Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология системного исследования. Учебное пособие
.pdf
111
нет. В ней также приняты только такие алгоритмы измерения, которые
различимым состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а
неразличимым состояниям – одинаковые обозначения. С позиций математики
это означает, что состояния объектов и их обозначения должны удовлетворять
аксиомам эквивалент ност и
1) рефлексивности (
2) симметричности (если
3) транзитивности (если
Отметим, что здесь символ «=» обозначает отношение эквивалентности,
которое при числовых значениях
Рассмотрим основные типы качественных (слабых) и количественных
(сильных) шкал.
:
А=А
);
А=В
,то
А=В
и В=С , то
А,В
В= А
);
А=С
).
и С трансформируется в равенство.
1. Шкалы номинального т ипа
Если измерение состоит в том, чтобы определить принадлежность
результата к тому или иному классу эквивалентности и зафиксировать это с
помощью символа, обозначающего этот класс, то это будет измерение,
проведенное на номинальной шкале
Номинальная шкала
классификационной шкалой, на которой эмпирическим объектам или их
неразличимым группам присваивается определенный признак. Множество шкал
номинального типа задается множеством взаимно однозначных допустимых
шкальных значений. Поэтому основное свойство таких шкал – сохранение
отношений равноправия между элементами эмпирической системы при
переходе от одной эквивалентной шкалы к другой.
Признак, задаваемый на номинальной шкале, дает объектам независимые
друг от друга имена, которые либо совпадают, либо различаются. Поэтому
шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе
проверки выполнения отношения равноправия (равенства) на множестве этих
объектов. Это означает, что на номинальных шкалах может выполняться
простейший вид измерений, при котором шкальные значения используются
только как имена (наименования) объектов, что дает основание называть их
шкалами наименований.
Для обозначения классов могут использоваться слова естественного языка
(географические названия, имена и фамилии), определенная символика (гербы и
флаги государств, эмблемы, логотипы и т.д.), регистрационные номера.
Примерами использования номинальных шкал могут служить коды городов,
номера телефонов, автомашин и т.п.
При статистических измерениях номинальная шкала позволяет
подсчитывать частоту встречаемости разных наименований объектов или
(шкала наименований), по сути своей является
112
значений их определенных характеристик для последующей обработки с
помощью математических методов.
Цель соответствующих измерений состоит в выявлении различий между
объектами разных классов. Если классы состоят каждый из одного объекта, то
номинальная шкала используется для различения объектов. Если при этом двум
или нескольким объектам поставлено в соответствие одно и то же шкальное
значение (цифра, но не число), то эти объекты признаются неразличимыми.
В случаях, когда природа наблюдаемых признаков позволяет не только
отождествлять их с определенными классами эквивалентности, но и сравнивать
их между собой, для измерения целесообразно использовать более сильную
шкалу. По этому признаку за номинальной шкалой следует ранговая
(порядковая) шкала.
2.
Ранговые шкалы
Качественная шкала называется
множество Φ состоит из монотонно возрастающих допустимых преобразований
шкальных значений. Монотонно возрастающим является преобразование φ(
удовлетворяющее условию: если
шкальных значений из области определения φ(
не только различение объектов, но и их упорядочение по степени проявления
измеряемых свойств.
ранговой
х
>
1
х2 ,
шкалой (шкалой порядка), если
x
) ,
то и φ(
x
). Ранговый тип шкал допускает
x
) > φ(
1
x
) для любых
2
Для ранговой шкалы результаты измерений, кроме трех аксиом
эквивалентности, должны дополнительно удовлетворять двум
упорядоченност и
4) если
5) если
Этими аксиомами задается шкала
В случае, когда аксиомы (4 – 5) принимают вид:
4*) либо
5*) если
то им соответствует шкала квазипорядка (нестрогого порядка).
Ранговые (порядковые) шкалы широко используются при проведении
измерений в условиях неопределенности экспертными и другими
качественными методами, когда целью измерения является ранжирование
ограниченного множества объектов (см. разделы 5.7. – 5.9.)
Результат измерения на ранговой шкале не определяет интервалов между
шкальными значениями объектов (классов), но устанавливает возрастающую
или убывающую
наблюдения, зафиксированные в такой шкале,
нельзя проводить не только арифметические действия, но и вообще любые
:
А
≠ В, то либо А ˃ В, либо В ˃ А;
А ˃ В
и В ˃ С, то А ˃
С.
совершенного (ст рогого) порядка
А
≥ В, либо В ≥ А;
А
≥ В и В ≥ С, то А ≥
последоват ельност ь
С,
. Важно помнить, что результаты
не являют ся числами
аксиомам
.
. Над ними
113
действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не
нарушающих ее порядковый статус. Допустимые операции над ранговыми
шкалами (шкалами порядка) вытекают из отношений
предпочт ения
, т.е. представляют собой операции проверки выполнимости этих
эквивалент ност и
и
отношений.
Рассмотрим эти ограничения на примере хорошо известной шкалы
твердости Ф.Мооса, в основу которой положено классическое отношение
порядка (минерал
А
тверже минерала В). В шкале Мооса установлено 10
градаций твердости, каждой из которых соответствует в качестве эталона
определенный минерал: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальцит, 4 – флюорит, 5 –
апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.
Несмотря на числовой характер градаций (классов эквивалентности),
числами они не являются. Нельзя, в частности, говорить, что топаз в два раза
тверже флюорита, или, что разница в твердости между алмазом и топазом такая
же, как между апатитом и кальцитом. Более того, минералов в природе гораздо
больше, чем число градаций, а промежуточных единиц градаций твердости
шкала не имеет. Следовательно, шкала Мооса устанавливает искусственно
введенные отношения нестрогого порядка на множестве.
Другими примерами ранговых шкал могут служить шкалы силы ветра,
интенсивности землетрясений, сортности товаров (в торговле) и т.п.
Шкалами номинального и рангового типов ограничивается класс слабых
(качественных) шкал. Перейдем теперь к рассмотрению класса сильных
(количественных) шкал.
3. Шкалы инт ервалов
Если при упорядочении объектов известны расстояния между любыми
двумя значениями и эти расстояния не зависят от выбора начала отсчета и
единиц измерения, то мы используем
Этот тип шкал содержит шкалы, единственные с точностью до
множества допустимых линейных преобразований вида φ(
масштаб шкалы,
b
- начало отсчета, х – шкальное значение; а > 0; b – любое
значение.
Основное свойство этих шкал состоит в сохранении неизменных
отношений интервалов при переходе от одной шкалы к другой:
шкалу инт ервалов
.
х
) =
ax
+
b
, где
а
–
х
–
х
/
х
–
х
= φ(
x
1
2
3
4
) > φ(
1
x
2
) / φ(
x
) > φ(
3
x
) =
4
const
. (6.1)
Шкалы интервалов, так же как номинальные и ранговые шкалы,
сохраняют различие и упорядоченность измеряемых объектов (альтернатив), но,
114
кроме этого, они
сохраняют от ношение разност ей шкальных значений
. Иными
словами, запись
означает, что расстояние на шкале между
между
х
и
х
3
, и на любой эквивалентной, т.е. тоже интервальной шкале это
4
х
–
х
х
–
х
=
1
/
2
3
К
4
х
и
х
2
в
1
К
раз больше расстояния
(6.2)
отношение будет оставаться неизменным.
Подчеркнем, что в интервальной шкале только интервалы имеют смысл
настоящих чисел и только над ними можно выполнять любые арифметические
операции. При проведении таких операций над самими шкальными значениями,
как правило, получаются бессмысленные результаты – в силу относительности
этих значений.
Например, интервальными являются шкалы температур: переход от одной
шкалы к другой эквивалентной (например, от шкалы Цельсия к шкале
Фаренгейта) задается линейным преобразованием с изменением как начала
отсчета (параметр
b
), так и масштаба измерений (параметр а): t ˚F = 1,8 t ˚C + 32.
Однако, если сказать, что при нагреве воды от 10 до 20 градусов (по Цельсию)
ее температура увеличилась вдвое, то, скажем для американцев (привыкших
использовать шкалу Фаренгейта) это будет непонятно, поскольку по
Фаренгейту температура увеличилась от 50˚ до 68˚, т.е. на 36%.
Как видим, единственной новой допустимой операцией над шкальными
значениями для интервальной шкалы является определение интервала между
ними. При сравнительном оценивании характеристик альтернативных систем
шкалы интервалов дают результат измерения: «больше на определенное
количество единиц – меньше на определенное количество единиц».
4. Шкалы от ношений
Если на интервальной шкале зафиксировать начало отсчета, то это усилит
ее, превратив в
Шкалой отношений (подобия) является шкала, для которой множество
допустимых преобразований Φ состоит из преобразований подобия φ(
где
х
– шкальные значения из области определения, а – действительные числа
(а>0). При фиксированном нуле (начале отсчета) в таких шкалах имеется
свобода выбора единиц измерения.
Шкалы отношений составляют подмножество шкал интервалов с
фиксированным началом отсчета (
остаются отношения численных оценок.
Переход от одной эквивалентной шкалы отношений к другой
обеспечивается преобразованием
изменением масштаба измерений.
шкалу от ношений
.
х
b
= 0). В шкалах отношений неизменными
подобия
(растяжения или сжатия), т.е.
) = ax,
115
С математической точки зрения для шкалы отношений, кроме аксиом
эквивалентности и упорядоченности (1 – 5) должны выполняться
аддит ивност и
6)
7) если
8) если
9)
Результаты измерения на шкале отношений представляют собой
полноправные числа: с ними можно проводить любые арифметические действия
и процедуры статистической обработки.
Существенным свойством шкал отношений является то, что они отражают
отношение характеристик систем, т.е. во сколько раз свойство одной системы
превосходит это же свойство альтернативной системы.
расстояний, длин и масс объектов. Как известно, в этих случаях на практике
используется значительное разнообразие численных оценок, в частности при
измерении в метрах, ярдах, футах и т.д. Тем не менее, в какой бы системе
единиц ни производилось измерение, отношение, например, длин любых
объектов не меняется.
Еще пример: стоимость товаров в разных валютах имеет различное
номинальное значение, но отношение стоимостей товаров будет одинаковым
при переходе с одной валюты на другую.
А+В
(
А+В)+С
Примерами измерений в шкалах отношений может служить измерение
:
= В+
А
=
А
=
А
;
С
и В ˃ 0, то
С
и
В
=
=
А+(В+С
D
, то
).
А+ В
А+В
˃ С;
= С+
D
;
аксиомы
5. Шкалы разност ей
преобразования сдвига φ(
тоже являются частным случаем шкал интервалов с фиксированным масштабом
измерения. Начало отсчета при этом может выбираться произвольно. Поэтому
эти шкалы, сохраняя отношение интервалов между оценками, не сохраняют
отношения самих оценок. В шкалах разностей неизменными остаются разности
численных оценок характеристик систем.
Константа
называется ее
Над показаниями, полученными в шкале разностей, можно выполнять
любые арифметические действия. При этом, правда следует иметь в виду, что
начало отсчета, хотя и является общепринятым, носит условный характер. При
переходе на зимнее или летнее время, при пересечении границ часовых поясов
или линии смены дат необходимо вносить в результаты измерений
соответствующие уточнения.
Шкалы разност ей
b
является характерным параметром шкалы разностей и
периодом
вводятся как шкалы, единственные с точностью до
х
) =
x + b
. Поэтому такую шкалу называют также
6.
Абсолют ные шкалы
(а = 1). Это означает, что шкалы разностей
периодической
.
116
Абсолютными принято называть шкалы, для которых единственным
допустимым преобразованием является тождественное преобразование. Это
означает, что существует только одно отображение измеряемых объектов в
числовую систему.
Абсолют ная шкала
имеет абсолютный ноль и абсолютную
единицу измерения.
Перечисленные свойства характерны для
числовой оси
. Ее особенности –
отсутствие размерности и абсолютность единицы. Это позволяет проводить над
показаниями абсолютной шкалы операции, не допустимые для других шкал, в
частности, использовать их в качестве показателей степени и оснований
логарифмов. Числовая ось применяется в качестве измерительной шкалы в
явном виде при измерении количества объектов и событий, а в качестве
вспомогательного средства используется во всех других шкалах.
Абсолютные шкалы, являясь частным случаем всех рассмотренных выше
шкал, сохраняют все ранее перечисленные отношения между числовыми
оценками характеристик объектов: различие (эквивалентность), порядок,
отношение интервалов, отношение и разность значений.
6.3. Принципы обработки результатов измерений
При измерении и оценивании качества сложных систем зачастую разные
их характеристики, служащие частными показателями качества могут
измеряться на разных типах шкалах – от слабых до самых сильных. Как
правило, для получения надежных значений проводится несколько измерений
одного показателя с последующим осреднением. Кроме того, осреднение
однородных частных показателей может проводиться для получения
обобщенных показателей качества систем.
При измерении и оценивании показателей на сильных шкалах трудностей
обычно не возникает. Более сложной оказывается оценивание на качественных,
в основном, ранговых шкалах. В частности, при измерении на ранговой шкале
необходимо различать
сравнительную оценку, от
например, пусть эксперт считает несравнимыми альтернативы
этом считает альтернативу
предпочтительной, чем альтернатива
признать
y
более предпочтительной, чем
1
несравнимые альт ернат ивы
сущест венно несравнимых альт ернат ив
y
более предпочтительной, а альтернативу
1
y
. Тогда можно, в порядке уточнения,
3
y
. Отдельные показатели в процессе
2
, допускающие косвенную
. Так,
y
и
y
1
, но при
2
y
менее
2
системного анализа могут уточняться существенным образом, что открывает
возможность перехода от оценки, полученной на ранговой шкале, к оценке на
количественной шкале.
В теории шкалирования (раздел теории эффективности) определены
правила и допустимые операции осреднения характеристик. Допускается
проводить осреднение только для однородных характеристик, измеренных на
117
одной шкале. Значения разных показателей нередко имеют для исследователя
различную ценность, которая учитывается с помощью коэффициентов
значимости (весовых коэффициентов).
Приведем основные формулы осреднения.
1. Средневзвешенное арифметическое
2. Среднеарифметическое у = 1/
n
у
Σ
= Σ
yi
c
y
i
i
________
3. Среднеквадратичное
у
= √ 1/n Σ
2
y
i
4. Средневзвешенное геометрическое
у
= ∏
c
y
i
n
5. Среднегеометрическое
у
______
=√ ∏
y
i
На практике используются также и другие виды осреднения, в частности,
средневзвешенное гармоническое и среднегармоническое. Обратим внимание
на то, что средневзвешенные величины получают с использованием весовых
коэффициентов.
Средние и средневзвешенные величины отличаются друг от друга не
только по величине и способу вычисления, но и по той роли, которую они
играют в решении задач системного анализа. Средневзвешенные величины
незаменимы при сравнительном оценивании систем с учетом вклада различных
показателей в осредненную оценку.
Среднеарифметическое значение используется в случаях, когда
необходимо сравнить абсолютные значения определенных характеристик
множества альтернативных систем, среднегеометрическое – для определения
относительной разности отдельных значений, когда интерес представляет
относительный разброс параметров. Если при осреднении необходимо
сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то следует
использовать среднеквадратичное значение показателей.
Очевидно, что в каждом конкретном случае следует тщательно оценивать
допустимость применения тех или иных средних величин. При использовании
тех или иных шкал. В частности, средневзвешенное арифметическое, наиболее
часто применяемое в качестве обобщенного показателя, допустимо
использовать тогда и только тогда, когда значения частных показателей
измерены в шкале отношений.
118
Развитие теории шкалирования и ее применений, в частности, для нужд
Наименование
шкалы
Определяющие
отношения
Эквивалентное
преобразование
Допустимая
обработка данных
Номинальная
Эквивалентность
Перестановки
наименований
Вычисление относительных частот
Ранговая
Эквивалентность,
Монотонное
Вычисление относи-
рочных квантилей
Интервальная
Эквивалентность,
интервалов
Линейные
Арифметические
значениями
Разностная
Эквивалентность,
интервалов
Преобразование
Арифметические над
Отношений
Эквивалентность,
валов, периодичность
Преобразование
Любая арифметическая
Абсолютная
Эквивалентность,
Шкала уникальна
Любая математическая
математического обеспечения информационных систем связано с
заимствованием понятий нечеткой и лингвистической переменных из области
теории нечетких множеств и введением понятия нечеткой шкалы. Привлечение
понятия функции принадлежности, характерной для этой теории,
представляется перспективным для проведения более тонких измерений
качественных характеристик, а также учета неопределенностей, свойственных
сложным системам.
В заключение раздела сведем данные, относящиеся к различным
измерительным шкалам в таблицу.
Таблица 6
Основные характеристики измерительных шкал
Приведенные в таблице сведения могут быть полезными при выборе
измерительной шкалы для решения той или иной задачи.
предпочтение
предпочтение, сохранение отношения
предпочтение, сохранение отношения
предпочтение, сохране-
ние отношения интер-
предпочтение, сохранение отношения двух
значений, абсолютный
нуль
преобразования
сдвига
растяжения
и единственна
тельных частот и выбо-
деиствия над
интервальными
шкальными
значениями
и статистическая
обработка
обработка
119
6.4. Методы статистических измерений
Процессы, происходящие в природе и обществе, редко бывают
детерминированными. На их протекание влияет множество факторов, которые в
большинстве случаев имеет случайный характер. Тем не менее, измерение
случайных характеристик позволяет уменьшать неопределенность относительно
исследуемых процессов и систем. В результате исследователь получает
возможность уточнять синтезируемую модель объекта исследования.
Дополнение результатов непосредственных измерений случайных
величин адекватными методами их обработки, составляет методологию
статистических измерений
. Речь идет о самостоятельном разделе метрологии,
имеющей собственную теоретическую базу и измерительную технику и
технологию.
Существует несколько подходов к определению природы случайности.
Первый из них отражает воззрения П.Лапласа, основоположника концепции
классического детерминизма. По его мнению, случайность не присуща самим
объектам и процессам, а только отражает неопределенность, которая, в
принципе, устранима. Сторонники такого подхода определяют случайность как
вид неопределенности, которая, тем не менее, подчиняется строгой
закономерности, выражаемой распределением вероятности событий.
Другая, по сути, противоположная точка зрения основана на
рассмотрении случайности как объективного свойства материи, а детерминизма
– как некоторого предельного случая проявления случайности.
Естественно, существует и промежуточная позиция, согласно которой в
мире происходят как детерминированные (однозначно предсказуемые), так и
случайные процессы. При этом случайность может проявляться в разной
степени, которая описывается тем или иным статистическим законом
распределения вероятностей происходящих событий.
Различия приведенных подходов, впрочем, никоим образом не
проявляются в ходе проведения статистических измерений и обработки их
результатов. В реальных условиях проявление объективных, и субъективных
факторов случайности не вносит изменений в методологию и результат
измерений.
В статистических исследованиях различают два основных типа моделей –
классификационные и числовые. Классификационные модели отражают
первичные формы знания. С их созданием и применением связаны такие задачи,
как кластеризация, классификация, упорядочение и сокращение размерности.
Рассмотрим принципы
измерений.
Результаты любого эмпирического (опытного) исследования должны
обработ ки результ ат ов ст ат ист ических
быть зафиксированы на материальных носителях, определенным образом
обработаны с тем, чтобы они могли быть использованы для снятия априорной
неопределенности при решении той или иной проблемной ситуации.
120
В практике системного анализа прослеживается три последовательных
этапа проведения статистических измерений:
- непосредственное измерение существенных характеристик;
- обработка измерительных данных и их интерпретация;
- использование информации, получаемой в результате обработки данных.
Результаты измерений фиксируются, как правило, в протоколах
наблюдений. Особое внимание при работе с протоколами измерений уделяется
факторам, которые способны при несоблюдении определенных правил привести
к искажению результатов. Наиболее существенными среди этих факторов
являются:
- разнотипность данных;
- большая размерность выборки;
- зашумленность результатов;
- искажения данных;
- пропущенные значения.
Рассмотрим их последовательно.
Разнот ипност ь данных.
Очевидно, что различные характеристики
исследуемых систем имеют разный физический смысл и могут измеряться на
разных шкалах. Дело в том, что выбор измерительной шкалы зависит от
природы и характера измеряемой величины. Однако большинство
существующих пакетов прикладных программ, предназначенных для
статистической обработки данных, могут работать только с однотипными
данными, т.е. данными, полученными в результате измерений, проведенных на
одной шкале.
Поэтому возникает необходимость приведения разнотипных данных к
одной определенной шкале. При этом перевод результатов в более сильную
шкалу требует тщательного анализа. В частности, при переходе от порядковой
(ранговой) шкалы к сильным (количественным) шкалам для «усиления»
качественной шкалы используются такие приемы как «оцифровка» и
ранжирование в соответствии с «силой предпочтения».
Под оцифровкой понимается использование номеров рангов в качестве
количественных характеристик степени проявления исследуемых свойств.
Введение понятия «сила предпочтения» позволяет количественно сопоставлять
интервалы между положениями альтернатив на порядковой шкале, т.е.
автоматически перейти к числовой шкале.
Большая размерност ь выборки
. В ряде статистических исследований и
испытаний количество объектов и число их измеряемых характеристик могут
быть настолько велики, что произведение этих чисел достигает нескольких
десятичных порядков. Если, к тому же, приходится измерять эти
характеристики в дискретные фиксированные моменты времени, то размерность
исходного множества данных статистического исследования возрастает во
много раз. Это обстоятельство даже с учетом мощности современных
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]