Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология системного исследования. Учебное пособие
.pdf
151
неопределенност и, от раж ающая возмож ност ь появления и значимост ь для
ЛПР ущерба в результ ат е последст вий выбранного решения.
В целом, в зависимости от характера ЛПР, в неопределенных операциях
чаще всего применяются следующие критерии:
● Лапласа;
● среднего выигрыша;
● осторожного игрока (максиминный критерий Вальда);
● оптимистичного игрока (максимаксный критерий);
● взвешенного оптимизма (критерий Гурвица);
● минимального риска (критерий Сэвиджа).
Рассмотрим перечисленные критерии и сравним результаты их
использования на конкретном примере.
1. Критерий Лапласа. Этот критерий базируется на широко известном
предположении: если вероятности ожидаемых состояний обстановки
неизвестны, следует считать их равновероятными. Тогда оценка эффективности
системы будет:
Оптимальной следует признать систему, для которой:
2. Критерий среднего выигрыша. Основу этого критерия составляет
предположение: если о состояниях обстановки ничего неизвестно, то
вероятности этих состояний
Эффективность систем оценивается как математическое ожидание (среднее
ожидаемое значение) оценок эффективности по всем состояниям обстановки:
Оптимальной будет признана система с эффективностью
K
3. Критерий Вальда. Этот критерий, иначе называемый
максимина
гарантирует определенный выигрыш при наихудшем состоянии обстановки или
наилучший из худших результ ат ов
при неизвестном априори состоянии обстановки следует «закладываться» на
K
(
a
K
опт
опт
=
=
) = 1/n ∑
i
max
max
(1/n ∑
i
K
(∑
pi k
i
k
(i = 1,…, m). (8.4)
ij
k
) (i = 1,…, m). (8.5)
ij
p
следует задать или, попросту говоря, угадать.
i
(
a
) = ∑
pi k
i
) (i = 1,…, m). (8.7)
ij
ij
, выбирает так называемый
. В основе критерия Вальда лежит принцип:
(i = 1,…, m). (8.6)
крит ерием
ост орож ный наблюдат ель
, поскольку он
152
худший вариант развития событий, т.е. ориентироваться на минимальную
эффективность каждой системы. При этом выбираться должна система с
максимальным
значением
минимальной
эффективности. В этом и состоит
сущность критерия максимина.
В каждой строке матрицы эффективности выделяется минимальная
оценка конкретной системы по всем состояниям обстановки
K
(
a
) =
i
minj k
(i = 1,…, m; j = 1,…, k). (8.8)
ij
Оптимальной по этому критерию признается система с максимальным
значением минимальной эффективности:
K
опт
=
max
(
minj k
i
) (i = 1,…, m; j = 1,…, k). (8.9)
ij
Выбор критерия Вальда направлен на исключение любых элементов риска
при принятии решения. Однако продолжением этого достоинства является
очевидный недостаток пессимистической по сути оценки ожидаемой ситуации.
4. Критерий максимакса или «неограниченного оптимизма».
Сторонник использования этого критерия выберет в каждой строке матрицы
эффективности систему с максимальным значением эффективности, а
оптимальной посчитает систему с наибольшим значением максимума. Как и
полагается оптимисту, он будет ожидать, что состояние обстановки окажется
самым удачным, т.е. именно таким, какому соответствует выбранная система.
Поэтому для него:
i
maxj k
(i = 1,…, m; j = 1,…, k) и (8.10)
ij
K
(
a
) =
K
опт
=
max
(
maxj k
i
) (i = 1,…, m; j = 1,…, k). (8.11)
ij
Естественно, сторонники выбора критерия максимакса обладают
азартным характером и рискуют в наибольшей степени. Следует, правда,
отметить, что иногда возникают такие жизненные ситуации, что приходится
отбросить всяческую осторожность – «или пан, или пропал».
5. Критерий взвешенного оптимизма (Гурвица). Нередко этот критерий
называют критерием обобщенного максимина. Важное достоинство этого
критерия состоит в возможности регулировать соотношение оптимизма и
пессимизма, принимая взвешенные решения.
С этой целью в рамках применения критерия вводится коэффициент
оптимизма
ω
, определенный в интервале значений 0≤ ω ≤1. Этот коэффициент
отражает соотношение азарта и осторожности ЛПР. Эффективная система
153
выбирается в результате процедуры
оценок
с помощью коэффициента ω.
взвешивания максимальной и минимальной
K
(
a
) =
ω maxj k
i
+ (1 – ω)
ij
minj k
(8.12)
ij
Оптимальной будет признана система с максимальным значением
взвешенного критерия:
K
=
maxi ω[maxj k
опт
+ (1 – ω)
ij
minj k
], 0≤ ω ≤1. (8.13)
ij
Очевидно, что при
максимина Вальда, при
ответственной процедурой является определение значения коэффициента
ω =
0 критерий Гурвица трансформируется в критерий
ω =
1 – в критерий максимакса. Поэтому весьма
ω
Нередко оно устанавливается средствами экспертного оценивания. На практике
значения
ω
, как правило, выбираются в диапазоне 0,3÷ 0,7.
6. Критерий минимального риска (Сэвиджа). Этот критерий, так же,
как и критерий Вальда, относится к критериям осторожного игрока. Правда,
считается, что он несколько более оптимистичен, чем критерий Вальда. По
своей сути он отражает
сож аление
игрока по поводу того, что выбранная
система не оказалась наилучшей при наступившем состоянии обстановки. Для
проведения оценок по этому критерию привычная матрица эффективности
(таблица 2.5) преобразуется в матрицу потерь (риска). Каждый элемент
матрицы риска вводится как разность между максимальным и текущим
значением эффективности в столбце:
Δ
k
ij
=
maxi k
-
k
ij
.
ij
Далее по отношению к матрице риска применяется критерий минимакса, а
именно:
K
(
a
) =
max
Δ
k
i
. (8.14)
j
ij
Оптимальной признается система с минимальным значением потерь (риска).
K
опт
=
min
(
i
max
Δ
k
). (8.15)
j
ij
Итак, оценивание эффективности систем в условиях неопределенности
может проводиться по различным критериям. Выбор определенного критерия
зависит от ряда факторов. Укажем на основные из этих факторов:
● характер ЛПР (склонность к риску или наоборот осторожность);
.
154
● источник неопределенности (нейтральная природа или сознательное
a
k
k
k
k
k
a
0,5
0,3
0,1
0,2
a
0,2
0,1
0,6
0, 3
a
0,3
0,4
0,2
0,2
активное противодействие);
● цель и значимость операции (допустим ли определенный риск или
необходим гарантированный результат).
Ясно, что от выбора конкретного критерия существенным образом
зависит принимаемое решение, поэтому в одной и той же ситуации разные ЛПР,
руководствуясь разными критериями, предпочтут разные системы.
Проиллюстрируем это на примере. Пусть имеется три системы и
возможны четыре состояния обстановки. Построим
мат рицу эффект ивност и
с
произвольно взятыми значениями оценок эффективности (таблица 9).
Таблица 9
Матрица эффективности
i
1
1
2
3
2
j
3
4
Применим последовательно приведенные выше критерии.
1.По критерию Лапласа:
K
K
(
a
) = 0,25 (0,5+0,3+0,1+0,2) = 0,275;
1
K
(
a
) = 0,3;
2
(
a
) = 0,275.
3
Оптимальное решение – выбор
сист емы a
.
2
2. По критерию среднего выигрыша зададим следующие вероятности
наступления возможных состояний обстановки:
p
= 0,4;
1
K
Оптимальное решение – выбор
K
K
(
a
(
a
p
= 0,2;
2
(
a
) = 0,4∙ 0,5+0,2∙ 0,3+0,1∙ 0,1+0,5∙ 0,2 = 0,37;
1
) = 0,31;
2
) = 0,31
3
p
= 0,1;
3
p
= 0,5. Тогда:
4
сист емы a
.
1
3.По критерию Вальда:
K
(
a
) =
min
1
K
(
a
) = 0,1;
2
K
(
a
) = 0,2
3
Оптимальное решение – выбор
(0,5; 0,3; 0,1; 0,2) = 0,1;
сист емы a
.
3
155
4.По критерию максимакса:
a
k
k
k
k
k
a
0
0,1
0,5
0,2
a
0,3
0,3 0 0
a
0,2
0
0,4
0,2
K
(
a
) =
max
1
K
(
a
) = 0,6;
2
K
(
a
) = 0,5
3
Оптимальное решение – выбор
5. По критерию Гурвица (зададим значение коэффициента
K
(
a
) = 0,6∙0,5 + ( 1 – 0,6)∙0,1 = 0,34;
1
a
) = 0,4;
2
a
) = 0,38
3
K
K
(
(
Оптимальное решение – выбор
(0,5; 0,3; 0,1; 0,2) = 0,5;
сист емы a
сист емы a
.
2
ω
= 0,6):
.
2
6. Для выбора по критерию Сэвиджа построим матрицу риска:
Матрица риска
Таблица 10
i
1
1
2
3
2
j
3
4
Тогда:
K
(
a
)
= max
1
K
(
a
) = 0,3;
2
K
(
a
) = 0,2.
3
Оптимальное решение – выбор
(0; 0,1; 0,5; 0,2) = 0,5
сист емы a
.
3
Таким образом, выбор того или иного критерия, в частности, выбор
коэффициента оптимизма для критерия Гурвица, существенным образом влияет
на результаты оценивания. В свою очередь, на выбор критерия оказывает
влияние целый ряд факторов – от природы неопределенности до характера
лица, принимающего решение.
Обобщим для удобства сравнения результаты оценивания эффективности
а*
систем (таблица 11). Символом
будем отмечать системы, оптимальные по
соответствующим критериям.
Как нетрудно убедиться, по мере последовательной перемены критериев
все системы побывали в статусе оптимальных, что убедительно свидетельствует
о сложности и неоднозначности выбора конкретного критерия. Поэтому при
156
анализе и синтезе сложных систем тип критерия должен быть заранее оговорен,
Лапласа
Среднего
выигрыша
Вальда
Максимакса
Гурвица
Сэвиджа
а
а*
а
а*
а*
а*
а
а*
а*
согласован с заказывающей стороной и считаться заданным.
Наличие совпадений результатов выбора по нескольким критериям, т.е.
признак устойчивости выбранного решения, дает основание считать это
решение
рациональным
. В случае отсутствия совпадений (при конкуренции
альтернатив) возможно применение процедур мажоритарной обработки
результатов оценивания по простому большинству голосов заинтересованных
лиц или привлеченных экспертов.
Таблица 11
Сравнение результатов оценивания
Альтернативы
1
2
3
Оценки эффективности по критериям
8.4. Выбор в игровых ситуациях
Решение многих практических задач связано с необходимостью анализа
ситуации, в которых сталкиваются две (или более) противоборствующие
стороны, преследующие собственные цели, причем результат любых действий
каждой из сторон зависит от образа действий, выбранных противником. Именно
такие ситуации и носят название
средством разрешения конфликтных ситуаций считается методология
игр
.
конфликт ных
. Наиболее эффективным
т еории
Классификация видов игр, как и любая классификация, зависит от выбора
признака классификации: по числу игроков, по количеству возможных
стратегий, по свойствам функции выигрыша, по наличию или отсутствию
возможности предварительных переговоров и взаимодействия между
участниками игры (игроками) в процессе игры.
В зависимости от количества игроков различают игры с двумя, тремя и
более участниками
По числу стратегий игры могут быть конечные и бесконечные. В
конечных
стратегий, в
ограничено. Примером конечной игры может служить игра в орлянку, когда
играх игроки располагают ограниченным выбором числа возможных
бесконечных
играх количество возможных стратегий не
157
выбор ограничен двумя стратегиями, примером бесконечной игры – ситуация
«продавец – покупатель», когда каждый игрок может называть любую цену
товара.
Важным отличительным признаком игры является характеристика
функции выигрыша
(платежной функции). Так, если выигрыш одного из
игроков равен проигрышу другого, т.е. очевиден конфликт между игроками,
игры называются
ант агонист ическими
или
играми с нулевой суммой
Противоположная ситуация, когда игроки и выигрывают, и проигрывают
сообща и поэтому, для них выгодно сотрудничать, соответствует
пост оянной разност ью
множество возможных игр с
. Между этими крайними случаями существует
ненулевой суммой
, в которых имеют место и
игре с
антагонистические, и согласованные действия игроков.
Игры, условия которых допускают предварительные переговоры между
игроками, принято называть
такая возможность исключается –
кооперат ивными
некооперат ивными
, и наоборот, игры, в которых
. Как видим, все
антагонистические игры относятся к некооперативным играм.
Введем основные понятия и определения теории игр.
Игры, в которых целью игроков является максимизация выигрыша
коалиции (коллектива игроков) без его последующего разделения между
игроками, называются
коалиционными
. Игры, в которых действия каждого
игрока направлены на достижение максимального индивидуального выигрыша,
носят название
Для формализации понятий обозначим символом
бескоалиционных
.
I
множество всех
игроков, которое будем считать конечным. Игроков принято различать по
номерам, поэтому считаем
I
={1,2,…, n}.
Бескоалиционная игра. Пусть каждый игрок i ∈ I располагает некоторым
S
множеством
выбирает для себя ту или иную стратегию
складывается система стратегий
Множество всех ситуаций есть произведение всех
ситуации
ситуаций и называется функцией выигрыша
стратегий (возможных действий). В процессе игры каждый игрок
i
s
∈
S
. В ходе каждой партии игры
i
), которая называется
n
S
. Выигрыш i-го игрока в
i
сит уацией
го игрока.
s
обозначим
s
= (
R
(s). Функция
i
s
, s2,
1
i
…,
s
R
определяется на множестве всех
i
i-
С учетом этих обозначений бескоалиционной игрой является кортеж
(тройка):
В
=˂ I ,{
S
},{
i
R
}˃, (8.16)
i
где
I
,{
S
} – множества, а
i
действительные значения.
R
– функции на множестве, принимающие
i
Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной суммой, если
существует C=const, такая, что
∑
R
(s) = С ∀s∈ S . (8.17)
i
.
.
158
Ситуация, складывающаяся в игре, называется приемлемой для i-го
игрока в случае, если изменив свою стратегию на какую-либо другую, он не
сможет увеличить свой выигрыш.
называется
равновесной сит уацией
Ситуация, приемлемая для всех игроков,
(или
сит уацией равновесия
). В равновесных
ситуациях (и только в них) ни один игрок не заинтересован в отклонении от
своей стратегии.
Равновесной ст рат егией игрока
в бескоалиционной игре
называется такая его стратегия, которая входит хотя бы в одну из равновесных
ситуаций игры.
Процесс нахождения равновесной ситуации в бескоалиционной игре
принято называть
решением игры
.
Матричные игры. Антагонистические игры, в которых каждый игрок
имеет конечное множество стратегий, называются
Стратегии игроков в таких играх принято называть
мат ричными играми
чистыми стратегиями
Процесс в матричной игре выглядит следующим образом. Задается матрица
.
.
потерь (платежей
) А= ǁ
1 и 2 независимо друг от друга выбирают свои чистые стратегии
того, как выбор сделан, элемент матрицы
(проигрыша) игрока 1, если он применяет чистую стратегию
чистую стратегию
а
ǁ , подобная изображенной в виде таблицы 2.8. Игроки
ij
А
отражает размер выигрыша
β
. Ситуацию в матричной игре составляет пара (
j
α
и
β
. После
i
j
α
, а игрок 2 –
i
α
,
β
).
i
j
Для того, чтобы ситуация в матричной была равновесной, необходимо и
достаточно, чтобы
max
(
minj а
i
) =
ij
min
(
maxi а
j
). (8.18)
ij
Равновесные стратегии игроков в антагонистической игре являются их
опт имальными ст рат егиями
соответствии с
max
(
minj а
i
. Выбор игроком 1 оптимальной стратегии в
) дает ему выигрыш, не меньший, чем значение игры
ij
независимо от действий игрока 2. Соответственно, выбор игроком 2
оптимальной стратегии в соответствии с
min
(
maxi а
j
), в любом случае принесет
ij
ему проигрыш, не больший, чем значение игры, определяемое общим
значением
max
(
minj а
i
ij
) и
min
(
maxi а
j
ij
).
Таким образом, исход матричной игры по существу оказывается
предопределенным, поскольку зависит только от условий игры, определяемых
заданием матрицы
А
.
Кооперативные игры. Кооперативной игрой называется игра с
ненулевой суммой, по условиям которой игрокам разрешается образовывать
коалиции, т.е. обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о
совместных действиях. Основная цель кооперативной игры состоит в дележе
общего выигрыша между членами коалиции. Наиболее сложной задачей
оказывается именно дележ выигрыша. Кооперативные игры, в которых
159
возможен раздел суммарного выигрыша в любых пропорциях, получили
название игр с
т рансферабельной полезност ью
.
Идеальным решением кооперативной игры с трансферабельной
полезностью принято считать следующее решение:
а) оно существует в любой игре;
б) с ним вынужден будет согласиться любой игрок;
в) оно предполагает минимальное множество дележей.
Следует подчеркнуть, что законченной теории кооперативных игр до
настоящего времени не создано. Считается, что для этого необходима
разработка новых, более совершенных понятий конфликтного равновесия, не
требующих от игроков каких-либо искусственных норм поведения.
Завершая обсуждение проблемы принятия решений в условиях
неопределенности, сделаем одно замечание общего характера. При выборе
решений необходимо отдавать себе отчет в том, что снять неопределенность
полностью невозможно в принципе. Поэтому слишком высокие требования к
точности решения таких задач окажутся неуместными.
Целесообразно выделить определенную область приемлемых решений,
которые окажутся несущественно хуже других независимо от выбранного
подхода. Как видим, речь идет о выделении множества Парето, т.е. множества
несравнимых альтернатив. Именно в пределах этого множества и должен
производиться окончательный выбор решения лицами, ответственными за этот
выбор, т.е. ЛПР.
Следует, однако, заметить, что в ходе проведения исследования и
собственно операции выбора некоторые неопределенные случайные факторы
могут стать известными, что, безусловно, должно быть использовано на этапе
принятия решения.
8.5. Информационные системы поддержки принятия решений
Жизнедеятельность современного человека протекает в условиях
информационного общества, для которого характерно стремительное развитие
информационных технологий и их внедрение в самые разнообразные сферы
жизни.
Наиболее актуальной задачей современного этапа информационной
революции становится задача
деят ельност и
, в первую очередь принятия решений в условиях неполной
авт омат изации инт еллект уальной
определенности.
Усложнение процессов управления крупными организационными
структурами, носящее объективный характер, приводит к необходимости
решения следующих проблем:
- повышение оперативности управления;
- снижение трудозатрат ЛПР на выполнение второстепенных процедур;
160
- повышение степени научной обоснованности принимаемых решений.
В процессе приятия решений ЛПР выполняет упорядоченную
последовательность процедур, относящихся к трем группам функций:
● функций обмена сообщениями (информацией) {
● рутинные (вспомогательные) функции обработки сообщений {
f
};
о
f
};
р
● функции принятия решений, состоящего в преобразовании содержания
сообщений (информации) {
Группа функций {
f
}.
с
f
} связана с доведением принятых решений до объекта
о
управления и принятием от него сообщений о его текущем состоянии.
К функциям {
f
} рутинного преобразования относятся учет (регистрация),
р
хранение, поиск, копирование, тиражирование, каталогизация данных и тому
подобные операции. Следует подчеркнуть, что эта группа функций никоим
образом не связана с содержательной обработкой информации, т.е. изменяя
форму ее представления, не изменяет ее смысл.
Функции принятия решений {
f
} представляют собой порождение новой
с
по отношению к прежним решениям информации, реализуемое при решении
задач анализа состояния объекта управления, планирования прогнозирования,
оперативного управления, организации и координации. Решение этих задач
связано с постоянным анализом динамически изменяющейся ситуации
(состояния объекта управления и обстановки), порождением множества
альтернативных решений в каждом цикле управления и выбором оптимального
по тем или иным критериям решения. Это требует выполнения аналитических
расчетов, логических процедур, а также привлечения эвристических методов.
Эта группа функций, бесспорно, является главной, поскольку требует от
ЛПР высокой квалификации и немалого опыта. Поэтому автоматизация этих
функций представляет собой чрезвычайно актуальную научно-техническую
проблему. Основные направления ее решения связаны с сокращением времени,
затрачиваемого на выполнение как рутинных операций (сбор, поиск, выборка,
предварительная обработка, оформление и размножение документов), так и
творческих процедур (решение расчетных, логических и эвристических задач и,
конечно же, собственно выбор управляющего воздействия).
В первую очередь представляется целесообразным освободить ЛПР
высших уровней от рутинных операций и трудоемких расчетов, выполняемых
«вручную». В дальнейшем основное внимание должно сосредоточиться на
использовании компьютерных технологий для ускорения выбора оптимальных
решений «в сотрудничестве» с человеком, ответственным за принятие таких
решений.
Сегодня создание систем поддержки принятия решений (СППР)
базируется на концепции ее ориентации на конкретного пользователя (ЛПР).
Основу такой концепции составляет признание того факта, что процесс
принятия решений в условиях неполной определенности носит
характ ер
. Что это означает? Если в одних и тех же условиях различные ЛПР
субъект ивный
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]