Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации линейного и нелинейного программирования. Учебное пособие
.pdf
Рисунок 2.2. Вычисление оптимального значения функции
Общий вид документа решения задачи представлен на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3. Общий вид документа решения задачи
31
2.2. Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
K*K7 `
4K*K7 4
c
K*> )111K7>
TK K*K7P NoK1NM
Задача 2
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
K*K7 @
K*K7 5
c
K*> )111K7>
TK K*`K7P NoK1NM
Задача 3
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
`K*K7 `
K*K7@
c
K*> )111K7>
TK K*K7P NoK1NM
Задача 4
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
`K*K7 `
K*K7@
c
> )111K7>
K
*
TK K*K7P NoK1NM
32
Задача 5
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
K*K7
K*K7
m
K*K7 ?
K*> )111K7>
TK K*K7P NoK1NM
Задача 6
Найти, используя встроенные функции процессора MathCAD, экс-
тремумы уравнений способом линейного программирования:
K*K7
K*K7 4
m
K*K7 5
K*> )111K7>
TK @K*K7P NoK1NM
2.3. Матричный вид решения задач линейного программирования
При выполнении задач оптимизации представление условия задачи
предпочтительнее реализовать в виде матрицы. Матричное решение задач
линейного программирования хорошо представляется в системе математического процессора MathCAD. Автоматизированный редактор алгебраических вычислений позволяет быстро выполнять решение, а прекрасный интерфейс представления данных в MathCAD организует процесс расчета визуально понятным математику, далекому от программирования.
noKMNMpq1I)ros)ros и nMMNMpq1I)ros)ros - основные функ-
ции поиска экстремальных значений.
noKMNMpq1I)ros)ros – используется при поиске максимального
значения f, возвращая значения ros)ros. Использование данной функции
33
и ключевого слова tMrq требует указания начального приближения для
TA?1A*
A7@
AhP
/CA
i
(@A*(`
A7(@
Ah
4
(A7(5
Ah
каждой неизвестной системы уравнений и указания ограничений.
nMMNMpq1I)ros)ros – используется при поиске максимального
значения f, возвращая значения ros)ros. Использование данной функции
и ключевого слова tMrq требует указания начального приближения для
каждой неизвестной системы уравнений и указания ограничений.
Нахождение экстремального значения функции в задаче линейного
программирования:
(A* (A
A">
осуществляется в следующем порядке:
Нахождение экстремума с помощью функции
noKMNMpq1I)ros)ros
− указывается функция цели, подлежащая максимизации;
− присваивается начальное значение переменным A* A7 Ah
(Ah
7
(2.4)
;
− обозначается система ограничений и заносятся условия неотри-
цательности;
− ключевое слово tMrq запускает решение задачи;
− для поиска максимума целевой функции – используется функция
noKMNMpq1I)ros)ros;
− находятся точки экстремума функции;
34
− по точкам рассчитывается значение функции.
TK?
K*
K7@
KhP
NoK
c
)@K*)`
K7)@
Kh
4
K*)
K7)5
Kh
)
K*)
K7)
Kh
Ku>111111 ))
2.4. Пример выполнения задания
Система математических расчетов MathCAD хорошо справляется с
нахождением экстремума при использовании матричной формы записи.
В системе MathCAD вводятся начальные значения числа ограничений и числа неизвестных переменных, задается исходная переменная. Затем набирается столбец коэффициентов функции цели в виде вектора раз-
мерностью и матрица размерностью N системы ограничений зада-
чи.
Вектор представляет собой столбец размерностью N правой ча-
(2.5)
сти системы ограничений. Вводится целевая функция 1TK
торой представляются в матричной форме. И происходит обозначение первоначального значения задаваемых переменных. Появляется вектор пер-
вых значений K.
, элементы ко-
35
Рисунок 2.4. Ввод исходных данных в матричной форме
Поиск экстремума в матричной форме приводит так же к заданию
системы ограничений матричными элементами, введению условия неотрицательности, поиску максимума функции цели и определению самой точки
экстремума и значению функции цели в этой точке.
Общий вид документа решения задачи представлен на рис. 2.5.
Задача 1
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
MathCAD:
Рисунок 2.5. Общий вид решения задачи в матричной форме
2.5. Задания для самостоятельной работы
TK ?K*K7@KhP NoK
36
Задача 2
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
MathCAD:
)?K*)4K7)@Kh ?
)`K*)`K7)5Kh @
c
)K7)Kh
Ku>111111 ))
TK @K*`K7?KhP NoK
)K*)`K7)Kh
)K*)K7)Kh 5
c
)K*)`Kh 4
Ku>111111 ))
Задача 3
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
MathCAD:
Задача 4
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
TK `K*4 K7? KhP NoK
)K7)Kh _
)K*)`K7)`Kh
c
)?K*)K7)?Kh `
Ku>111111 ))
MathCAD:
TK `K*4 K7? KhP NoK
37
)K7)Kh _
Задача 5
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
MathCAD:
Задача 6
c
TK @K*`K7_KhP NoK
c
)4K*)`Kh
)?K*)K7)?Kh `
Ku>111111 ))
)K*)Kh
)K7)Kh 5
)5K*)K7)`Kh _
Ku>111111 ))
Найти экстремум, используя матричные формы записи процессора
MathCAD:
TK @@K*`K7_?KhP NoK
)K*)?K7)Kh
c
)@K*)4K7
)5K*)K7)`Kh @
Ku>111111 ))
38
3. Идентификация стационарных точек функции одной переменной
TAl>TA
Функция, которая обладает свойством непрерывности в каждой точ-
ке A
, принадлежащей области определения данной функции, является не-
"
прерывной функцией. Если рассматривать две произвольные точки A* и A
функции (причем A* A
) и на всем протяжении выполнения функцио-
7
7
нальной зависимости соблюдаются неравенства TA* TA7, то функция
является монотонной: монотонно возрастающая функция, если TA*
TA
, и монотонно убывающая функция, если TA* >TA7.
7
Функция TA, описывающая некоторый процесс при исследовании
физических задач, является целевой функцией. Если необходимо рассмат-
ривать определенный отрезок зависимости C A , когда точка A
l
явля-
ется единственной точкой экстремума функции TA на отрезке C A ,
TA представляется унимодальной на данном интервале. Если AlA*
A7, функция соответствует неравенству TAl TA* TA7. Если же
Al> A*>A7, функция соответствует неравенству TAl> TA*> TA7.
Определенная на множестве z функция достигает своего глобально
максимума в точке Al{ z только в том случае, если TAl> TA при всех
A {z. Локальный максимум (относительный максимум) в точке определения функции Al{ z только тогда, если справедливо неравенство TAl>
TA для всех A, удаленных от Al на расстояние меньшее |)| Q . Для всех
l
A , удовлетворяющих условию }AA
}
H|, должно быть выполнено нера-
венство:
(3.1)
Если функция является унимодальной, тогда локальный максимум
автоматически является глобальным максимумом. Если же функция не является унимодальной, то есть возможность наличия нескольких локальных
39
оптимумов, глобальный максимум можно найти только путем нахождения
TA4
A€@
A•
@4
Ag@
Ah
@
всех локальных максимумов и определения наибольшего из них.
3.1. Максимизация нелинейной унимодальной функции
При выполнении задачи необходимо определить максимальное зна-
чение нелинейной функции TA при ограничениях C A . Переменная
A изменяет свое значение в границах C1и1. Рассмотрение значений функ-
ции в заданном интервале приводит к необходимости проверки локального
оптимума не только в стационарных точках, но и в точках, определяющих
границы интервала.
Решение задачи производится следующим образом:
1. Приравнивается
~•
, находятся все стационарные точки.
~O
2. Определяется стационарные точки, которые расположены в интер-
+
вале
C),и сами C1и1 точки , находящиеся на границах интервала.
3. Находятся наибольшие значения функции в точках, вычисленных
ранее. Полученное значение будет соответствовать глобальному максимуму.
4. При необходимости определения глобального минимума алгоритм
выполнения задачи идентичен, но находится минимум функции.
3.2. Пример выполнения задания
Рассматривается функция, определенная на всей оси. Находятся стационарные точки, и они классифицируются.
40
(3.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]