1.20), а
Для
уравнение (1.20) будет иметь вид
1
– частное решение уравнения (1.25).
2
20xnx x
1101
xx
12
2
, где
– общее решение
1
. (1.26)
Из предыдущего раздела известно, что решение (1.26) для
n
есть затухающие колебания
exp( ) sinxA nt nt
10
Полагаем, что
представляет собой устойчивые колебания
2
где
– амплитуда результирующих колебаний; – сдвиг фаз между
sin( )xB t
2
22
, (1.27)
.
колебаниями системы и синусоидальными колебаниями внешней силы.
Представляем (1.25) в виде
F
2
2sin()
nx x t
0
0
m
и подставляем в него выражение (1.27), в результате получаем
22
0
где
Fm
0
Последнее уравнение будет иметь решения, если
cos 0f и 2 sin 0nB f
баний
и сдвиг фаз принимают следующий вид:
cos sin( ) [2 sin ]cos( ) 0BftnBft
.
B
, откуда следует, что амплитуда коле-
,
22
0
0
B
arctg
f
22 22
0
2
16
4
2
n
22
0
, (1.28)
n
. (1.29)
Таким образом, решение уравнения (1.25) имеет вид
x
Р
у
exp( ) sin sin( )xA nt nt B t
22
0
. (1.30)
На рис. 1.10 представлена каче-
ственная зависимость ()
t для вынуж-
денных колебаний согласно выражению (1.30). Зависимость имеет два
характерных участка: переходный режим, когда амплитуда колебаний
начинает возрастать, и установившийся
режим, когда амплитуда колебаний не
изменяется. Время, в течение которого
длится переходный режим, связано с
постоянной времени
1( )
слабого демпфирования 1
– частота затухающих колебаний;
d
d
и
, для
ис. 1.10. Зависимость смещения
инерциальной массы от времени
для вын
, т. е.
0d
d
жденных колебаний
1( ) 1n
2
1
0
.
0
, где
Частота установившихся колебаний будет такой же, как и частота
колебаний внешней силы, однако между этими колебаниями будет
сдвиг фаз, который находится из (1.29).
На рис. 1.11 представлена энергетическая диаграмма процесса вынужденных колебаний, откуда видно, что с течением времени энергия
системы растёт до своего максимального значения, которое достигается в установившемся режиме (
см. рис. 1.10).
Рис. 1.11. Энергетическая диаграмма
процесса вынужденных колебаний
17
1.3.1. Резонансная частота
B
B
B
Согласно выражению (1.28) для B амплитуда вынужденных коле-
22 2
212
баний имеет максимум при частоте
r
называемой резонансной частотой, которая находится из условия
.
0dB d
Амплитуда колебаний
при резонансной частоте
r
n
00
r
,
f
22 2
nn
221
0
где
Fk
00
B
r
– статическое смещение инерциальной массы.
Необходимо отметить, что
ственная частота колебаний;
d
тухающих колебаний; / (2 )nc m
0 dr
– коэффициент демпфирования;
B
0
,
, где
22 2
n
00
0
1
– частота за-
/km – соб-
–
r
резонансная частота колебаний.
1.3.2. Фазовый сдвиг при резонансе
Подставляя выражение
сдвига
фирования, когда 1
(1.29), получаем
, сдвиг фаз arctg(1/ ) 2
0
r
arctg 1 2
r
r
в выражение для фазового
2
. Для слабого демп-
.
2
12
1.3.3. Добротность колебательной системы
Для многих сенсорных систем острота резонансного пика очень
важна для высокого разрешения и точности измерений.
Параметром, который отражает остроту резонансной кривой, является добротность или Q-фактор. Имеется несколько определений понятия добротности, все они эквивалентны для слабого демпфирования.
Определение 1. С математической точки зрения добротность – это
высота пика относительной амплитуды
резонансной частоте:
BBFk
00
rr
(/)
при
18
Q
E
x
E
F
E
1
21 21
222
0
nn
,
0
т. е. чем меньше коэффициент затухания, тем выше добротность.
Определение 2. В физике добротность Q определяется как отно-
шение полной энергии системы к средней рассеиваемой энергии за
один радиан при резонансной частоте:
2
QE
.
Для системы, колеблющейся при резонансной частоте
ние равно
sin( )
At
Полная энергия системы
мая за один цикл,
Таким образом, имеем
.
r
2
mx
EmA
T
Fxdt
, где
d
0
T
EcxdtcA
0
1
22
d
22
22
. Энергия, рассеивае-
r
.
cx
. Добротность в дан-
r
, смеще-
r
ном случае
Q
2
E
r
.
m
c
Используя
nm
c
и
2
nn
0 r
, получаем
1
22Qn
0
.
Определение 3. На рис. 1.12 качественно изображена амплитудно-
частотная характеристика (АЧХ) колебательной системы; с графической точки зрения добротностью называется отношение резонансной
частоты
к полосе пропускания
r
1,2 0
2
12 1
12
2
12
, где
12
2
12
0
,
2
,
и
:
1
2
,
19
B
B
B
r
B
r
2
Δω
B
0
ω
ω
1
rω2
ω
Рис. 1.12. Качественный вид АЧХ
колебательной системы
для слабого затухания добротность
2
Q
0
r
2
12
2222
0
2
12 1
0
.
n
На рис. 1.13 представлены АЧХ колебательной системы для различных добротностей Q . Видно, что с увеличением добротности резо-
нансная частота
(смещается вправо), при этом уменьшается полоса пропускания
увеличивается амплитуда колебаний
нанса полностью исчезает, где
приближается к частоте собственных колебаний
r
. При 12 явление резо-
//(2)ncm
00
.
B
B
r3
ζ = 0 (Q =
0
,
B
r2
B
r1
B
0
Q
ω
0ωr3ωr2ωr1
ω
Рис. 1.13. Серия АЧХ колебательной
системы для различных добротностей
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]