Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгоритмы и программные средства имитационного моделирования систем. Учебное пособие
.pdf
x
t
dtex
0
2
;
2
1
)(
2
);(
2
1
)(
mx
xF
;)(}{
dxxfXP
).()()()(}{
m
m
FFXP
1
F(x)
t
m
0,5
0
21
Функция распределения F(x) не может быть получена по формуле, так как в элементарных функциях невозможно взять интеграл. Ее
находят, используя табличную функцию Лапласа:
Нормальному закону распределения подчиняются многие случайные явления техники и природы. Такое распределение возникает в
тех случаях, когда суммируется много независимых случайных величин. Этот факт доказывается центральной предельной теоремой теории вероятностей.
2.3.4. Распределение Пуассона. Потоки событий
Рис. 2.7
Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее значения 0, 1, 2, … имеют следующие вероятности:
,
22
t
T
где параметр a является одновременно математическим ожиданием и
дисперсией.
Распределение Пуассона играет важную роль в задачах моделирования. С ним связано понятие простейшего потока событий. Поток
событий – последовательность однородных событий, возникающих
одно за другим в случайные моменты времени (поток вызовов на телефонной станции, поток отказов электронной аппаратуры).
Поток характеризуется интенсивностью – средним числом событий в единицу времени.
Поток называют простейшим, если он удовлетворяет следующим
условиям:
1) является стационарным (вероятностные характеристики не
изменяются во времени);
2) является ординарным (события возникают по одному, а не
сразу кучей);
3) не имеет последействия (предыдущие события не влияют на
следующие).
Пусть случайная величина X выражает число событий, попадающих на произвольный промежуток времени длиной .
Доказано [3], что если поток событий является простейшим и имеет
интенсивность , то случайная величина X распределена по закону
Пуассона
с параметром a = :
где mx = Dx = (x)2= .
Нетрудно показать, что в простейшем потоке интервал времени T
между соседними событиями (рис. 2.8) является случайной величиной, распределенной по показательному закону.
,
Рис. 2.8
Действительно, если - произвольный промежуток времени, то
вероятность того, что за время не произойдет ни одного события
23
t
T
(m = 0), равна P0() = e
P{T > } = e
-
, как это показано на рис. 2.9 .
t
T
Функция распределения случайной величины T определяется как
F() = P{T < }, где неравенство T < требует попадания хотя бы одно-
го события на участок времени длиной (рис. 2.10). Отсюда получаем,
что случайная величина T удовлетворяет показательному закону, так
как
где 0.
Плотность распределения f() = () определяется как
-
. При этом очевидно, что P0() = P{T > } или
Рис. 2.9
F() = P{T < } = 1 - P0() = 1 - e
f() = e
-
, где 0.
-
,
Рис. 2.10
2.4. Элементы математической статистики
Математическая статистика занимается методами обработки экспериментальных данных, полученных при наблюдении случайных
явлений. При исследовании моделей проектируемых систем экспериментальные данные получают в результате проведения численных
экспериментов с этими моделями. Основными задачами математической статистики являются:
1) упорядочение статистических данных и представление их в
виде, удобном для анализа;
2) оценка характеристик случайных величин, над которыми про-
водились наблюдения или эксперименты;
3) проверка правдоподобия статистических гипотез.
24
x1 ÷ x2
x2 ÷ x3
…
xi ÷ x
i+1
…
xk ÷ x
k+1
…
2.4.1. Упорядочение статистических данных
Результаты измерений, наблюдений или экспериментов оформляются в виде так называемой первичной статистической совокупности. Она представляет собой протокол, в котором фиксируются номер
опыта l, а также значение случайной величины xl, которую получают в
этом опыте.
После проведения всех экспериментов полученные значения случайной величины упорядочивают по возрастанию. В результате получают упорядоченную статистическую совокупность. Если представить
эту совокупность в виде множества точек на координатной плоскости
(номер опыта – значение случайной величины), то приближенно можно судить о законе распределения случайной величины. Однако для
этой цели обычно используют группированный статистический ряд и
построенные на его основе гистограммы или полигон распределения.
Чтобы получить группированный статистический ряд, весь участок числовой оси, на котором расположены значения случайной величины , делится на интервалы или разряды. В итоге группированный статистический ряд представляется в виде таблицы следующего
вида:
Таблица 2.1
Здесь в верхней части задаются интервалы xi ÷ x
частоты
*
(i = 1, 2, …k). Частота характеризует количество попаданий
i
i+1
случайной величины X в соответствующий интервал (xi , x
где n – число опытов (общее количество значений случайной величины), ni – количество попаданий на i интервал.
Возможны случаи, когда значения случайной величины попадают
точно на границу интервалов. В этом случае допускается относить эту
случайную величину к любому из соседних интервалов (либо все влево, либо все вправо) либо прибавлять по половине значений к каждому
из интервалов. При этом, очевидно, должно выполняться условие:
где
- частота попадания случайной величины в i-й интервал.
, а в нижней
):
i+1
25
x1 ÷ x2
x2 ÷ x3
…
xi ÷ x
i+1
…
xk ÷ x
k+1
…
x1 x
2 x3 x4
x
k xk+1
x
На основе группированного статистического ряда легко построить статистическую функцию распределения, как это показано на рис.
2.11.
Рис 2.11
Если разделить каждое значение частоты
вующего интервала
, то можно получить аналогичную
таблицу (табл. 2.2), которая будет описывать плотности частоты:
на длину соответст-
Таблица 2.2
Эти данные позволяют построить гистограмму (рис. 2.12), которая является статистическим аналогом кривой распределения.
26
Рис 2.12
Если выделить середину каждого интервала, затем соединить ломаной линией точки, то такая фигура будет называться полигоном
распределения.
2.4.2. Выравнивание статистических распределений
В любом статистическом распределении присутствуют элементы
случайности. Это связано с ограниченным числом опытов. Поэтому на
практике часто бывает необходимо подобрать для имеющегося статистического распределения аналитическую формулу. Такая задача называется Выравниванию обычно подвергаются гистограмма. Она заменяется гладкой
кривой, отражающей свойства статистических данных, которая имеет
известное аналитическое выражение. В дальнейшем это выражение
используется в качестве плотности распределения случайной величины.
Выбор выравнивающей кривой осуществляется одним из двух
способов.
1. Исходя из условий возникновения случайной величины. На-
пример, если случайная величина формируется под воздействием многих случайных факторов, то это обычно нормальное распределение.
2. Визуально по виду гистограммы.
В любом из указанных вариантов выбор параметров, входящих в
выражение f(x), должен выполняться таким образом, чтобы наилучшим
образом согласовать статистическое и аналитическое распределения.
Для выбора параметров обычно используется метод моментов. В
соответствии с этим методом требуется, чтобы для выравниваемого и
выравнивающего распределений значения основных моментов совпадали.
27
x1
x2 … xi …
xk
…
Таким образом, чтобы использовать метод моментов, сначала надо вычислить их аналоги по имеющимся экспериментальным данным.
Для этого используется группированный статистический ряд.
Статистический аналог МО mx:
Статистический аналог дисперсии Dx:
После вычисления статистических моментов полученные значения используются для вычисления параметров соответствующих распределений. Например, для нормального закона распределения
в качестве параметра m подставляется m*, а вместо -
.
2.4.3. Проверка правдоподобия статистических гипотез
по критерию Пирсона
После выбора выравнивающей кривой необходимо оценить ее соответствие имеющимся статистическим данным. Визуальная оценка
возможна, но является субъективной. Количественная оценка осуществляется с использованием критериев согласия. Чаще всего применя-
ют критерий
Пирсона.
Рассмотрим сущность критерия Пирсона для случая дискретной
случайной величины с возможными значениями x1, x2, …, xk. В дальнейшем обобщим полученные результаты на непрерывные случайные
величины.
Пусть имеется статистическое распределение случайной величины , полученное экспериментально (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Здесь
- частота появления значения x
дискретной СВ .
i
28
x1
x2 … xi …
xk
p
1
p
2
…
p
i
…
p
k
Далее выдвигается гипотеза, состоящая в том, что случайная величина распределена по некоторому известному закону, который задается следующей таблицей:
Таблица 2.4
где p
– вероятности, рассчитанные аналитически .
i
Чтобы сравнить представленные статистическое и гипотетическое
распределения, используем количественную меру расхождения следующего вида:
Отклонения частот от вероятностей объясняются случайными причинами, причем отклонения, относящиеся к разным значениям pi, нельзя
считать равноправными, даже если они имеют одинаковые по абсолютной величине отклонения. Учесть вероятности этих отклонений
пытаются с помощью коэффициентов ci.
Пирсон доказал, что если выбрать i = n/ i, то при большом числе
опытов n закон распределения случайной величины становится независящим от закона распределения исследуемой случайной величины.
Пирсон также доказал, что при этих условиях закон распределения
исследуемой случайной величины приближается к закону распределе-
ния
.
Для практического использования значение расхождения определяется как
Распределение
зависит от следующих факторов:
1) числа степеней свободы случайной величины. Это количество
возможных значений случайной величины (число интервалов) минус
количество независимых условий, накладываемых на частоты
независимым условиям относят следующее:
– сумма частот должна быть равна 1, т.е.
. К
29
– равенство статистического математического ожидания с гипотетическим МО
– равенство статистической дисперсии и гипотетической дисперсии
другие условия, касающиеся остальных моментов.
2) уровня значимости. При проверке выдвинутой гипотезы с помощью любого критерия согласия могут быть сделаны ошибки двух
видов:
– верная гипотеза отвергается (ошибка первого рода);
– неверная гипотеза принимается (ошибка второго рода).
Вероятности этих ошибок взаимосвязаны. Количественно задается вероятность ошибки первого рода. Она и называется уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно 0,1 или 0,05.
Схема применения критерия
1. Предполагается, что статистическое и гипотетическое распре-
деления имеются и выступают как исходные данные. Вычисляется
мера расхождения
.
2. Определяются число степеней свободы и уровень значимости.
Для этих значений из таблицы выбирается критическое значение
3. Сравниваем рассчитанное значение с критическим. Если
, то считается, что гипотеза не противоречит исходным дан-
р
ным, в противном случае гипотеза отвергается.
. Для непрерывных случайных величин методика использования критерия Пирсона практически полностью аналогична.
Только в табл. 2.4 дискретная СВ для каждого значения
но заменяется средним значением интервала (xi, x
как
и ему ставится в соответствие частота попадания в этот интервал
.
р
приближен-
). Оно вычисляется
i+1
,
.
30
b
a
dxxfI )(
)(max xf
bxa
N
n
Полученные
результаты
Число испытаний N
100
500
1000
5000
10000
Среднее
Погрешность
Задания
Задание 2.1. Составить программу приближенного вычисления
определенного интеграла
,
где f(x) > 0 для a x b.
Использовать следующий алгоритм:
1) получить два случайных числа z1 и z2, равномерно распреде-
ленных в интервале (0; 1), от встроенного датчика случайных чисел;
2) преобразовать эти числа по формулам:
где M =
.
Указание. Значение M можно приближенно определить, например, с использованием пакета MathCAD;
3) проверить условие
4) выполнить N испытаний (повторять шаги 1-3), подсчитать их
количество n, удовлетворяющих условию (2.10);
5) определить приближенное значение
*
z
= a + (b – a) z1;
1
*
z
= M z2,
2
*
z
2
f (z
*
); (2.10)
1
I S
,
где S = (b – a)M – площадь прямоугольника, ограничивающего график
функции f(x) на отрезке [a, b].
Выполнить серию экспериментов для
N = 100, 500, 1000, 5000, 10000.
Для каждого значения N получить 5 результатов и их среднее
значение. Оценить погрешность и заполнить табл. 2.5.
Таблица 2.5
Варианты заданий выбрать из табл.2.6.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]