Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации линейного и нелинейного программирования. Учебное пособие
.pdf
Свойство формулы 1.19 указывает на то, что EA является функцией
EARS0S
∞
TA>
R
TA0A
∞
FUHDHV
FUDHV
FUHDV
FUDV
FUHDHV
U)V
UDHV
+U)V
FUHDV
U)V,
FUDV
+U)V,
неубывающей.
EA можно вычислить, зная плотность распределения 1IA:
IA является функцией неотрицательной:
(1.20)
∞
и должна удовлетворять условию:
Для непрерывных случайных величин с непрерывной функцией EA
справедливы неравенства:
Причем:
− вероятность попадания в открытый интервал
(1.21)
(1.22)
∞
(1.23)
(1.24)
;
− вероятность попадания в полузакрытый интервал
(1.25)
;
− вероятность попадания в полузакрытый интервал
(1.26)
;
− вероятность попадания в закрытый интервал
(1.27)
;
21
Вычисление вероятности попадания в полузакрытый интервал +U)V
FUDHV
WV
EU
FUDHVRTA0A
X
Y
Z
)
если
1AH^
A
7
)
1AH^
)
1A>
`
(
возможно двумя методами:
(1.28)
(1.29)
В соответствии с равенствами 1.23 соотношения 1.28 и 1.29 определяют вероятность попадания случайной величины в отрезки с другими типами границ.
1.5. Практические задачи вероятности попадания случайной величины в заданный интервал
Задача 1
Функция WA
задается выражением:
если
@
A
A
_
)если1 A H
`
если
Необходимо определить плотность TA и вероятность попадания
случайной величины D в интервал )(4
Решение.
(1.30)
^
`
.
Программный модуль решения задачи в математическом пакете
MathCAD продемонстрирован на рисунке 1.3. Построены график WA и
22
кривая TA. Вероятность попадания решения в искомый отрезок )(4
ab
c
d)bH
e
b
f
)b>
f
вычислена двумя способами:
Рисунок 1.3. Решение задачи получения результата вычисления и попадания результата
в заданный интервал
Задача 2
Системой уравнений определена плотность распределения случай-
ной величины:
(1.31)
Необходимо определить коэффициент функцию распределения
случайной величины WA, вероятность попадания случайной величины в
интервал
)
, вероятность того, что при четырех независимых испыта-
ниях случайная величина ни разу не попадет в интервал
23
)
.
R
A
7
0A
R
0A
A
7
7
∞
7
TA
c
)AH
A
7
)A>
TA
c
)AH
A
7
)A>
Решение.
Программный модуль решения задачи в математическом пакете
MathCAD продемонстрирован на рисунке 1.4. Неизвестный множитель
определен из 1.22:
∞
(1.32)
Рисунок 1.4. Нахождение коэффициента
Система уравнений:
Принимает вид:
24
(1.33)
(1.34)
Так же в программе MathCAD вычислена в символьном виде WA на
WA
c
)AH
A
A
)A>
g
g(
@@_
g
(
5?
Z
интервале +)∞, следовательно:
Вероятность попадания случайной величины в интервал
чается равной ).
А вероятность того, что при четырех независимых испытаниях случайная величина ни разу не попадет в интервал
1.6. Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Функция WA
задается выражением:
)
(1.35)
)
полу-
:
(1.36)
WA
Определить плотность TA и вероятность попадания случайной величины D в интервал )
Задача 2
Системой уравнений определена плотность распределения случайной величины:
)если1A H^
Ah)если1 A H^
A`)если1 A H
)если1A >
.
)A H`
TA
i
j
A
(
`
)A >`
^
`
25
Определить коэффициент , функцию распределения случайной ве-
Z
личины WA, вероятность попадания случайной величины в интервал
`)4
, вероятность того, что при четырех независимых испытаниях слу-
чайная величина ни разу не попадет в интервал
`)4
.
Задача 3
Функция WA
задается выражением:
WA
Определить плотность TA и вероятность попадания случайной величины D в интервал )
Задача 4
Системой уравнений определена плотность распределения случайной величины:
)если1A H^
7
A
)если A H^
A)если1 A H `^
)если1A >`(
.
)A H
TA
k
A7l)A >
Определить коэффициент функцию распределения случайной величины WA, вероятность попадания случайной величины в интервал
)
, вероятность того, что при четырех независимых испытаниях слу-
чайная величина ни разу не попадет в интервал
)
.
Задача 5
Функция WA
задается выражением:
)если1A H)4^
A)если1)4 A H^
WA
m
A7)если1 A H^
4)если1A >(
26
Определить плотность TA и вероятность попадания случайной величины D в интервал )
Задача 6
Системой уравнений определена плотность распределения случайной величины:
Определить коэффициент функцию распределения случайной величины WA, вероятность попадания случайной величины в интервал
)
, вероятность того, что при четырех независимых испытаниях слу-
чайная величина ни разу не попадет в интервал
.
TA
(?4)A H
A
)A >
c
(4)
.
27
2. Локальные максимумы и минимумы. Граничные максимумы и ми-
TK
?
K*
K7
@
KhP
NoK
c
)?K*)4
K7)@
Kh
?
)`K*)`
K7)5
Kh
@
)K7)
Kh
Ku>
нимумы.
Задачи линейного программирования
Математический процессор MathCAD справляется с задачами линейного программирования при определении максимума и минимума
функции, находит граничные значения, выполняя упрощения при выполнении задач линейного программирования.
Функции системы математических расчетов MathCAD, решающие
проблемы определения экстремумов:
noKMNMpq1I)ros)ros − позволяет возвратить значения
1ros)ros)B которые обеспечивают функции T максимальный параметр.
Для использования этой функции сначала задается начальное приближение
у каждой неизвестной и, в том случае, когда ограничения заданы, необхо-
димо вначале ввести ключевое слово 1tMrq.
nMMNMpq1I)ros)ros − позволяет возвратить значения
1ros)ros)B которые обеспечивают функции T минимальный параметр.
Для использования этой функции сначала задается начальное приближение
у каждой неизвестной и, в том случае, когда ограничения заданы, необхо-
димо вначале ввести ключевое слово 1tMrq.
Когда решается задача линейного программирования при поиске
экстремума, сначала задается целевая определяющая функция, затем рассматриваются ограничения:
(2.1)
28
При выполнении задания поиска экстремума при помощи функции
TK
?
K*
K7
@
KhP
NoK
noKMNMpq1I)ros)ros:
− записывается функция цели, которую необходимо максимизиро-
вать;
− происходит присвоение первоначальных значений K* K7
Kh ;
− далее записывается система уравнений ограничений с условием
неотрицательности;
− вводится ключевое слово tMrq1vwxy;
− с использованием функции noKMNMpq1I)ros)ros находится
максимум целевой функции;
− выполняется нахождение точек экстремума целевой функции;
− определяется численное значение в точки экстремума целевой
функции.
2.1. Пример выполнения задания
Применяется функция системы noKMNMpq1I)ros)ros математиче-
ских расчетов MathCAD, вычисляется экстремум − возвращаются значения
1ros)ros)B которые обеспечивают функции I максимальный параметр.
В системе MathCAD записывается функция цели, которую необхо-
димо максимизировать
(2.2)
Заполняются начальные значения, заданные примером.
29
c
)?K*)4
K7)@
Kh
?
)`K*)`
K7)5
Kh
@
)K7)
Kh
Ku>
В системе MathCAD вводятся начальные значения (рисунок 2.1), си-
стема ограничений и набирается ключевое слово 1tMrq.
(2.3)
Рисунок 2.1. Ввод исходных данных задачи
Затем осуществляется нахождение максимального значения функции цели
− рисунок 2.2. Ответ при решении нахождения оптимального значения будет выведен в виде матрицы результатов. Подставив полученные численные значения в уравнение функции, можно увидеть результат, при котором
обозначается оптимальное решение функции цели.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]