Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование физических явлений. Учебное пособие
.pdf
Любые вероятности вида Р{х' < S < х"} легко вычисляются с по-
x
P
мощью таблицы, в которой приведены значения функции
x
2
/2
t
dt
e
0
, (2.24)
называемой
()
2
интегралом вероятностей.
1
Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов.
2.2.4.2. Правило «трех сигм»
Вероятность попадания реализаций нормально распределенной
a 3
случайной величины в интервал
составляет более 99,7 %:
P{a – 3 < < a + 3} = Ф(3) = 0,997. (2.25)
Вероятность 0,997 настолько близка к 1, что иногда последнюю формулу интерпретируют так:
при одном испытании практически невозмож-
но получить значение
2.2.4.3. Центральная предельная теорема
, отличающееся от M(
) больше, чем на 3
.
Эта замечательная теорема была впервые сформулирована
П. Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П.Л. Чебышев, А.А. Марков,
А.M. Ляпунов. Доказательство ее достаточно сложно.
Рассмотрим
…,
так, что распределения вероятностей этих величин совпадают.
n
N одинаковых независимых случайных величин
,
1
2
Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают (предполагается, что они конечны). Величины эти могут быть как
непрерывными, так и дискретными.
Обозначим
M(
) = M(
1
D(
) = D(
1
Рассмотрим теперь нормальную случайную величину
же параметрами:
утверждается, что
а = Nm,
для любого интервала (а', b') при больших N
s
{' '} ()
abpxdx
bN
=
N
) = … = M(
2
) = … = D(
2
) = m,
n
) = b2.
n
с такими
. В центральной предельной теореме
'
b
N
'
a
.
,
Физический смысл этой теоремы очевиден: сумма
большого
N
числа одинаковых случайных величин приближенно нормальна. На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях:
все слагаемые не обязаны быть одинаковыми и независимыми; сущест-
31
венно только, чтобы отдельные слагаемые не играли слишком большой
роли в сумме.
Именно эта теорема объясняет, почему нормальные случайные величины так часто встречаются в природе. В самом деле, каждый раз, когда мы сталкиваемся с суммарным воздействием большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина
оказывается нормальной.
Например, отклонение артиллерийског
о снаряда от цели почти всегда оказывается нормальной случайной величиной, так как оно зависит
и от метеорологических условий на разных участках траекторий, и от
многих других факторов.
2.3.ПрименениеметодаМонте‐Карло
2.3.1.ОбщаясхемаметодаМонте‐Карло
Допустим, что нам требуется вычислить какую-то неизвестную ве-
личину
М(
пределения которых совпадают с распределением
т. Попытаемся придумать такую случайную величину
) = m. Пусть при этом D() = b
2
.
Рассмотрим N независимых случайных величин
. Если N достаточно
, чтобы
,
, ...,
1
2
, рас-
N
велико, то согласно центральной предельной теореме распределение
суммы
метрами
=
+
N
1
a = Nm, bN
+ ... +
2
. Из (2.25) следует, что
{ 3 3 } 0,997
PNm b N Nm b N
будет приблизительно нормальным с пара-
N
N
.
Если мы разделим выражение, стоящее в фигурной скобке, на N, то
получим эквивалентное неравенство, и вероятность его останется такой же:
{ 3 3 } 0,997
Pm b N N m b N
N
.
Последнее соотношение перепишем в несколько ином виде:
ìü
ïï
Pm
íý
ïï
îþ
N
13
x
-< »
j
1
=
j
N
å
b
0,997
N
.
(2.26)
Это – чрезвычайно важное для метода Монте-Карло соотношение.
Оно дает нам и метод расчета
т, и оценку погрешности.
В самом деле, найдем
N значений случайной величины
находить ли один раз по одному значению каждой из величин
или найти
N значений величины , так как все они имеют одно и то же
(все равно,
,
, ...,
1
2
распределение и предполагаются независимыми). Из (2.26) видно, что
среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно
32
т.
n
С большой вероятностью погрешность такого приближения не превос-
ходит величины
ростом
N.
. Очевидно, эта погрешность стремится к нулю с
3bN
На практике очень часто предпочитают ориентироваться не на
оценку сверху
0,6745
равна
rbN= , и фактическая погрешности расчета в этом слу-
N
3bN
, а на вероятную ошибку, которая приближенно
чае равна
N
N
j
1
m
1
.
j
2.3.2.Прохождениянейтроновсквозьпластинку
Вероятностные законы взаимодействия отдельной элементарной
частицы (нейтрона, фотона, мезона и др.) с веществом известны. Обычно
требуется найти макроскопические характеристики процессов, в которых
участвует огромное количество таких частиц: плотности, потоки и т. п.
Рассмотрим простейший вариант задачи о
прохождении нейтронов сквозь пластинку.
Пусть на однородную бесконечную пластинку
толщиной h падает поток нейтронов с энергией
; угол падения 90°. При столкновении с ато-
E
0
мами вещества, из которого состоит пластинка,
нейтроны могут упруго рассеиваться или поглощаться. Предположим для простоты, что энергия
нейтрона при рассеянии не меняется и любое
направление «отскока» нейтрона от атома одинаково вероятно (последнее иногда справедливо
в веществах с тяжелыми атомами). На рис. 2.5
изображены различные варианты взаимодействия нейтр
онов с пластинкой: а – нейтрон прохо-
Рис. 2.5. Различные
случаи «судьбы»
нейтронов, падающих
на пластинку
дит сквозь пластинку; б – нейтрон поглощается в
пластинке; в – нейтрон отражается пластинкой. Требуется вычислить
+
вероятность прохождения нейтрона сквозь пластинку р
–
отражения нейтрона пластин р
0
пластинке р
.
и вероятность поглощения нейтрона в
; вероятность
Взаимодействие нейтронов с веществом характеризуется в рассматриваемом случае двумя постоянными
и s, которые называются
c
сечением поглощения и сечением рассеяния (индексы с и s – это первые
буквы английских слов capture – захват и scattering – рассеяние). Сумма
этих сечений
=
+ s называется полным сечением.
c
33
Физический смысл сечений следующий: при столкновении нейтро-
на с атомом вещества вероятность поглощения равна
ность рассеяния равна
Длина свободного пробега нейтрона
/ .
s
(т. е. длина пути от столкно-
/ , а вероят-
c
вения до столкновения) – это случайная величина. Она может принимать любые положительные значения с плотностью вероятностей
–x
e
p(x) =
.
Мы можем сразу написать выражение для средней длины свободного пробега:
> = 1/,
<
а также формулу для розыгрыша
– случайная величина на интервале (0, 1).
где
:
= –(1/)ln
,
Остается еще выяснить, как выбирать случайное направление нейтрона после рассеяния. Так как задача симметрична относительно оси х,
то направление вполне определяется одним углом
между направлени-
ем скорости нейтрона и осью Ох. Можно доказать, что требование равной вероятности любого направления в этом случае равносильно требо-
ванию, чтобы косинус этого угла
= cos был равномерно распределен
в интервале (–1, 1) и
= 2 – 1.
2.3.3.Схемамоделированиятраекторийнейтронов
Предположим, что нейтрон испытал k-e рассеяние внутри пластинки в
точке с абсциссой x
чал двигаться в направлении
и поcле этого на-
k
. Разы-
k
граем длину свободного пробега
= –(1/)ln
и вычислим абсциссу следующего
столкновения (рис. 2.6)
x
k + 1
= xk +
k
.
k
Рис. 2.6
Проверим условие прохождения
сквозь пластинку:
> h.
x
k + 1
Если это условие выполнено, то счет траектории нейтрона заканчивается и добавляется единица к счетчику прошедших частиц. В противном случае проверяем условие отражения:
< 0.
x
k + 1
34
Если это условие выполнено, то счет траектории заканчивается и
добавляется единица к счетчику отраженных частиц. Если же и это условие не выполнено, т. е. 0
x
h, то значит, нейтрон испытал (k + 1)-е
k + 1
столкновение внутри пластинки, и надо разыграть «судьбу» нейтрона
при столкновении.
Выбираем очередное значение
и проверяем условие поглощения:
< ΣΣ
g
.
c
Если последнее неравенство выполнено, то счет траектории заканчивается и добавляется единица к счетчику поглощенных частиц. В противном случае мы считаем, что нейтрон испытал рассеяние в точке с абсциссой x
. Тогда разыгрываем новое направление скорости нейтрона
k+1
21
1
k
и затем повторяем весь цикл снова (но, конечно, уже с другими значениями
значение
ектории нужны три значения
Все
).
написаны без индексов, так как имеется в виду, что каждое
используется всего один раз. Для расчета одного звена тра-
. Начальные значения для каждой траек-
тории:
0, 1x
00
После того как будут сосчитаны N траекторий, окажется, что N
.
+
нейтронов прошли сквозь пластинку, N– нейтронов отразились от нее, а
0
N
нейтронов были поглощены в ней. Очевидно, искомые вероятности
приближенно равны отношениям:
NNN
ppp
,,.
0
0
NNN
На рис. 2.7 приведена блок-схема программы для расчета этой задачи. Индекс j – это номер траектории; индекс k – номер столкновения
(вдоль траектории).
Отметим только, что метод Монте-Карло позволяет решать гораздо
более сложные задачи об элементарных частицах: исследуемая среда
может состоять из различных веществ и иметь любую геометрическую
структуру; энергия частицы при каждом столкновении может меняться.
Можно учитывать много других ядерных процессов (например, возможность деления атома при столкновении с нейтроном и образов
при этом новых нейтронов). Можно рассчитать условие возникновения
ание
и поддержания цепной реакции и т. д.
35
Рис. 2.7. Блок-схема программы расчета прохождения нейтронов
в пластине
36
3.ПОТОКЗАРЯЖЕННЫХЧАСТИЦВКРИСТАЛЛЕ
3.1.Эффектканалирования
В случае падения пучка заряженных частиц (ионов) на монокристаллическую мишень под малым углом к низкоиндексной кристаллографической оси или плоскости процессы взаимодействия отличаются
от взаимодействия с аморфным телом. В этом случае реализуется эффект каналирования при условии малоуглового рассеяния частиц в поле
упорядоченно расположенных атомов монокристалла. При этом, если
упорядочение ато
вдоль кристаллографической оси, то говорят об осевом каналировании;
если же траектории частиц определяются совокупностями атомов, соответствующих плоскостной упорядоченности, то это плоскостное кана-
лирование. Коллективное отталкивающее действие со стороны атомов
кристалла приводит к тому, что частицы длительное время проводят в
областях с малой плотностью электронов. В результате уменьшаются
потери энергии и увеличивается пробег.
Эффект каналирования был предсказан не
Й. Штарком, который писал в 1912 году: «… вдоль некоторых выделенных осей заряженные частицы частицы могут проникать на значительно
большие расстояния…» [1]. Обнаружено каналирование в 1963 г. Робинсоном и Оеном, которые выполнили компьютерное моделирование
проникновения ионов в кристалл. Их расч
ны экспериментально.
Для установления характера движения заряженной частицы в осевом канале (далее мы будем рассматривать только осевое каналирование) приведем простой пример двумерных каналов, образованных двумя атомными рядами (рис. 3.1). Потенциал, описывающий
взаимодействие между ионом с атомным номером
атомом с атомным номером Z
висящей от многих параметров: расстояния r, относительной скорости
зарядовых и массовых характеристик иона и атома. Корректный учет
v,
всех этих факторов чрезвычайно затруднен, поэтому, как правило, используют аппроксимацию, сводящую число параметров к некоторому
минимально возможному. Во многих случаях хорошим приближением
является статистическая модель Томаса–Ферми:
где
(r/a) – функция экранирования; a – характерный радиус экраниро-
вания (радиус Томаса–Ферми).
мов реализовано в виде цепочек, ориентированных
мецким физиком
еты были вскоре подтвержде-
Z
и изолированным
1
, в общем случае является функцией, за-
2
2
zze
() ( / )
Vr r a
12
=
j
, (3.1)
r
37
Потенциал в такой форме обладает двумя важными особенностями:
Z
E
во-первых, он зависит только от расстояния между ионом и атомом; вовторых, данный вид функции экранирования обеспечивает сходные
свойства для любых комбинаций ион–атом.
Рис. 3.1. Схема траекторий ионов в монокристалле
Основные теоретические представления эффекта каналирования
тяжелых частиц (протонов,
-частиц и других тяжелых ионов) были
сформулированы Дж. Линдхардом. Им были получены выражения для
критического угла
, в пределах которого наблюдается этот эффект.
с
Согласно Линдхарду, критический угол для осевого каналирования определяется выражением
Ze
12
d
2
, (3.2)
2
где
E – энергия налетающих ионов; d – расстояние между соседними
=
c
атомами в цепочке.
Наиболее примечательной особенностью каналирования, кроме его
сильной анизотропии по направлениям, является наличие нижней гра-
b
ницы для прицельного параметра
тицы с атомами мишени;
однозначно определяет b
c
в столкновениях налетающей час-
min
. При каналиро-
min
вании уменьшается интенсивность физических процессов,
наблюдаемых при близких расстояниях между частицей и атомами мишени (резерфордовского рассеяния, ядерных реакций, характеристиче-
38
ского рентгеновского излучения). В результате в ориентационных зависимостях выхода таких процессов появляются характерные минимумы,
соответствующие падению пучка параллельно выбранному кристаллографическому направлению. Форма и размеры таких ориентационных
зависимостей определяются структурой, совершенством, температурой
кристалла, зависят от типа и энергии налетающих на мишень частиц.
Это позволяет использовать эффект для решения задач по опреде
лению
состояний твердого тела, в частности для определения совершенства
мишени, состояния ее поверхности, определения местоположения и
распределения по глубине примесных атомов и собственных радиационных нарушений, исследования структуры многокомпонентных кристаллов и в других целях
Для удобства рассмотрения процесса каналирования выделяют две
компоненты пучка частиц – каналированную и деканалированную.
К последней относятся те частицы, которые вышли из режима каналирования и движутся в крист
алле как в аморфном теле. В совершенном
кристалле при падении частиц вдоль цепочки атомов (
= 0) в каналиро-
ванной компоненте находится обычно 95–98 % частиц. Небольшая
часть частиц (от двух до пяти процентов), которые при падении в кристалл испытывают рассеяние на атомных ядрах, находящихся на поверхности кристалла, попадают в деканалированную компоненту.
Вычислительный эксперимент занимает ведущее место среди теоретических методов исследования прохождения частиц в кристаллах.
Было проведено достаточно большое количеств
о работ, посвященных
такому исследованию. Моделирование на компьютере траекторий заряженных частиц в монокристалле помогает понять, как упорядоченность
структуры вещества сказывается на характере взаимодействия. Более
того, при моделировании может быть учтена реальная структура монокристалла и оценена роль тех или иных факторов, например тепловых
колебаний атомов и электронного рассеяния, в формировании общей
картины процесса. Кроме эффект
а каналирования существуют и другие
важные проблемы взаимодействия заряженных частиц с кристаллами,
такие как распыление поверхности, развитие каскада соударения в
твердых телах и формирование радиационных эффектов. Практическая
значимость этих задач велика. С ними связаны разработки новых методов исследования структуры вещества и поверхности, разработка бесполевых методов поворота пучков частиц, важные области мат
ериало-
ведения и полупроводниковых технологий.
Моделирование траекторий предполагает рассмотрение процесса
рассеяния заряженной частицы кристаллической решеткой в рамках
классической механики. В
бинарном приближении траектория заряжен-
39
ной частицы в кристалле определяется результатом ряда последовательных независимых столкновений с отдельными атомами кристаллической решетки. Роль квантовых эффектов, обуславливающих неопределенность угла рассеяния в однократном столкновении, тем больше,
чем выше скорость частицы, тогда как квантовые поправки к классическому описанию в случае последовательного ряда столкновений
уменьшаются. Не существует однозначного от
вета на вопрос, начиная с
каких энергий можно считать взаимодействие бинарным, т. е. не учитывать одновременное взаимодействие с несколькими атомами ближайшего окружения. Вместе с тем в случае каналирования частица движется с
близкими прицельными параметрами с несколькими атомами из атомных рядов кристалла. В этом случае эффект многократности играет существенн
ую роль, обуславливая специфические траектории. Кроме того, в бинарном приближении, независимо от конкретного окружения,
траектории рассеянной частицы расчитывают, используя
асимптотику
рассеяния.
Роль многочастичных взаимодействий может быть выяснена с помощью проведения вычислительных экспериментов, использующих
различные модельные представления о взаимодействии. Для этого необходима иерархия моделей, включающая как простую, учитывающую
только парные столкновения, так и более сложную, учитывающую многократность. В настоящее время такие модели достаточно разработаны
и позволяют проводить расчеты с различной степенью полноты описания. В таб
Бинарная Только рассеяние на одном атоме
Уточненная бинарная
Полудинамическая
Динамическая
л. 3.1 показана иерархия этих моделей.
Таблица 3.1
Иерархия используемых моделей
Модель Характеристика модели
Есть учет рассеяния на группе атомов в рамках
парных соударений
Результирующая сила многократного взаимодействия расчитывается как векторная сумма сил,
действующих в результате парных взаимодействий. Рассматриваются только атомы из ближайшего окружения
Подобна полудинамической модели, но рассматривает движение всех атомов в конечном кристаллите
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]