Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование физических явлений. Учебное пособие
.pdf
находятсявопределенныхобластях.Предполагается,чтотакие«узоры»будутисче‐
затьсувеличениемтемпературыкристалла.
Данная программаноситдемонстрационныйхарактер,в ней не учитывается
температурная раскачкаатомов,деканалирование,рассеяниенаэлектронахипо‐
тери энергии ионов. Нет возможности задать начальный угол влета, отличный от
нуля,чтопозволилобыисследоватьориентационные эффекты. Также программа
непозволяетмоделироватьдефектыкристаллическойрешетки.Выводрезультатов
ограничивается координатным распределением,акроменего,дляисследований
представляетинтересиизменениеуглового распределения,скоторымможноод‐
нозначно сопоставить распределение частиц в поперечном фазовом пространстве
импульсов.
Рис. 3.7. Пространственное распределение потока ионов He+
с энергией 1,8 МэВ в кристалле граната Y3Fe5O12
На рис. 3.7приведенырезультатырасчетовдругойпрограммыдля
<111>–каналамногокомпонентногокристаллагранатаY3Fe5O12,кубическаяэлемен‐
тарнаяячейкакоторогосостоитиз160атомовисодержитвосемьформульныхеди‐
ниц. Эффективный осевой каналпредставляет собойсовокупность несколькихка‐
налов и имеет треугольную форму. В этой программе учитывается
деканалирование, есть возможность задавать ненулевое начальное угловое рас‐
пределениеи производить более гибкий вывод результатов.Нарис. 3.8показано
угловоераспределениепотокаионовHe+сэнергией1,8МэВ.Координатыкаждой
точкипредставляют собой проекциинаправления движениячастицына осиXиY.
Наповерхностивсечастицыимеютнулевыекоординаты
касовпадаетсосью<111>.Померепроникновениявглубь(1нм)угловыекоорди‐
натыстановятсявсеболееотличнымиотнуля,причемчемближечастица катому,
тембольшееугловоеприращениеонаприобретаетнапротяжениисвоегопути.На
участке от 20до50нм наблюдается азимутальная неоднородность, характерная
и
(направлениепото‐
x
y
51
длянаправления <111>кристаллаграната.Этакартина неоднородностисоответст‐
вуеттакжемаксимальнойплотностичастицоколоцентров«пустот»канала.
Рис. 3.8. Угловое распределение ионов кристалле граната Y3Fe5O12
На рис. 3.9 приведен результат мо‐
дельных расчетов в виде одного склона
ориентационной зависимости деканалиро‐
вания для Y3Fe5O12. Для получения этой
кривой потребовалось 102мегабайта эле‐
ментных результатов моделирования.Каж‐
дая точка кривой соответствует суммарно‐
му значению счетчика деканалированных
ионов на протяжении всей рассматривае‐
мой глубины для определенного первона‐
Рис. 3.9. Расчетная
ориентационная зависимость
для Y
3Fe5O12
чального угла, под которым поток ионов
влетаетвкристалл.
52
4.СЛУЧАЙНОЕБЛУЖДАНИЕ
Первоначальную формулировку задачи о «случайных блужданиях»
предложил Пирсон в 1906 г. Если пешеход делает N шагов равной длины от фонарного столба в произвольных направлениях, то как далеко
отойдет он от этого столба? Со времени такой формулировки модели
случайного блуждания получили широкое распространение в физике,
биологии и общественных науках. Хорошо знакомыми по учебникам
приложениями этой модели являются диффузия молекулы в газе и броуновское движение коллоидных взвесей в жидкости. Другим важным
приложением методов случайного блуждания служит моделирование
длинных полимерных цепочек. В действительности, многие задачи, как,
например, решение уравнения Шредингера, можно переформулировать
на языке случайного блуждания. Однако чтобы хорошо разбираться в
этих приложениях, сначала необходимо изучить простые модели.
4.1.Одномерноеслучайноеблуждание
Рассмотрим идеализированную одномерную задачу о движении
пешехода, который начинает двигаться от фонарного столба, располо-
женного в точке
Все шаги имеют одинаковую дли-
l. Направление каждого шага
ну
пешехода не зависит от направления предыдущего. На каждом ша-
Рис. 4.1. Одномерное случайное
блуждание пешехода
влево с вероятностью
вправо, а
п← – влево. Полное число шагов равно N = п→ + п←. Тогда
q = (1 – р). Пусть п
ге по времени пешеход делает шаг
вправо с вероятностью
обозначает количество шагов
→
полное смещение пешехода от начала координат после
= (п→ – п←)l, где –Nl < х < Nl. Основной интересующей нас величиной
P
является вероятность
на расстоянии
<
х
> и дисперсию <х
N
х от столба. Мы можем вычислить среднее смещение
и
где
(х) того, что после N шагов пешеход окажется
N
2
> смещения пешехода по формулам:
N
Nl
Nlx
Nl
Nlx
xxPx )( , (4.1)
NN
222
xxx , (4.2)
NNN
22
xPxx )(
. (4.3)
NN
х = 0 (рис. 4.1).
р и шаг
N шагов равно х
53
Усреднение производится по всем возможным блужданиям, со-
N
x
D
x
x
x
t
стоящим из N шагов.
Исследование задачи случайного блуждания, сформулированной
выше, можно провести аналитически, воспользовавшись теорией веро-
ятностей. В результате для величин <x
> и <
N
2
> получаются аналити-
ческие выражения
()
N
22
N
pqNl<>=- , (4.4)
4
pqNl<>= . (4.5)
Заметим, что, согласно формуле (4.4), в симметричном случае
р = q = 1/2 получаем среднее <XN> = 0.
Теперь рассмотрим пример случайного блуждания с другой точки
зрения – на языке диффузии молекулы в разреженном газе. Предположим, что молекула пробегает расстояние l между столкновениями с
другими молекулами.
Допустим, что последовательные смещения молекулы между
столкновениями статистически независимы, тогда движение молекулы
тождественно блужданию пешехода. Поскольку движение такой молекулы можно к тому же объяснить некоторым диффузионным процессом, опишем кр
атко связь случайного блуждания с диффузией, а точнее
с самодиффузией (диффундирование собственных частиц вещества).
Процесс диффузии частично характеризуется линейным соотношением
2
() 2Rt dDt<D >=
, (4.6)
связывающим между собой время t и дисперсию смещения молекулы
<
R(t)
2
> из начального положения при t = 0. Коэффициент пропорцио-
нальности D в формуле (4.6) называется коэффициентом самодиффу-
зии молекулы, a d – размерностью пространства. Чтобы сопоставить
(4.5) и (4.6), положим время между шагами равным
, так что N = t /, и
отождествим длину свободного пробега с шагом пешехода l. Тогда
формулу (4.5) можно переписать в виде
22
4(/)
<D >=
pql t
. (4.7)
Сравнивая (4.6) и (4.7), мы делаем заключение, что коэффициент
диффузии случайно блуждающего пешехода в одномерном случае выражается при р = 1/2 формулой D = l2 / 2.
Хотя соотношения (4.4) и (4.5) можно вывести, используя простые
аналитические методы, нам необходимо разработать метод моделирования блужданий, которые не имеют точных решений. Два важных метода
моделирования: точный комбинаторный метод (метод полного перебора) и метод Монте-Карло.
54
В методе, основанном на полном переборе, количество и вероят-
x
x
x
x
u
ность всех блужданий для заданных N и х вычисляются в явном виде.
В качестве примера на рис. 4.2 показано восемь блужданий для N = 3 и
d = 1. Заметим, что число блужданий для положительных и отрицательных значений х одинаково. Перебор всех блужданий позволяет вычислить P
(x) (рис. 4.2), и мы получим:
3
<>= =- - + + =
<>= = + + + =
å
33
22 3223
å
33
() 3 3 3 3
xP x q pq p q p
=- +=
3( )( )
=+ -=-
3( )( ) 3( ),
pqpq pq
() 9 3 3 9
xP x q pq pq p
12 [3( )] .
=+-
pq p q
3223
22
pqpq
2
(4.8a)
(4.8b)
Рис. 4.2. Восемь случайных блужданий в одномерном (d = 1) случае при N = 3
и полном смещении х: для наглядности отдельные шаги изображены
смещенными по вертикали; приведена также вероятность Р3(х),
где р – вероятность шага вправо, а q = 1 – р – вероятность шага влево
В формулах (4.8) мы использовали связь р + q = 1. Из (4.8) находим, что дисперсия смещения выражается формулой
22 2
xxpq<D >=<D >-<D > = ,
33
12
что совпадает с (4.5). В методе полного перебора компьютер генерирует
возможные блуждания и в конце концов получает точные выражения
для рассматриваемых величин. Поскольку полное число возможных
N-шаговых блужданий в одномерном случае составляет 2N, то метод
полного перебора, вообще говоря, ограничен не слишком большими
значениями N. Это ограничение можно преодолеть, если модель решается аналитически.
Во многих приложениях моделей случайного блуждания при
больших значениях N используются асимптотические результаты. На-
пример, во многих моделях случайного блуждания величина
2
x
N
удовлетворяет при достаточно больших N степенному закону
22
<D > (N >> 1). (4.9)
N
N
55
Соотношение (4.9) является примером асимптотического масштабного закона. Другими словами, при удвоении числа шагов средне-
квадратичное смещение пешехода увеличивается в 2
раз. Для одномер-
ного случайного блуждания из (4.5) находим, что
= 1/2. Во многих
прикладных задачах исследуется, существует ли степенной закон и зависит ли показатель степени
от структуры и размерности решетки, а
также от типа блуждания.
■ПрограммаодномерногослучайногоблужданиядляпакетаMathematica
Самая простая модель случайных блужданий состоитиз nшагов–равныхот‐
резковвперединазад(иливправоивлево)вдольоднойлинии.Длинашагавполо‐
жительномх‐направленииравна 1,авотрицательномравна–1.Список последова‐
тельных n шагов случайных блужданий в одномизмерении будет являтсясписком
(массивом)изn случайно выбранных единиц и минус единиц.Этотсписокможет
бытьпорожденразличнымиспособами.МыбудемиспользоватьоператорTable,с
помощью которого определим функцию, называющуюся StepIncrements (при‐
ращенияшагов),котораяпорождаетпоследовательностьизnприращений.
StepIncrements[n_] := Table[(-1)^Random[Integer], {n}]
Есливыполнитьэтупроцедуруспараметромn=10,
In[1] : = StepIncrements[10]
тополучим,например,такуюпоследовательность:
Out[1] := {1, –1, 1, –1, 1, –1, –1, –1, 1, 1}
Список, порожденный для nшагов,можетбытьиспользованприсоздании
спискаиз(n+1)позицийодномерногослучайногоблужданиядляnшагов,которое
начинаетсявначалекоординат.ДляэтогоиспользуемфункциюFoldList пакета
Mathematica™(встроеннуюфункцию)спараметром Plus:
FoldList[Plus, 0, StepIncrements[n]]
Walk1D[n_] := FoldList[Plus, 0, StepIncrements[n]]
Запустимдля20шагов
Walk1D[20]
иполучим,например:
{0, –1, 0, –1, –2, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 1, 2, 1, 0, –1, –2, –1, –2, –1, 0, –1, 0, 1, 0, 1, 2}
т.е. 21 последовательную позицию возможного случайного блуждания, которое
исходитизначалакоординат.
Длявыводанаглядногографическогорезультатазапишем
ListPlot[Walk1D[1000],PlotJoined -> True]
иполучимвероятныйграфикдляблуждания,состоящегоиз1000шагов:
56
20
10
200 400 600 800 1000
-10
-20
4.2.Cлучайноеблужданиевнесколькихизмерениях
4.2.1.Двумерноеблужданиенарешетке
Модели случайного блуждания в двумерном и трехмерном пространстве более сложны. В одномерном случае каждый шаг может иметь
только два альтернативных направления: вперед (0 градусов) или назад
(180 градусов) относительно предшествующего шага. В более n-мерном
пространстве шаги могут выбраться из целого диапазона ориентаций относительно предыдущих шагов. Рассмотрим случайное блуждание на
двумерной решетке. Его можно сравнить с движением многих пешеходов, которые перемещаются случайно и независимо друг от друга.
В случае квадратной решетки (рис 4.3, а) движение состоит из шагов одинаковой длины в четырех возможных направлениях: на север,
восток, юг или запад. Для квадратной решетки координационное число z
(число ближайших соседних узлов) равно четырем.
Решетки могут иметь и другую форму, например треугольную, для
которой z = 6 (рис. 4.3, б). Такую решетку, например, имеет модель двумерного твердого тела Ленарда–Джонса, которая представляет собой конфигурацию с наименьшей энергией и описывает равновесную структуру
кристаллического твердого тела при нулевой абсолютной температуре.
Если особо не оговаривать, то период решетки считается равным единице.
а б
Рис. 4.3.Примеры двумерных решеток:
имеет четыре соседа; б – треугольная: каждый узел решетки имеет шесть
соседей; периоды решеток равны единице
а – квадратная: каждый узел решетки
57
Для статистических исследований двумерного случайного блужда-
R
З
ния при больших N вводится средний квадрат полного смещения
< R
2
> = <x
N
2
>+ <y
N
2
> – <xN>2 – <yN>
N
2
и величина
2
. (4.10)
RR
NN
Величину RN называют среднеквадратичным смещением; ее не
следует путать с абсолютным значением вектора
. Показатель степе-
N
ни для больших N определяется асимптотическим соотношением
RaN
N
,
(4.11)
где а – постоянная величина порядка единицы.
Рассмотрим пример случайного
блуждания пешехода на квадратной
решетке, начинающего движение из узла, расположенного на расстоянии h над
горизонтальной прямой (рис. 4.4). При-
мем, что вероятность р шага «вниз»
больше вероятности р шага «вверх».
Поскольку р > р, то можно ожидать,
что после некоторого числа шагов пешеход «поглотится» в некотором узле
Рис. 4.4. Пример случайного
падения дождевой капли
с высоты h над поверхностью
емли
горизонтальной прямой. Такое случайное блуждание можно рассматривать в
качестве идеализированной модели падения дождевой капли при наличии
случайных порывов ветра.
4.2.2.Непрерывноеслучайноеблуждание
Одна из первых непрерывных моделей случайных блужданий
предложена Рейли (1919). В модели Рейли длина каждого шага а является случайной величиной, распределенной с плотностью вероятности
р(а). Направление движения тоже случайно для каждого шага. Для простоты можно рассмотреть двумерную модель и выбирать р(а) так, чтобы каждый шаг был единичной длины. Тогда на каждом шаге пешеход
смещается на отрезок единичной длины в случайном направлении.
С помощью такой модели можно вычислить PN(r)dr – вероятность того,
что пешеход окажется в интервале от r до r + dr, где r обозначает расстояние от начала координат после N шагов. Для достаточно больших
значений N вычисленную функцию PN(r) можно аппроксимировать гауссовым распределением.
58
4.2.3.Персистентноеслучайноеблуждание
В персистентном (англ. persistent – устойчивый, сохраняющий
тенденцию) случайном блуждании вероятность перехода, или «скачка»,
зависит от последнего перехода. Рассмотрим одномерное случайное
блуждание, в котором шаги совершаются только в ближайшие соседние
узлы. Предположим, что сделано N – 1 шагов. Далее N-й шаг делается в
том же направлении с вероятностью, шаг в противоположном направлении делается с вероятностью 1 – . Физический пример такого блуж-
дания – рассеяние частицы на неподвижных рассеивающих центрах с
анизотропными сечениями рассеяния.
Персистентное случайное блуждание можно рассматривать также
как пример блуждания со многими состояниями, в котором состояние
блуждания определяется последним переходом. Рассмотрим, например,
пешехода, который может быть в одном из двух состояний. На каждом
шаге вероятности остаться в том же состоянии или перейти в другое
равны соответственно и 1 – . Одним из первых применений случайного блуждания с двумя состояниями было изучение диффузии в хроматографической колонке. Предположим, что молекула в такой колонке
может быть либо в подвижной фазе (постоянная скорость ), либо в захваченной фазе (нулевая скорость). Рассматриваемой в эксперименте
величиной является вероятность PN(x) того, что за N шагов молекула
пройдет расстояние х.
4.2.4.Ограниченныеслучайныеблуждания
Падение дождевой капли, рассмотренное выше, представляет пример ограниченного случайного блуждания, т. е. блуждания при
наличии границы. В следующем примере мы рассмотрим влияние различных типов ограничений, иначе границ, на случайное блуждание в
более общей постановке.
Рассмотрим одномерную решетку, у которой имеются поглощающие узлы (ловушки) в точках х = 0 и х = a (а > 0). Пешеход начинает
движение из точки x0 (0 < x0 < а) и с равной вероятностью переходит в
ближайшие соседние узлы. Среднее время прохода частицы до ее поглощения выражается формулой
1
t
=-. (4.12)
-
(2 ) ( )Dxax
00
Здесь D обозначает коэффициент самодиффузии в отсутствие ловушек, и усреднение производится по всем возможным блужданиям.
Модели случайного блуждания при наличии ловушек сыграли важную роль в физике конденсированного состояния. Например, рассмот-
59
рим следующую идеализированную модель переноса энергии в твердом
теле. Твердое тело представляется в виде решетки с двумя типами узлов: узлы-хозяева и узлы-ловушки. Падающий фотон поглощается узлом-хозяином и возбуждает молекулу. Энергия возбуждения, или экситон, случайным образом передается ближайшим соседям, и
возбужденная молекула возвращается в основное состояние. Экситон
блуждает по решетке до тех пор, пока не достигнет узла-ловушки. Тогда
экситон поглощается и происходит некоторый физический процесс, например химическая реакция.
Одним из вариантов данной модели переноса энергии является одномерная решетка с узлами-ловушками, расположенными в периодической подрешетке. Поскольку эти узлы-ловушки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, то можно заменить случайное
блуждание на бесконечной решетке случайным блужданием по окружности (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Эквивалентность регулярной решетки с узлами-ловушками,
расположенными с периодом 4, и окружности с N = 3 узлами-хозяевами
и одним узлом-ловушкой; узлы-ловушки обозначены светлыми кружками
Здесь рассматривается окружность с N узлами-хозяевами, или не-
поглощающими узлами, и одним узлом-ловушкой.
Знаменитой версией задачи о времени первого прохода является
задача о «разорении игрока». Предположим, что два человека начинают
игру, имея каждый начальный капитал в 10 рублей, и после каждого
броска игральной кости один из игроков должен выиграть 1 рубль, другой должен проиграть столько же. Как долго в среднем смогут они играть до тех пор, пока капитал одного из них не исчерпается? Как долго
смогут они играть, если каждый сядет за стол со 100 рублями?
Кристаллическое твердое тело никогда не является совершенным, а
содержит разнообразные дефекты. Простейшим дефектом является вакансия решетки, например отсутствие атома в узле решетки и помещение дополнительного атома на поверхность. При конечной температуре
в реальном кристалле всегда имеется некоторое число решеточных вакансий. Во многих случаях вакансия диффундирует, меняясь местами с
соседними атомами случайным образом. Предположим, что при t = 0
вакансия расположена в центре окружности радиусом r. С помощью
моделирования методом Монте-Карло можно определить среднее вре-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]