Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерное моделирование физических явлений. Учебное пособие
.pdf
Взаимодействия между частицами и атомами кристалла описываются потенциалом Бора или потенциалом Томаса–Ферми. Для учета экранирования атомного ядра электронной оболочкой для потенциала Томаса–Ферми вводится приближение Мольер. В моделях применяются и
другие функции экранирования, называемые потенциалами Ленца–
Йенсена, Комарова, Калбицера, и универсальный потенциал. Тепловые
колебания атомов распределяются по нормальному закону около их
равновесных положений. Дл
я упрощения прослеживания траекторий
вводится асимптотическое приближение. Наряду с осевым каналированием изучается также и каналирование в атомных плоскостях. В моделях рассматриваются как совершенные кристаллы, так и кристаллы, содержащие дефекты решетки или примесные атомы.
3.2.Источникионов
Реальный источник ионов (ускоритель) имеет в качестве основной
аналитической характеристики функцию плотности распределения ионов в фазовом пространстве, определение которой в общем случае является сложной экспериментальной задачей.
Идеальный источник ионов не существует в природе, но само по-
нятие такого источника играет положительную роль по крайней мере в
двух аспектах. Во-первых, для экспериментатора – это набор характеристик, к которому нужно стремиться при конструировании реального источника. Во-вторых, для теоретика – это возможность оценивания вкладов реального источника в тот или иной физический процесс.
Плотност
дующим образом:
ь распределения ионов идеального источника выглядит сле-
где
– дельта-функция Дирака. Такого типа источник общепринято на-
зывать
I(r, , E) =
точечным, мононаправленным, моноэнергетическим.
(r – r0)
( –
) (E – E0), (3.3)
0
Идеализированный источник ионов, который может непосредст-
венно использоваться в расчетах, должен, с одной стороны, быть максимально подобен реальному источнику и, с другой стороны, быть максимально удобным при расчетах с алгоритмической точки зрения.
3.3.Кристаллическаяструктура
Идеальный кристалл можно представить в виде повторяющихся в
пространстве одинаковых структурных единиц, называемых элементарной ячейкой. Aтомы элементарной ячейки располагаются вблизи строго
определенных координат, называемых узлами кристаллографической
решетки. На рис.
3.2 показана элементарная ячейка кристаллической
41
решетки алмаза. Смещение атома из узла может быть обусловлено либо
температурными колебаниями, либо дефектами кристаллической структуры.
Важной характеристикой кристалла является понятие кристаллической плоскости, положение и ориентация в пространстве которой определяется координатами любых трех атомов, расположенных в узлах
кристаллической решетки. Линия пересечения двух или более плоскостей называется кристаллической осью. Плоскости принято обозн
ачать
индексами Миллера, которые представляют собой относительные координаты атомов, задающих плоскость. Отметим, что в данной работе нас
будут интересовать только низкоиндексные плоскости и оси как наиболее выраженные. На рис. 3.2 показаны низкоиндексные плоскости (
алмазной решетки
.
i j k)
Рис. 3.2. Элементарная ячейка кристалла алмазоподобной структуры
и ее проекция на низкоиндексные плоскости
Пространство между двумя параллельными кристаллографическими плоскостями при рассмотрении процессов каналирования заряженных частиц называют плоскостным каналом. Пространство, общее для
двух и более плоскостных каналов, называют осевым (аксиальным) каналом. Проекции
низкоиндексных осевых каналов показаны на рис. 3.2.
Поток частиц можно направить вдоль кристаллографической оси, а
также и под некоторым углом к ней.
42
Атомы решетки подвержены тепловым колебаниям. Эти колебания
M
рассматриваются как независимые с амплитудами смещений из равновесных положений распределенными по закону Гаусса:
fq
2
() exp
1
2
q
, (3.4)
2
2
где – среднеквадратичное отклонение;
2
3
2
1
2
kT T
D
TT
36
2
D
, (3.5)
где T – температура кристалла; M – атомная масса; k – постоянная
T
Больцмана;
– температура Дебая.
D
В модели можно разыгрывать только поперечные компоненты
смещений (по
x и y), так как из-за малости углов между направлением
движения частиц и осью кристалла продольными смещениями можно
пренебречь.
Окончательные координаты атома:
,
T
(3.6)
,
T
(3.7)
где
xx x
x
и y0 – координаты равновесного положения атома;
0
x
T
y
T
0
yy y
0
2
2 ln( ) cos(2 ),
2
2ln()sin(2),
где – число, равномерно распределенное случайным образом на интервале (0, 1).
На рис. 2.1 показан «эффективный канал», в который помещается
весь поток ионов при условии, что ионы между собой не взаимодействуют. Здесь мы используем основное свойство монокристаллов – ближний и дальний порядок.
Если в процессе многократного рассеяния ион покинул пределы
эффективного канала, но не деканалировал (угол вектора импульса иона
с кристаллографической осью мень
ше критического угла каналирования), можно считать возможным искусственно поместить его в эффективный канал при условии сохранения характеристик движения иона в
соседнем канале (его фазовые координаты относительно ближайшего
окружения атомов). Такой подход позволяет значительно сократить
время расчета на компьютере. Изменения координат и углов при таком
подходе указ
аны на рис. 3.3.
43
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рис. 3.3. Изменение координат при переходе частицы в соседний канал
без деканалирования: индекс m соответствует ширине канала,
индекс n – текущим координатам,
индекс 0 – возвращаемым координатам
Область 1 2 3 4 5 6 7 8
x
0
y
0
00x
y
n
2
y
n
n
yn
x
mn
y
n
xn
yn
2
mn
y
n
xn
yn
x
2
x
2
yy
mn
mn
xn
yn
x
n
yy
2
mn
xn
yn
x
n
yy
2
mn
xn
yn
y
n
n
n
yn
n
y
n
n
yn
В современных моделях не ограничиваются рассмотрением эволюции потока только в одном канале, а рассматривают систему из множества атомов, расположенных в соответствии с особенностями заданной
кристаллической решетки. Количество атомов может достигать сотен
тысяч. Предполагается, что такой кристаллит отражает основные свойства реального кристалла.
3.4.Рассеяние
Для моделирования траектории пробега заряженных частиц в кристалле необходимо знать процесс рассеяния частиц атомами кристаллической решетки с позиций классической механики.
Основным достоинством метода Монте-Карло является сведение
нерешаемой точно многочастичной задачи к последовательности элементарных процессов, решаемых аналитическими методами точно или с
использованием приближений, точность которых хорошо изучена. Схематично рассеяние ионов на атомах по
казано на рис. 3.4.
44
Рис. 3.4. Схема рассеяния иона на атоме монокристалла в процессе
однократного соударения:
()r и r
– полярные координаты иона;
R – расстояние максимального сближения; О – рассеивающий центр
(начало координат);
– приведенная масса; – угол рассеяния
В нашем случае сложное взаимодействие налетающего иона с цепочкой атомов кристалла заменяется совокупностью последовательных
столкновений иона с очередным атомом, т. е. двухчастичной задачей,
решение которой хорошо известно.
При построении реальные плавные траектории можно рассматривать как ломанные кривые, т. е. ограничиться асимптотическим приближением. При этом траектория и центр рассеяния леж
ат в одной
плоскости, асимптоты траектории частицы, падающей и рассеянной,
лежат на одинаковом расстоянии от центра рассеяния.
Вычисление угла рассеяния для больших прицельных параметров
или больших кинетических энергий упрощается, если применить импульсное приближение. В этом случае вычисления можно производить
непосредственно в лабораторной системе координат.
Для определения углов рассеяния используется экранированный
потенциал Томаса–Ферми (3.1). Функция экранирования
(r/a) берется
в приближении Мольер:
6/ 1,2/ 0,3/
ra ra ra
( / ) 0,1 0, 55 0, 35
ra
j
-- -
=+ +
. (3.8)
Направление входящей асимптоты в ЛСК для бинарного столкновения находится путем решения стандартного интеграла рассеяния:
2(),
bdrrfr
R
() 1 ,
fr
2
2
bVr
rE
45
()
2
1
(3.9)
1/ 2
r
где b – прицельный параметр; R – расстояние ближайшего приближения
E
æö æ ö æ ö æ ö
ç÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
èø è ø è ø è ø
p
m
f(R) = 0;
атома;
m
r
– масса налетающей частицы.
1
Для больших прицельных параметров
2
mm
12
– энергия в СЦИ; m2 – масса рассеивающего
E
находится посредством
импульсного приближения. Ограничения при этом определяют члены
наивысших порядков в сумме:
n
nn
11
nn
ZZe b
2
12
aE a
r
f
. (3.10)
Достаточно будет использовать только первый член:
61,2 0,3
bb b
aa a
, (3.11)
где
b
fK K K
11 1 1
0, 6 0, 66 0,105
=+ +
a
K
– модифицированные функции Бесселя первого порядка.
1
Рис. 3.5. Угловые параметры импульса p иона в ЛСК: – угол наклона
плоскости рассеяния;
– угол вектора импульса относительно оси OZ;
x, y – проекции угла
В ЛСК угол представляет собой угол между направлением векто-
p
ра импульса иона
и осью OZ (рис. 3.5).
Поскольку мы используем малоугловое приближение, то без ущер-
ба для точности расчетов можем характеризовать угол рассеяния проек-
p
цией единичного вектора импульса
на плоскость, перпендикуляр-
||
ную кристаллографической оси. Тогда угловые характеристики
импульса иона в ЛСК будут представлены следующими вариантами:
cos ,
x
sin .
y
46
(3.12)
При подстановке
части соответствующиая проекция изменится на
x
или
в левую часть выражения (3.10) в правой
y
bx или b
.
y
Критерием разделения частиц на ионы, вышедшие из процесса ка-
налирования (деканалированные), служит сравнение полученного угла с
критическим углом Линдхарда
(3.2).
с
Если угол между направлением движения частицы и кристаллографической осью
разряд деканалируемых. Критический угол
тическим минимальным прицельным параметром
ляется из (3.10), если в левой его части стоит
больше
, то исследуемая частица переходит в
с
однозначно связан с кри-
с
b
, который опреде-
min
. Смысл b
с
в том, что
min
каналированная налетающая частица не может подойти к атомному ряду ближе, чем на это расстояние. Судьба деканалированных частиц в
дальнейшем не прослеживается. Эти частицы будут испытывать хаотичное рассеяние в кристалле
.
■Программа для пакета Mathematica моделирования прохождения потока
ионовHe2+вкристаллеGe<100>приT=0Кбезучетадеканалирования.
▪Описаниеалгоритма
Алгоритмрасчетапрограммымоделированияпрохожденияионоввканале
<100>кристаллагерманиядлясредыMathematicaпостроеннабазетеоретических
предпосылок,окоторыхговорилосьвпредыдущихпараграфах.
Объектно‐ориентированныйподход,заложенныйвMathematica,предполага‐
ет,чтооперациибудутпроизводитьсянадвсемпотоком,аненадотдельнойчасти‐
цей,какэтомоглобыбытьприпрограммированиинанеобъектно‐
ориентированныхязыках.
Послезадания параметровивспомогательных рабочихконстант определяем
необходимыефункции.Затемформируеммассивугловрассеянияanдлясравнения
в процессе взаимодействия. Здесь мы задаем радиус охвата рассеянием rbm –
иными словами, максимальное расстояние, где ещеучитывается взаимодействие
ионасатомом(рис3.3).Происходитсвоегородаделениекругасрадиусомrbmна
концентрические окружности с шагом,определяемым параметромistep.Сделано
этодлятого,чтобыизбавитьсяотсущественнойзагрузкикомпьютерапривыполне‐
нииосновногоцикла.
Вкачествеизменяемыхпараметроввнашемслучаеберутсячислоионоввпо‐
токеичислослоев. Слойв данномслучае дляканала<100> равенпостоянной ре‐
шетки,внемпоследовательнорассматриваетсявзаимодействиепотокаионовсче‐
тырьмяатомами,которыеобразуют<100>‐каналвэлементарнойячейкекристалла.
Далее следует ячейка с операторами печати параметров, операторами,за‐
дающимиравномернораспределенныйначальныйпотокионовспомощьюметода
Монте‐Карло.Такжевэтуячейкувходятоператоры,формирующиеключевуюфунк‐
циюActionдлярасчетатраекторийионов.Послепроходакаждогоатомаосуществ‐
47
ляетсяанализвыходачастицыизканалаимодификацияпространственныхи угло‐
выхкоординат (возвратв «эффективный»канал) (рис3.3).Послевыполненияэтой
ячейки происходит печать параметров и графический вывод координатного рас‐
пределенияначальногопотока.
И,наконец, задаем основной цикл дляфункции Actionсграфическимвыво‐
домраспределенияпотокапослекаждогослоя.
▪Программа
Ячейка1:Заданиепараметров
z2=32; (* заряд атома *) z1=2; (* заряд частицы *)
m2=72.59;(* масса атома, а.е.м. *) m1=4.003; (* масса частицы, а.е.м.*)
cons=5.657; (* пост. решетки, А *) el=1.8; (* энергиЯ частиц, Мэв *)
elkev=el*1000; (* энергиЯ частиц, кэв*)
tetin=0; (* нач. угол влета, рад *)
dimz=1414.245; (* шаг между соседними атомами в канале, мA*)
maxc=rbx=rby=2000; (* граница канала, мA*)
chanal={{0,0},{0,2000},{2000,2000},{2000,0}}; (* координаты атомов в ка-
нале *)
(* Трансф. коэффициенты *)
radgr=1/Degree; (* рад в град *) angma=1000; (* ангстрем в мА *)
maang=0.001; (* мА в А *)
atf=0.468345/Sqrt[ z1^(2/3) + z2^(2/3) ]; (* радиус Томаса-Ферми, A *)
psikr=psich=Sqrt[ z1*z2*2.8804*10^(-5)/(cons*el)]; (* критический угол,
рад *)
psigr=psichg=psich*radgr; (* критический угол, град *)
teting=tetin*radgr; iatf=atf*angma; epsi=z1*z2*14.4*10^(-6)/(el*atf);
Hyp[n_,m_]:=N[Sqrt[n^2+m^2]]; (* гипотенуза *)
(* угол рассеяния *)
ra=rb/atf;
Ansin[rb_,atf_,epsi_]= epsi* (0.6*BesselK[1, 6*ra]+
0.66*BesselK[1, 1.2*ra]+0.105*BesselK[1, 0.3*ra]);
(* критический прицельный параметр *)
rbbkr=rb/.FindRoot[ rb-Ansin[ rb,atf,epsi]==0, {rb,10^(-10),cons}];
rbm=3000; (* радиус охвата рассеянием , мА *) b=istep*maang; (* A *)
an=N[ Table[Ansin[ b,atf,epsi]/istep,{istep,rbm}] ] ; (* рад/мА *)
nI=1000 ; (* число ионов *)
nlayers=20; (* толщина , число. постоянных решетки *)
dte=Date[];
Print [ " ",dte[[4]],":",dte[[5]]," ", dte[[3]],"-",dte[[2]],"",dte[[1]] ];
Print [ "заряд атома z2=",z2," заряд частицы z1=",z1];
Ячейка2:Рабочиеконстанты
Ячейка3:Функции
Ячейка4:Массивугловрассеяния
Ячейка5:Изменяемыепараметры
Ячейка6:Расчетраспределенияпотока
48
Print [ "масса атома,а.е.м. m2=",m2, " масса частицы,а.е.м. m1=" ,m1];
Print [ "пост. решетки, анг cons=",cons, "энергия частиц ,мэв el=",el ];
Print ["толщина, ч.пос.реш. nlayers=",nlayers,"число частиц nI=", nI];
Print [ "нач. угол влета, рад tetin=", tetin];
Print [ "шаг между атомами, манг dimz=",dimz];
Print [ "радиус захвата, манг rbm=", rbm];
Print [ "радиус томаса-ферми, манг iatf=", N[iatf] ," epsi=", N[epsi]];
Print [ "крит. угол psikr=", psikr, " рад psigr= ", N[psigr] ," град"];
Print [ "крит.приц.параметр rbbkr=", rbbkr];
Ion=Table[ Random[Real, maxc ],{nI},{2}];(* начальные координаты ионов
*)
tetaxy=Table[0, {nI}, {2}]; (* начальное угловое распределение *)
ListPlot[Ion,Frame->True,PlotRange->{{0,maxc},{0,maxc}},
AspectRatio -> 1,PlotLabel -> init]; (*график распределения нач.потока
*)
(* массив расстояний X и Y до атома *)
Action[at_]:=Module [ {r,dr},rxry=Table[Ion[[i]]-chanal[[at]],{i,nI}];
r=Round[ Table[Hyp[rxry[[i,1]],rxry[[i,2]]],{i,nI}] ]; (*гипотенуза *)
(* приращение попер. расст. dx dy *)
Table[If[r[[i]]<rbm, tetaxy[[i]]=tetaxy[[i]]+an[[ r[[i]] ]]*rxry[[i]],
tetaxy[[i]]=tetaxy[[i]] ], {i,nI}];
Ion=Ion+dimz*tetaxy; (* новые координаты без учета выхода из канала *)
(* Анализ выхода из канала и модификация координат *)
Do[ Which [ Ion[[i,1]]<0, {Ion[[i,1]]=-Ion[[i,1]], tetaxy[[i,1]]=tetaxy[[i,1]] } ],{i,nI} ];
Do[ Which [ Ion[[i,2]]<0, {Ion[[i,2]]=-Ion[[i,2]], tetaxy[[i,2]]=tetaxy[[i,2]] } ] ,{i,nI}];
Do[ Which [ Ion[[i,1]]>maxc, {Ion[[i,1]]=2*maxc-Ion[[i,1]],
tetaxy[[i,1]]=-tetaxy[[i,1]] } ] ,{i,nI}];
Do[ Which [ Ion[[i,2]]>maxc, {Ion[[i,2]]=2*maxc-Ion[[i,2]],
tetaxy[[i,2]]=-tetaxy[[i,2]] } ] ,{i,nI}];
]
Do [
{ Do[ Action[i],{i,4}];
ListPlot[Ion,Frame->True,PlotRange->{{0,maxc},{0,maxc}}, AspectRatio ->
1, PlotLabel -> n];
} ,{n,nlayers}]
Ячейка7:Основнойцикл
▪Возможныерезультаты
Выборочныерезультатыработыпрограммыприведенынарис.3.6.Нонедля
германия,адляарсенидагаллияGaAs.ВтаблицеМенделееваGa31,Ge32иAs33рас‐
положены рядом,иихзаряды,аследовательно,ивоздействиянапролетающие
ионынесильноотличаютсядруготдруга.Исследуемыйпотокионовпрослеживал‐
сядо глубиныL = 668нм.Первоначальный потокраспределен равномерно(0нм).
Сростомглубинычастицыначинаютудалятьсяотатомныхрядовкцентруканала.
49
Рис. 3.6. Пространственное распределение потока ионов He+
с энергией 1.8 МэВ в кристалле GaAs: поток, состоящий из 10 000 ионов,
равномерно падает на кристалл вдоль кристаллографической оси <100>;
далее приведены результаты для следующих глубин (слева направо):
23, 51, 96, 125, 170, 232, 294, 340, 396, 453, 668 нм
Первыймаксимумсжатиякцентрунаходитсянаглубинеоколо50нм.Затем
ионы впоследствии инерционности опять распределяются почти по всей площади
канала, только рядом с атомами наблюдаются обедненные зоны.Такойпроцесс
имеетосциллирующийхарактернанебольшомрасстоянииотповерхностикристал‐
ла.Затемосцилляциипотокасглаживаются,инабольшойглубинепотокраспреде‐
ляетсяповсей возможнойплощадиканала,чтоговорит онаступлениистатистиче‐
ского равновесия в глубине кристалла. На протяжении исследуемой глубины
наблюдаются«узоры»,состоящиеизфракцийчастиц,фазовыекоординатыкоторых
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]