Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология системного исследования. Учебное пособие
.pdf
141
ограничивает исходное множество альтернатив, формируя подмножество
A
, и
1
выдает соответствующие данные. ЛПР оценивает ситуацию и варьирует
«уступки», указывая допустимые уровни их снижения по одним критериям и
увеличения по другим. ЭВМ снова выполняет расчетные процедуры и строит
подмножество
A
. Процесс продолжается вплоть до завершения задачи выбора
2
альтернатив. Естественно, выбор ведется на множестве Парето.
7.5. Методы свертки векторного критерия
Решение задач однокритериального выбора методом теории полезности
состоит в том, что каждой альтернативе ставится в соответствие определенное
числовое значение, и сравнение альтернатив сводится к сравнению
соответствующих значений. При этом считается, что для каждой альтернативы
может быть задана функция предпочтения (функция полезности или критерий)
k(a
), которая и позволяет сравнивать альтернативы по простому принципу: если
k(a
) ˃ k(
1
a
2
), то
a
˃
a
1
и наоборот. Если предположить, что выбор любой
2
альтернативы приводит к однозначным последствиям и присвоенный критерий
выражает в численном виде оценку этих последствий, то лучшей будет
признана альтернатива с наибольшим значением:
*
а
= arg max
k(a) (аϵА)
Следует отметить, что такая простая по постановке задача нередко
оказывается непростой для решения. Однако сложность выбора наилучшей
альтернативы существенно возрастает, когда оценивание производится по
нескольким качественно разным критериям.
Задачи многокритериальной (векторной) оптимизации формулируются
следующим образом. Пусть оценивание альтернатив проводится по нескольким
критериям:
k
(a),
k
1
(a),…,
2
k
(a),…,
i
k
(a); а ∈ А (i = 1,…n), (7.18)
n
где А – множество возможных альтернатив, n – число критериев. Необходимо
определить альтернативу
*
а
, наилучшим образом удовлетворяющую всем
критериям, т.е.
*
а
ϵ
А
:
*
k
(
a
) =
k
(а),
i =
i
опт
1,…n. (7/19)
Именно к такому классу задач относятся методы свертки векторного критерия.
Смысл этих методов состоит в преобразовании векторного критерия в
скалярный, который представляет собой некоторую функцию от значений
142
компонентов векторного критерия. С учетом перехода к скалярному критерию
исходная задача заменяется новой, а именно:
k(а)
→
extr k(а)
, (7.20)
где
k(а
) – скалярный критерий, представляющий cобой некоторую
функцию от значений компонентов векторного критерия:
k(а
) = f (
k1 (a
),
k
(a),…,
2
k
n
(a)).
Цель рассматриваемого подхода состоит в получении функции
f
, которая
называется сверткой. Для этого необходимо выполнить следующие операции.
1.Обоснование допуст имост и сверт ки
можно проводить для
однородных
показателей. Известно, что показатели
. Речь идет о том, что свертку
эффективности естественным образом разделяются на три группы: показатели
результативности, оперативности и ресурсоемкости. Так вот свертка отдельных
показателей результативности, оперативности и ресурсоемкости признана
недопустимой, поскольку, как правило, приводит к потере физического смысла.
Допустимо, например, проводить свертку таких показателей как
мобильность, быстродействие и производительность, поскольку все они
характеризуют оперативность. Однако свертка, скажем, управляемости,
экономичности и быстродействия не имеет смысла, поскольку эти показатели
относятся к разным группам. Что же касается свертки обобщенных показателей
от каждой группы, то она, естественно, вполне допустима и даже необходима,
поскольку образует обобщенный показатель эффективности.
2.Нормировка крит ериев
. Для проведения операции свертки необходимо
привести все критерии к безразмерному виду, иначе произойдет потеря
физического смысла. Нормировка критериев проводится подобно нормировке
показателей с помощью нормирующего делителя, что обеспечивает перевод
критериев к безразмерной форме. Эта аналогия совершенно естественна,
поскольку между показателями и критериями существует тесная связь, и
нередко показатели выступают в роли критериев. Отметим также, что в
качестве нормирующего делителя при нормировке критерия берется, как
правило, его максимальное значение.
3.
Ранж ирование приорит ет ност и (ст епени важ ност и) крит ериев
. Учет
приоритетности критериев обеспечивается, как правило, заданием вектора
коэффициентов их важности:
где
δ
= (
δ
,
δ
,…,
δ
), ∑
δ
1
2
δ
- коэффициент важности i-го критерия, который обычно берется
i
n
= 1, (7.21)
i
равным коэффициенту значимости соответствующего частного показателя.
143
Поскольку установление коэффициентов важности критериев связано с
субъективными предпочтениями ЛПР, задача решается средствами экспертного
оценивания.
Далее исходная векторная оценка
K
(a) альтернативы a заменяется новой
векторной оценкой, получаемой на основе нормированных критериев:
1
2
δnkn (a
)),
k(а)
= (
δ1k
(a
),
δ2k
(a
),…,
k
где
(a) – нормированный частный критерий.
i
Теперь полученная векторная оценка преобразуется с посредством
операции свертки ее компонентов. На практике в основном используется два
вида свертки: аддитивная и мультипликативная.
4.
сверт ки
Сверт ка компонент ов вект орного крит ерия
. Операция
аддит ивной
позволяет представить обобщенный скалярный критерий в виде суммы
взвешенных нормированных частных критериев:
k
где
– нормированный частный критерий.
i0
) = ∑
δ1 k
(a) /
i
k
(7.21)
i0
k(а
Все такие критерии образуют группу аддитивных критериев. Поскольку
речь идет о поиске оптимального компромисса, для них принят
принцип
справедливой компенсации абсолют ных значений нормированных част ных
крит ериев
«уступок». Справедливым признается компромисс, при котором суммарный
уровень снижения значений одних критериев (показателей) не превышает
суммарного уровня увеличения значений других показателей.
Формально операция
обобщенного скалярного критерия в виде произведения:
, которому должны соответствовать решения по изменению
мульт ипликат ивной сверт ки
дает представление
k(а)
= ∏
Как видим, мультипликативная свертка представляет собой результат
δi
k
(a)
(7.22)
i
перемножения частных критериев
(a), возведенных в степень
i
δ
, причем в
i
k
этом случае критерии берутся ненормированными.
Компромисс в этом случае основывается на
от носит ельной компенсации
, при котором суммарный уровень относительного
принципе справедливой
снижения значений одних показателей не должен превышать суммарного
уровня относительного увеличения значений других показателей.
Выбор типа свертки зависит от того, что важнее для ЛПР – абсолютные
или относительные изменения значений частных критериев. Однако следует
отметить, что и та, и другая свертки представляют собой формальные
144
математические приемы, при выполнении которых варьирование значениями
допустимых отклонений может придти в противоречие с объективной ролью
частных критериев. Поэтому не существует четких условий и алгоритмов
применения этих методов, поскольку при их реализации существенная роль
остается за эвристическими процедурами.
Кроме того, результат выбора часто оказывается весьма чувствительным
даже к небольшим изменениям значения обобщенного критерия, и оптимальная
в новом смысле альтернатива существенно отличается от прежней. Этими
обстоятельствами обусловлена широкая применимость аксиоматического
подхода – теории полезности.
Вопросы и задания для самост оят ельной работ ы
1. Дайте общее определение критерия.
2. Какие критерии используются при оценивании качества систем?
3. Что представляет собой область адекватности?
4. Какие требования предъявляются к показателю исхода операции?
5. Как связаны требования полноты и неизбыточности?
6. Перечислите аксиомы теории полезности.
7. В чем состоит транзитивность множества?
8. Что представляет собой функция полезности?
9. Что понимается под смесью альтернатив?
10. Какие существуют способы определения функции полезности?
11. Что представляет собой множество Парето?
12. Какие альтернативы считаются несравнимыми?
13. В чем состоит проблема корректности критерия превосходства?
14. Какие критерии используются при оценивании эффективности систем?
15. Как ставится задача многокритериальной оптимизации?
16. Что понимается под задачей векторной оптимизации?
17. Как применяется метод последовательных уступок?
18. Укажите достоинство человеко-машинных процедур векторной
оптимизации.
19. Как производится свертка векторного критерия?
20. Какие Вам известны типы сверток?
145
Глава 8.
Проблема выбора решения в системном исследовании
8.1. Выбор в условиях неполной определенности
весьма значительное количество определений этого понятия. Наиболее общей
является, пожалуй, дефиниция риска как опасности неблагоприятного исхода на
одно ожидаемое событие. За меру риска принимается разница между
ожидаемым значением показателя эффективности и тем его значением, которое
оказалось реализованным. Этот подход к формализации феномена риска был
предложен в 1951г. Л. Дж. Сэвиджем в виде принципа минимаксного сожаления
по поводу того, что выбранное решение не оказалось наилучшим при
реализованном состоянии обстановки.
Операции, выполняемые системами в условиях риска, носят
вероятностный характер, поскольку однозначные (детерминированные)
соответствия между системами и исходами операций, типичные для условий
определенности, нарушаются случайным образом. Напомним, что такие
операции относятся к стохастическим процессам с известным законом
распределением вероятностей. Как уже отмечалось выше, знание закона
распределения вероятностей позволяет ЛПР принимать рациональные решения
по прогнозированию наступающих исходов.
Иными словами, каждой системе (альтернативе)
множество исходов{
Поэтому для оценивания эффективности систем в условиях риска находят
математическое ожидание функции полезности на множестве исходов
(
F(y
Пусть исходы
каждый из них возникает с вероятностью
Тогда математическое ожидание функции полезности выглядит следующим
образом:
Начнем с определения понятия риска. В литературе можно обнаружить
a
соответствует
i
y
}
с известными вероятностями их проявления p(
k
y
k
K(a)
/
=
)).
y
(
k= 1,2,…,m
k
) имеют дискретные значения показателей, и
p
(
y
/
a
)., обладая полезностью
k
i
F(yk)
a
M
i
).
a
.
K
(
a
i
) = ∑
p
(
y
/
a
)
F(yk)
,
k
i
i=1,2,…,n
(8.1)
Очевидно, что, положив вероятность определенного исхода равной
единице, а остальных – равными нулю, мы автоматически переходим к оценке
для детерминированных операций.
Для анализа ситуации, когда показатели исходов вероятностной операции
представляют собой дискретные величины, удобно пользоваться табличным
представлением (таблица 7).
146
a
i
y
k
p
(
y
k
/
a
i
)
F(yk)
K(a)
a
y
p
(
y
/
a
)
F(y1)
a
y
y
m
p
(
y
/
a
)
p
(
y
m
/
a
2
)
F(y1)
F(ym)
…
… … …
…
…
a
y
p
(
y
/
a
)
F(y1)
Оценивание систем в условиях риска
1
y
y
y
y
m
/
2
…
/
m
1
/
2
…
1
/
2
…
/
1
a
)
1
a
)
1
2
a
)
2
n
a
)
n
a
)
n
F(y2)
…
F(ym)
F(y2)
…
F(y2)
…
F(ym)
1
1
y
2
p
(
…
y
m
2
1
y
2
p
(
p
(
…
n
1
y
2
p
(
…
y
m
p
(
y
Таблица 7
…
…
Для исходов с непрерывными значениями показателей математическое
ожидание имеет вид интеграла:
i
F(y) dy
i
, (8.2)
K
(
a
) =
∫
p
(
y
/
a
)
p
(
y
/
a
где
) – плотность вероятностей исходов для одной альтернативы, а
i
интегрирование ведется по всей допустимой области пространства исходов.
Теперь можно сформировать критерий оптимальности для вероятностных
операций:
K(ai) = max M
(
F(y) (i = 1,
a
…, m). (8.3)
Согласно этому критерию оптимальной считается система, для которой
математическое ожидание функции полезности на множестве исходов
принимает максимальное значение.
Итак, последовательность действий по оцениванию эффективности
систем в условиях риска следующая: определение исходов операций по каждой
системе (альтернативе) → построение функции полезности на множестве
исходов → нахождение распределения вероятностей на множестве исходов →
расчет математического ожидания функции полезности на множестве исходов
операции для каждой системы.
147
Совершенно очевидно, что выбор оптимальной системы, т.е. безусловно
рационального
решения не дает никаких гарантий. Выбор может оказаться
неудачным для конкретной реализации состоявшейся операции.
Рациональность решения состоит в том, что при многократном повторении
операции оптимальный «в среднем» выбор решений обеспечит наибольший
успех. Это прекрасно подтверждают профессиональные игроки в покер,
которые могут проиграть любителю на «короткой дистанции», но всегда
выигрывают в продолжительном розыгрыше.
Поскольку в основе рассматриваемо подхода лежит понятийный и
математический аппарат теории вероятностей, то возможны и другие критерии
оценивания, а именно:
●максимум вероятностной гарантии достижения результата не ниже
требуемого уровня.
●минимум дисперсии исходов
●максимум вероятности случайного события
●минимум среднего риска
Подчеркнем, что сведение задачи к вероятностному типу целесообразно в
тех случаях, когда:
● операции носят массовый характер;
● имеется возможность определить реальные показатели исходов;
● известны законы распределения вероятностей на множестве исходов;
● известны вероятностные характеристики параметров обстановки.
Опыт принятия решений по выбору систем в условиях риска позволил
заложить основы методологии оценивания систем в условиях, когда закон
распределения вероятности в стохастических процессах неизвестен или
отсутствует в принципе.
8.2. Выбор в условиях неопределенности
Необходимость принятия решений и выбора в условиях неопределенности
относится к извечным проблемам человечества. Превращение априорной
энтропии в информацию (процесс познания) составляет, пожалуй, основной
смысл его жизнедеятельности. Окружающий мир постоянно порождает
случайные события, закон распределения вероятностей которых нам
неизвестен. Познавая мир, мы научились выявлять наличие такого закона (если
он объективно существует). Тем самым удается перевести часть
неопределенных процессов в разряд вероятностных. Отсюда возникает статус
эксперт а
– опытного наблюдателя, обладающего богатым багажом
эмпирических знаний в конкретной предметной области и, кроме того,
незаурядной интуицией.
Тем не менее, остается непрогнозируемым широкий круг процессов, для
которых распределение вероятностей отсутствует. Речь, следовательно, идет о
148
событиях (исходах), равновероятных для ЛПР. Основным источником
неопределенности является окружающая среда, называемая обстановкой.
Неопределенность, связанная с системой, как мы знаем, устраняется
посредством исследования «черного ящика». Целенаправленные системы, тем
более, хорошо известны ЛПР, хотя они и подвержены флуктуациям,
порождающим частичную неопределенность.
Ранее нами рассматривалась процедура выбора в условиях, при которых
его последствия для ЛПР были известны. Поэтому процедура сводилась к
сравнению разных следствий, которые и играли роль альтернатив. Однако на
практике весьма часто приходится принимать решение в условиях, когда для
каждой альтернативы существует множество возможных исходов, из которых
будет реализован один, но какой именно – в момент выбора неизвестно.
Поэтому, говоря о
ситуацию, когда
также эффективность имеющегося множества систем для каждого из них, но
неизвест но
Задачи такого рода принято называть
, с какой вероятностью может возникнуть любое из этих состояний.
извест но
дискрет ным набором альт ернат ив и исходов.
альтернативу выбрать, не зная заранее, какой из возможных исходов будет
реализован?». В такой постановке для решения задачи оказался подходящим
понятийный и математический аппарат
Действительно, мы (один игрок) производим выбор на множестве
альтернатив. Выбираемые альтернатива – это
исходы (нам заранее неизвестные) будем интерпретировать как
второго игрока, осуществляющего выбор на множестве исходов (своих
альтернатив). Совокупность наших ходов, т.е. решений по выбору альтернатив
будет отражать нашу
эффект ивной ст рат егии.
Все неопределенные операции естественным образом делятся на два
подмножества:
ст ат ист ически неопределенные операции
игровые операции
Условия статистически неопределенных операций диктует объективная
реальность, которую принято называть
нейтральной по отношению к ЛПР, случайным образом выбирающей состояние
обстановки, т.е. свои ходы. Статистически неопределенные операции принято
также называть «играми с природой»
В игровых операциях неопределенность создается активным
противодействием со стороны других игроков (ЛПР) – противников
(конкурентов). Неопределенных операций такого рода существует множество:
от шахматной партии до боевых действий. Классический пример игровых
операций – конкуренция в области экономики.
неопределенной операции
множество возможных состояний обстановки, а
, мы имеем в виду такую
выбором в условиях неопределенност и с
Основной вопрос: «Какую
т еории игр
.
наши ходы
. Реализованные
ответные ходы
ст рат егию игры
.
. Естественно, речь идет о
;
природой
. Природа считается
выборе
149
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Когда речь идет об
отношениях с конкретными конкурентами, то это – игровые операции. Но если
речь заходит об учете состояния общей рыночной конъюнктуры при принятии
решения, то это уже статистически неопределенная операция. Иными словами,
мировая экономическая система подпадает под принятое определение природы.
Следовательно, большинство современных организационно-технических
и социально-экономических систем обладают свойствами, которые не
позволяют отнести выполняемые ими операции к детерминированным или
вероятностным. Перечислим основные из этих их свойств.
1. Наличие в управляющей системе ЛПР, реализующего функции
управления на основе субъективных моделей, а в составе объекта управления целенаправленных индивидов порождает огромное разнообразие поведения
системы в целом.
2. Система, являющаяся объектом управления, часто преследует цели, не
соответствующие целям управляющей системы.
3. В процессе принятия решений существенную роль играют
эвристические рассуждения ЛПР, не поддающиеся математической
формализации.
4. Нередко ЛПР, оценивая ситуацию, руководствуется не ее реальным
состоянием, а принятой априори моделью управления объектом.
5. Как правило, отсутствует статистика поведения системы, необходимая
для выявления законов распределения вероятностей исходов вследствие
конкретных решений, принятых ЛПР.
Выбор решений в условиях статистической неопределенности (играх с
природой) целесообразно проводить, руководствуясь методами
ст ат ист ических решений
противодействия используются методы
. Для принятия решений в условиях активного
т еории игр
.
т еории
В общем случае оценивание эффективности систем для неопределенных
операций производят, сводя в таблицу следующие показатели:
a
– вектор управляемых параметров, характеризующий свойства системы
i
(
i
= 1,…, m);
n
- вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние
j
обстановки (
k
– эффективность системы
ij
K
(
a
) – эффективность системы
i
j
= 1,…, k);
a
при состоянии обстановки
i
ai .
n
;
j
В каждой строке таблицы содержит значения эффективности одной
системы при всех состояниях обстановки, в каждом столбце – значения
эффективности всех систем для одного состояния обстановки. Такую таблицу
принято называть
мат рицей эффект ивност и
. Она позволяет держать в поле
зрения все множество возможных ситуаций (сочетаний).
150
a
n
j
K
(
a
)
n
1
n
2
…
n
k
a
k
k
…
k
Таблица 8
Оценивание эффективности в условиях неопределенности
i
1
a
2
…
a
m
11
k
21
…
k
m1
k
…
k
12
22
m2
1k
…
…
…
k
2k
…
k
mk
i
Напомним, что при протекании неопределенной операции (процесса)
может быть известно, какие состояния обстановки могут возникнуть и какова
эффективность имеющихся систем для каждой из них, но неизвестны
вероятности, с которыми можно ожидать появление того или иного состояния.
Поэтому для уменьшения неопределенности при оценивании систем
приходится использовать субъективные предпочтения ЛПР или экспертов.
8.3. Выбор стратегии в «играх с природой»
При выборе в условиях неопределенности центральным моментом
является определение критерия для оценивания вариантов решения. В силу
априорной неопределенности исходов необходимо оценить сразу целую строку
матрицы эффективности. Имея такие оценки для всех строк, можно сравнивать
их между собой и осуществлять выбор в соответствии с тем или иным
критерием.
Очевидно, что универсального критерия для оценивания эффективности в
неопределенных операциях нет и быть не может. Все зависит от характера
предпочтений ЛПР. В зависимости от отношения к выбору решения в условиях
неопределенности (риска) он может проводиться с позиций либо
либо
лица, склонные к риску, или
пессимист ы
остановимся на следующей дефиниции:
субъект ивист а
. Здесь уместно дать определение
. В свою очередь среди субъективистов могут быть как
опт имист ы
, так и склонные к осторожности, или
экономического риска
экономический риск ест ь обобщенная
объект ивист а
. Мы
,
объект ивная характ ерист ика сит уации принят ия решений в условиях
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]