Методы оптимизации линейного и нелинейного программирования. Учебное пособие

Программный модуль, отображенный на рисунке 4.3, производит поиск решения задачи, когда необходимо из области графического решения выделить только целые значения искомых величин.

На рисунке 4.4 при помощи математического процессора MathCAD результативно решена задача, когда в области, ограниченной условиями, определены целочисленные значения вариантов решения задачи.

Рисунок 4.4. Координаты решений целых значений искомых величин

Табулирование позволяет и вывести все ответы искомых величин с их координатными определениями. Зигзаг на графике весьма успешно обозначает сколько целых значений находится на одной координатной прямой. Наибольшее число целочисленных решений задачи принадлежит ве-

личине, когда A .

51

Рисунок 4.5. Расчет точки минимума

После рассмотрения построенных линий уровня определяется, куда направлен антиградиент. Видно, что в пересечении линий и их минималь-

ного значения в точке S )



можно найти целое число минимального

решения задачи. Оно равно 1I) _.

52

4.2. Задания для самостоятельного решения задачи оптимизационного це- лочисленного исчисления графическими методами

Задача 1

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… 4K` …P NM

K… 5

Задача 2

K … >5

c

K… >5

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… K …P NM

K… _

K … >_

c

K… >_

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

Задача 3

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… _K… PNM

K…  `

K4 … 4



c

4K… > 

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

53

Задача 4

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… K… PNM

K … >`

4K… >

c

_K…  

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

Задача 5

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… K` …P NM

K…  

K… > `

c

4K… > 

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

Задача 6

Выполнить математическую модель задачи оптимизации. При помощи целочисленного программирования решить задачу графическим методом. Устанавлить минимальное значение пересечения трех линий.

TK)… ?K …P NM

K…  5

K… > 

c

K… > `

K> )111… >)1111111K {†)1111… {†

54

5. Решение задач со многими переменными при помощи линейного

m

C**A*

C*7A7

C

*

-A-



*)

C7*A*

C77A7

C7-A-

7)



C

9

*A*



C

9

7A7



C9-A-

9)

lD

$

программирования. Метод Жордана-Гаусса - полное исключение не-

известных

Если при канонической записи основной задачи линейного программирования присутствуют две свободные переменные, то она решается графическим способом. Целевая функция выражается через свободные переменные, и после алгебраических преобразований и получения задачи линейного программирования выполняется графическое решение.

Методом Жордана-Гаусса решаются усложненные задачи. Задача линейного программирования дает оптимальное решение. Симплекс метод основан на упорядоченном переборе опорных решений и последовательном их улучшении.

Имеется система m линейных уравнений, в которой n неизвестных, причем m ≤ n:

Матрица данной системы   C"'

A*)A7))A-

‰

.

Столбец неизвестных записывается как $ *)7))-

система уравнений записывается в виде:

Когда матрица А содержит в каждом столбце ровно по одному нену-

обозначается через D 

9ˆ-

(5.1)

‰

. Тогда

(5.2)

левому элементу, причем в разных строках, тогда переменные называются базисными. Свободные переменные (остальные) приводят решение системы уравнений к поиску коэффициентов, так как, задача решает систему

55

квадратной матрицы А−1. При умножении матричного уравнения на об-

ŠlD



*





$

K'>

 TK*)

K7)

Kh)

K

g





K*

K7

Kh

KgP

NoK

k

K*

K7

Kh

Kg



K*

K7

Kg

 K*)

K7)

Kh)

Kg>



ратную матрицу, получается А0 решение системы:

(5.3)

Метод алгебраических дополнений для нахождения обратной матрицы весьма проблематичный и долгий математический процесс, проще использовать численный метод. Производя элементарные преобразования, находится через некоторое число шагов решение. В уравнениях находятся коэффициенты неизвестных, и на них делится уравнение и неизвестное исключается. После исключения неизвестных в каждом из уравнений система достаточно легко решается и выполняется обратный процесс поиска неизвестных. При этом будет получен вывод, что либо система несовместна, либо же найдено решение. Метод Жордана Гаусса называется и также методом исключения неизвестных.

5.1. Пример решения задачи

Найти оптимальное решение задачи линейного программирования, при которых выполняются условия:

если должны выполняться условия поставленной задачи:

(5.4)

(5.5)

Производится решение задачи методом Жордана-Гаусса:

‹n1n)o)Œ n − исходная расширенная матрица

56

o − номер строки разрешающего элемента

Œ − номер столбца разрешающего элемента

Рисунок 5.1. Программный модуль решения матрицы ‹n1n)o)Œ n методом Жордана-

Гаусса

Далее задается расширенная матрица, выполненная с элементами правых частей уравнений:

Рисунок 5.2. Определяются базисные переменные K*)K7 и свободные переменные Kh)K

57

g

Производятся преобразования и из полученной матрицы B2 выпол-

k

K7)_4

Kh

Kg)

_4

K*)4

Kh

Kg)

4 TK*)

K7)

Kh)

K

g





K*

K7

Kh

KgP

NoK

k

K7)_4

Kh

Kg)

_4

K*)4Kh

Kg)

4 K*>11111111K7>



k

)_4Kh

Kg>)_4 )4

Kh

Kg>)4

•

k

)_4Kh

Kg>)_4 )4Kh

Kg)

4

TKh)

Kg)4Kh

Kg)4)_4

Kh

Kg)_4



Kh

KgP

NoK TKh)

K

g



)4Kh

Kg)4P

NoK

TKh)

Kg)4

Kh

Kg)4P

NoK

k

)_4Kh

Kg>)_4 )4Kh

Kg)

4

няются уравнения, задающие ограничения:

ний:

(5.6)

Базисные переменные выражаются через свободные переменные:

(5.7)

Можно производить и дальнейшие преобразования системы уравне-

(5.8)

Целевая функция принимает вид:

Целевая функция с ограничениями принимает вид:

Далее полученная задача может быть достаточно быстро решена способом, описанным в предыдущем параграфе.

(5.9)

(5.10)

58

5.2. Задания для самостоятельного решения задачи методом полного ис- ключения неизвестных

Задача 1

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*K7Kh 

c

K*K7KhKgK• @

TK*)K7)Kh)Kg)K

K*K7Kg 



 K7Kh

•

KgK•P NoK

Задача 2

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*K7KhKgK• 4

K*KhKg@K• _

c

K*KhKgK• 

TK*)K7)Kh)Kg)K





•

KhKgK•P NoK

Задача 3

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*K7Kh 

K*@K7KhKgK• ?

c

K*K7K• 

TK*)K7)Kh)Kg)K

K•P NoK

K

g



 @K*K7

•

59

Задача 4

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*KhKgK• 4

K*K7Kh@KgK• 5

c

K*KhKgK• 

TK*)K7)Kh)Kg)K



 ?K*K

•

7

KhKgP NoK

Задача 5

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*K7Kh 

4K*K7KhKgK• 

c

K*K7K• @

TK*)K7)Kh)Kg)K



 @K*K7

•

KhKgK•P NoK

Задача 6

Выполнить решение задачи линейного программирования методом

Жордана-Гаусса оптимальное, при которых будут выполнены условия:

1K'> 

K*K7Kh 

K*K7KhKgK• 

c

K*K7K• `

TK*)K7)Kh)Kg)K



 _K*

•

KhKgK•P NoK

60