Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгоритмы и программные средства имитационного моделирования систем. Учебное пособие
.pdf
11
ми, динамическими, логическими и т. п., если они отражают соответствующие свойства объектов.
Математические модели могут быть символьными и численными.
При использовании символьных моделей оперируют не значениями
величин, а их символьными обозначениями (идентификаторами). Численные модели предполагают использование числовых данных, а не их
обозначений.
Математические модели могут быть аналитическими или алгоритмическими. Аналитические модели можно представить в виде яв-
но выраженных зависимостей выходных параметров
них и внешних параметров. Исследование аналитиче-
ских моделей обычно выполняется численными методами. В алгоритмических моделях связь от всех других величин
задается в виде алгоритма моделирования.
Важнейший частный случай алгоритмических моделей -
, они отображают процессы в системе при наличии внешних
воздействий на систему. Другими словами, имитационная модель - это
алгоритмическая поведенческая модель.
Имитационные модели описывают процессы функционирования
объектов в виде алгоритмических зависимостей, развивающихся во
времени. Основное достоинство имитационных моделей заключается в
возможности описания сложных систем и проведении их исследования
с помощью компьютерных экспериментов.
В зависимости от учета времени различают и
модели. В статических моделях время не учитывается. С помощью таких моделей описывают структуры анализируемых объектов.
В динамических моделях время учитывается, причем в зависимости от
характера изменения времени в модели выделяют и
модели.
В зависимости от учета случайных характеристик математиче-
ские модели делят на и (
).
В практике моделирования для построения математических моде-
лей широко используют так называемые типовые математические схемы. Такие схемы предполагают известные области применения, разработанный математический аппарат и типовые программные средства
моделирования.
Выделяют следующие основные математические схемы.
Непрерывно-детерминированные схемы. Основные особенно-
сти:
– в модели не учитываются случайные факторы;
от внутрен-
12
– малые изменения входных воздействий приводят к малым из-
менениям выходных характеристик;
– основной математический аппарат - дифференциальные уравне-
ния и их системы.
Примеры: модель переходных процессов в электрических схемах,
модель теплопередачи при анализе тепловых режимов аппаратуры.
Дискретно-детерминированные схемы. Основные характери-
стики:
– моделируемая система имеет конечный набор состояний, ме-
няющихся в определенные моменты времени;
– основной математический аппарат - теория конечных автома-
тов.
Примеры: модель устройства управления, модель устройства об-
работки цифровых данных.
Дискретно-стохастические схемы. Модели описываются с по-
мощью абстрактных автоматов, имеющих вероятностные функции
переходов и выходов. Основной математический аппарат – цепи Маркова. Примеры: модели производственных процессов со случайными
факторами.
Непрерывно-стохастические схемы. Основная область приме-
нения – модели систем массового обслуживания. Основной математический аппарат – теория вероятностей, теория массового обслуживания. Примеры: модели различных процессов массового характера, закономерности которых выявляются статистическими методами (обслуживание запросов на телефонных станциях, обслуживание заявок
на обработку данных и др.)
Обобщенные схемы. Они основаны на понятии агрегативной
системы. В рамках обобщенной схемы сложный объект представляется
конечным числом частей (агрегатов), связанных определенным образом. Модель каждого из агрегатов может быть представлена любой из
рассмотренных выше схем. Модель системы в целом – это многоуровневая схема из взаимосвязанных типовых математических схем.
Задания
Задание 1.1. Система передачи информации состоит из передаю-
щей станции, на которой расположен компьютер, канала передачи информации и приемной станции. Передающая станция с интервалом в
155 мс выдает в ОЗУ компьютера сообщения. Компьютер содержит
процессор, ОЗУ, устройства ввода и вывода информации и шину данных, через которую осуществляется передача информации между процессором и остальными устройствами компьютера. Процессор в тече-
ние 1510 мс выполняет обработку сообщений и формирует из них в
13
ОЗУ пакеты данных (по 4 сообщения в пакете), которые передаются
через канал (за 4010 мс) на приемную станцию. При получении па-
кета данных приемная станция возвращает по каналу (за 5 мс) сигнал
подтверждения, который содержит информацию о качестве принятых
данных (проверка на контрольную сумму). В случае сбоя при передаче
пакета компьютер после анализа (в течение 5 мс) сигнала подтверждения выполняет повторную пересылку этого пакета данных. Вероятность сбоя в канале составляет 2 %.
Выполнить анализ заданной системы:
1) определить элементы этой системы и установить связи между
ними. Указать, какие из этих элементов сами являются подсистемами и какие элементы в них входят;
2) для данной системы установить внутренние параметры, вход-
ные воздействия, внешние факторы, выходные характеристики
и найти их значения.
Задание 1.2. Система обработки информации от удаленного объ-
екта обеспечивает прием и обработку сигналов, поступающих с частотой 100 кГц, и состоит из четырех компьютеров, объединенных в конвейер. Из входного буфера системы сигналы поступают с равной вероятностью в буфер одного из двух компьютеров первого сегмента конвейера, объем которого рассчитан на информацию о восьми сигналах.
Время обработки каждого сигнала в компьютере первого сегмента со-
ставляет 186 мкс. Обработанные данные поступают с равной вероятностью во входной буфер одного из двух компьютеров второго сег-
мента конвейера, в которых обработка продолжается в течение 202
мкс. В компьютерах происходят сбои. Вероятность сбоев в компьютере первого сегмента равна 10 %, в компьютере второго сегмента - 5 %.
В течение времени обработки сигнал остается в буфере соответствующего компьютера, и при возникновении сбоя обработка его возобновляется с начального момента.
Выполнить анализ заданной системы:
1) разработать концептуальную модель системы и представить ее
в виде структурной схемы;
2) определить математические схемы, с помощью которых мож-
но описать полученную модель.
14
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
2.1. Основные понятия теории вероятностей
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая зако-
номерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайной величины (СВ).
Под случайной величиной понимают такую величину, которая в
результате опыта со случайным исходом принимает одно значение из
множества возможных значений этой величины. Если множество возможных значений конечное или счетное, то случайную величину называют дискретной.
Законом распределения случайной величины называют любое
правило (например, таблицу или функцию), позволяющее находить
вероятности событий, связанных с этой случайной величиной.
Наиболее общей формой закона распределения является функция
распределения.
Функция распределения СВ X – это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее,
чем заданное x:
F (x) = P {X < x}.
Основные свойства функции распределения:
F (-) = 0,
F() = 1.
С помощью функции распределения всегда можно найти вероятность попадания СВ на заданный интервал:
P{x } = F() F ().
Вероятность отдельного значения случайной величины также
можно определить через функцию распределения:
Если F(x) в точке непрерывна, то
.
Если в точке имеется разрыв, то
,
где h – скачок в точке разрыва.
Вероятность не означает, что соответствующее событие не будет появляться, так как при большом числе опытов частота
события не равна, а только приближается к вероятности.
Случайная величина называется , если ее функция
распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду,
кроме точек излома. Для непрерывных случайных величин часто используется в качестве закона распределения
15
f(x)
f(x)
( ). Это связано с тем, что для непрерывной
случайной величины F(x) не имеет скачков и поэтому вероятность любого отдельного значения всегда будет . Это значит, что
невозможно говорить о распределении вероятностей между возможными значениями непрерывной случайной величины с помощью
функции распределения.
непрерывной случайной величины X
в точке x называется производная ее функции распределения в этой
точке:
График плотности распределения называется кривой плотности
распределения (рис. 2.1).
Вероятность попадания СВ на участок () определяется как
Очевидно, что
2.2. Числовые характеристики случайных величин
Числовые характеристики определяют расположение значений
случайной величины на оси, их рассеивание, симметрию/асимметрию
Рис. 2.1
16
)3.2(,][
1
n
i
iix
pxmxM
)4.2(.)(][
dxxxfxM
2
1
}{}{
mm
xXPxXP
].[][
k
k
XMX
.][
1
n
i
kik
ik
pxX
.)(][
dxxfxX
k
k
x
mX
и др. Расположение значений СВ на числовой оси описывают математическое ожидание (МО), мода и медиана.
Математическое ожидание – среднее значение СВ. Для дискретной случайной величины
где i – возможные значения СВ; pi – вероятности этих значений.
Для непрерывной случайной величины
Мода случайной величины Mx – наиболее вероятное значение, то
есть такое значение, для которого pi или f(x) достигает максимума.
Медиана используется для непрерывных случайных величин. Медиана – это такое значение m непрерывной случайной величины, для
которого выполняется условие
∙
Другие числовые характеристики основаны на понятии момента
случайной величины. Различают начальные и центральные моменты
случайной величины.
k- случайной величины X называют МО k-й степени этой величины:
Для дискретной случайной величины
Для непрерывной случайной величины
Чтобы определить центральный момент, вводится понятие центрированной случайной величины. Центрированная случайная величина – отклонение случайной величины от ее МО:
.
17
.0][ XM
].[][
k
k
XMX
.)(][
1
n
i
kik
x
i
k
pmxX
.)()(][
dxxfmxX
k
xk
)5.2(.][][
2 x
DXDX
.][
x
x
DX
.
][
3
3
x
k
X
S
.3
][
4
4
x
k
X
Для центрированной случайной величины МО всегда равно нулю.
Т.е. центрирование эквивалентно переносу начала отсчета в точку математического ожидания
k- случайной величины X называют МО k-ой степени центрированной случайной величины:
Для дискретной случайной величины
Для непрерывной случайной величины
В практике особое значение имеет второй центральный момент,
где k = 2, называемый дисперсией:
Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины около
ее МО. Для удобства также используют другую характеристику рассеивания, называемую средним квадратичным отклонением (СКО) или
стандартным отклонением:
находится значение случайной величины:
распределения. Числовой показатель - коэффициент асимметрии (скошенности):
ность распределения. Числовой показатель – коэффициент эксцесса:
Если известны МО и СКО, то можно указать границы, в которых
mx ± 3x.
Третий центральный момент характеризует симметрию плотности
Четвертый центральный момент характеризует островершин-
18
a b 0
ab
1
x
f(x)
f(x)
).,(,0
),(,
1
)(
bax
bax
ab
xf
x x
a
x
a
bax
ab
ax
dx
ab
dx
ab
dxxfxF ).,(,
11
)()(
,
22
1
)(][
2
ab
a
b
x
ab
dx
ab
x
dxxxfxM
b
a
.
12
)(1
)
2
()()(][
2
22
ab
dx
ab
ab
xdxxfmxxD
b
a
x
(2.6)
(2.7)
2.3. Основные законы распределения случайной величины
2.3.1. Равномерное распределение
Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на участке
[a, b], если ее плотность распределения описывается следующим обра-
зом:
Функция плотности распределения представлена на рис. 2.2.
Функция распределения определяется как
График функции распределения по такому закону представлен на
рис. 2.3.
Характеристики распределения:
Рис. 2.2
19
a
0 1 x
F(x)
b x
f(x)
0
,0,0
0,
)(
x
xe
xf
x
.0,1)()(
xedxxfxF
x
x
;
1
x
m
.
1
2
xD
Рис. 2.3
2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность описывается следующим образом:
где – параметр распределения.
График плотности распределения представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.4
Функция распределения определяется как
График функции распределения представлен на рис. 2.5.
Характеристики распределения - МО и дисперсия имеют вид:
20
0 1 x
F(x)
0
2
1
x
f(x)
m
,
2
1
)(
2
2
2
)(
mx
exf
;][ mxM
.][
2
xD
)(xf
Показательное распределение играет важную роль в моделировании. Оно используется в теории марковских случайных процессов, в
теории массового обслуживания, в теории надежности и других существенных разделах прикладной теории вероятностей.
2.3.3. Нормальное распределение
Непрерывная СВ X имеет нормальное распределение, если ее
плотность описывается следующим образом:
Рис. 2.5
где параметры распределения связаны с МО и дисперсией следующим
образом:
График плотности нормального распределения
на рис. 2.6, а график функции распределения F(x) – на рис. 2.7
Рис. 2.6
представлен
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]