Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки данных в научных исследованиях. Учебное пособие
.pdf
ный на движении кадра вдоль волновой формы сигнала с последу-
ющим наложением оконной функции h в окрестности времени t.
Данный метод в общем виде описывается формулой:
j
(, , ) ( ) ( ) .
St h x h te d
Рис. 29. Нестационарный сигнал s и оконная функция h
Рис. 30. Частотно-временной
анализ сигналов на основе
накопления реализаций крат-
ковременного преобразования
Фурье
Результат работы программы спектрального анализа сигнала типа «Радио
импульс» на основе кратковременного преобразования
Фурье представлен на
рис. 30.
Таким образом, применяя алгоритм кратковременного спектрального
анализа на основе преобразования Фурье, мы получаем локальный спектр в пределах кадра (окна).
61
7.2. Преобразование Вигнера — Вилля
x
Для входного сигнала s(t), имеющего соответствующий аналитически сопоставленный комплексный сигнал x(t), распределение
Вигнера — Вилля (Wigner-Ville Distribution — WVD) WVDx(t,ω)
определяется формулой ниже. Оно впервые было использовано
американским физиком-теоретиком Юджином Вигнером при решении задач квантовой механики и позднее улучшено Жаном-Андре
Виллем, применившим данное преобразование в обработке сигналов и спектральном анализе.
(, ) ( ) ( ) ,
WVD t x t x t e d
где x(t) — комплексный аналитический сигнал и x*(t) — комплексный комплексно-сопряженный аналитический сигнал, соответствующие реальному входному сигналу s(t); ω — круговая частота
(ω = 2πf).
Внешне формула напоминает преобразование Фурье, однако
вместо преобразования исходного сигнала s(t) ядро WVD содержит
автокорреляцию определенного вида
x
() () (),
tstistH
*
22
j
где
H[s(t)] — преобразование Гильберта сигнала s(t). Аналитиче-
ское сопоставление реального входного сигнала s(t) и аналитического x(t) проводится по представленной формуле.
Преобразование Гильберта иногда называют «квадратурным
фильтром», преобразованный сигнал — «квадратурным сигналом», поскольку преобразование вызывает сдвиг фаз: четырехкратное применение преобразования возвращает сигнал к первоначальному виду, таким образом, каждое преобразование вызывает сдвиг фаз на π/2.
нением сигнала s(t) и обозначают s
и мнимой части сигнала представлены на рис. 31.
Результат расчета преобразования Вигнера — Вилля входного
сигнала приведен на рис. 32.
H[s(t)] также называют ортогональным допол-
(t). Осциллограммы реальной
орт
62
Рис. 31. Реальная и мнимая часть аналитического сигнала,
реальная часть соответствует входному сигналу,
мнимая — его ортогональному дополнению
Рис. 32. Результат пре-
образования Вигнера
— Вилля входного
сигнала s(t)
Преобразование
Вигнера — Вилля
дает представление
о моменте вступления сигнала с определенной частотой,
однако две точки
частотно-временной
области порождают
третью, расположенную между ними. Возникающая
мнимая часть называется интерференцией. Ее наличие не
позволяет анализировать результат
в случае обработки естественного сигнала, например сейсмического
или вибрационного воздействия. Для решения данной задачи используют наложение временных окон, такое преобразование называется псевдопреобразованием Вигнера — Вилля.
63
7.3. Псевдопреобразование Вигнера — Вилля
Применение псевдопреобразования Вигнера — Вилля (PWVD)
можно расценивать как сглаженное WVD-преобразование. Математическое описание PWVD выражается формулой
(, ) ( ) ( ) ( ) .
WVD t h x t x t e d
x
*
22
j
Результат применения PWVD представлен на рис. 33.
Рис. 33. Результат псев-
допреобразования
Вигнера — Вилля
входного сигнала s(t)
Таким образом,
PWVD-преобразование
решает проблему возникновения интерференции во временной
области и позволяет
детектировать время
вступления волны. Однако не решает проблему возникновения
интерференции в частотной области.
Данное явление демонстрируется на примере анализа частотномодулированного сигнала с линейной разверткой по частоте —
осциллограмма сигнала представлена на
рис. 34.
64
Рис. 34. Осциллограмма частотно-модулированного сигнала
Рис. 35. Результат
преобразования
Вигнера — Вилля
частотно-модулированного
игн
Рис. 36. Результат
псевдопреобразование
Вигнера — Вилля
частотно-модулированного
сигнала
65
Для предотвращения интерференции применяется два метода.
Использование «Сглаживающего псевдопреобразования
1.
Вигнер — Вилль». Отличительной особенностью данного преобразования является наложение оконной функции не только во временной области, но и в частотной. Отличия демонстрируются на
рис. 35 и 36.
Составление аналитического сигнала таким образом, чтобы
2.
«захватить» небольшую частотную полосу сигнала, которую необходимо проанализировать с высоким разрешением по частоте
(рис. 37).
Рис. 37. Результат преобразования Вигнера — Вилля
с уменьшенным эффектом интерференции
66
8. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
F
Вейвлет-преобразование похоже на преобразование Фурье (или
гораздо больше на оконное преобразование Фурье), но имеет совершенно иную оценочную функцию. Основное различие лежит
в следующем: преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т. е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование
использует функции, локализованные как в реальном, так
и в Фурье-пространстве. В общем, вейвлет-преобразование может
быть выражено следующим уравнением:
(,) () () ,
ab f x xdx
*
ab
(,)
где * — символ комплексной сопряженности и функция; ψ — некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольным образом, но она должна удовлетворять определенным правилам.
Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от
оценочной функции, использованной для его расчета. Это основная
причина, почему термин «вейвлет-преобразование» употребляется
в весьма различных ситуациях и для разных применений. Также
существует множество типов классификации вариантов вейвлетпреобразования. Здесь мы покажем только деление, основанное на
ортогональности вейвлетов. Можно использовать ортогональные
вейвлеты для дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами.
Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор дан-
1.
ных той же длины, что и входной. Обычно даже в этом векторе
многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он
раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или
меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество
точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр весьма хорош для
67
обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем
x
здесь избыточной информации.
Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает
2.
массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости «время —
частота». Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение его длительности и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный
набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.
8.1. Дискретное вейвлет-преобразование
Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) — реализация
вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора
масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определенным правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлетпреобразования (CWT), или его реализации для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлетпреобразованием дискретного времени (DT-CWT).
Вейвлет может быть сконструирован из функции масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение состоит в том, что функция масштаба должна быть ортогональна
к своим дискретным преобразованиям, что подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т. е. уравнение гомотетии
() ( ),
где S — фактор масштаба (обычно выбирается как 2). Более того,
площадь под функцией должна быть нормализована, функция
масштабирования — ортогональна к своим численным переносам, т. е.
aS k
kx
k
68
()( ) .
xxldx
0,
l
После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному
решению) мы можем получить результат всех этих уравнений, т. е.
конечный набор коэффициентов a
, которые определяют функцию
k
масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как N, где N — четное целое. Набор
вейвлетов затем формирует ортонормированный базис, который
мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что
обычно только несколько коэффициентов a
будут ненулевыми,
k
что упрощает расчеты.
На рис. 38–40 показаны некоторые масштабирующие функции
и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных
вейвлетов является семейство Добеши. Его вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов a
, таким образом,
k
мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6 и т. п. Грубо
говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлета функции
становятся более гладкими. Это явно видно при сравнении вейвлетов Добеши 4 и 20, представленных ниже. Другой из упомянутых
вейвлетов — простейший вейвлет Хаара, который использует
прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.
Существует несколько видов реализации алгоритма дискретного вейвлет-преобразования. Самый старый и наиболее известный — алгоритм Малла (пирамидальный). В этом алгоритме два
фильтра (сглаживающий и несглаживающий) составляются из коэффициентов вейвлета, и эти фильтры рекуррентно применяются
для получения данных для всех доступных масштабов. Если ис-
N
пользуется полный набор данных D = 2
сначала рассчитываются данные D/2 для масштаба L/2
данные (D/2)/2 для масштаба L/2
N–2
и длина сигнала равна L,
N–1
, затем
и т. д., пока в конце не получится 2 элемента данных для масштаба L/2. Результатом работы
этого алгоритма будет массив той же длины, что и входной, где
данные обычно сортируются от наиболее крупных масштабов
к наиболее мелким.
69
Рис. 38. Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева)
и их частотные составляющие (справа)
Рис. 39. Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева)
и их частотные составляющие (справа).
Рис. 40. Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева)
и их частотные составляющие (справа)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]