Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматы и сети Петри. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
АВТОМАТЫ И СЕТИ ПЕТРИ
Учебное пособие
С.Л. Блюмин, Н. Ю. Жбанова
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
УДК 510.8
Б713
Рецензенты:
Кафедра электроники, телекоммуникаций и компьютерных технологий
Липецкого государственного педагогического университет (зав.
кафедрой доктор технических наук, профессор В.Н. Малыш);
Шуйкова И.А., кандидат технических наук, доцент ГБОУ ВПО «ЛГПУ»
Блюмин С.Л.
Б713 Автоматы и сети Петри [Текст]: учеб. пособие /
С.Л. Блюмин, Н.Ю. Жбанова. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. – 83 с.
ISBN 978-5-88247-540-5
Настоящее учебное пособие предназначено для организации
самостоятельной работы студентов по дисциплине
«Математическое моделирование», обучающихся по
специальностям «Прикладная математика», «Управление
качеством», «Метрология, стандартизация и сертификация». В
пособие включены необходимые теоретические сведения и
формулы, примеры, задания для лабораторных работ.
УДК 510.8
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ.
ISBN 978-5-88247-540-5 © Блюмин С.Л., Жбанова Н.Ю., 2012
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный
технический университет», 2012
2
1. КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
0
0,1,2,...tZ
0
Zt
Многие реальные системы и процессы могут быть описаны
дискретными моделями. Зачастую, в силу ярко выраженного
«переключательного» характера некоторых процессов, дискретные
модели более адекватно описывают суть происходящих изменений, чем
модели непрерывные.
Характерной особенностью дискретных моделей является
дискретность времени, в котором происходит функционирование. При
этом выделяются некоторые моменты
реального
времени, в которые рассматривается состояние реальной системы или
процесса. Предполагается, что последовательность состояний системы и
внешних воздействий на нее в моменты
достаточно полно
описывает поведение системы.
На основе теории автоматов некоторая система может быть
представлена в виде автомата, перерабатывающего дискретную
информацию и меняющего свои внутренние состояния в дискретные
моменты времени (такты).
Автомат представляет собой некоторое устройство (черный ящик),
на которое передаются входные сигналы и снимаются выходные, при
этом изменяются внутренние состояния. Автомат, у которого множества
значений внутренних состояний, входных и выходных сигналов
конечны, называется конечным (хотя он может преобразовывать
последовательности бесконечной длины).
Пример. Опишем с помощью конечного автомата поведение
родителя, отправившего сына в школу [11]. Сын приносит двойки и
пятерки. Отец не хочет хвататься за ремень каждый раз, как только сын
получит очередную двойку, и выбирает более тонкую тактику
воспитания. В каждый момент времени такой автомат может находиться
3
в одном из четырех возможных состояний,
},,,{
3210
xxxx
}5,2{
0
x
},,,,,{
543210
yyyyyy
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
i
x
j
x
yv/
i
x
j
x
, и принимать на
вход один из двух возможных входных сигналов – оценки, получаемые
сыном в школе,
. Начиная с начального состояния
, автомат под
воздействием входных сигналов переходит из одного состояния в другое
и выдает выходные сигналы – реакции на выходы. Выходы автомата
будем интерпретировать как действия родителя:
– брать ремень;
– ругать сына;
– успокаивать сына;
– надеяться;
– радоваться;
– ликовать.
Представим автомат в виде графа, вершины в котором
соответствуют состояниям. Ребро из состояния
в состояние
,
помеченное
, проводится тогда, когда автомат из состояния
воздействием входного сигнала v переходит в состояние
реакцией y.
Рис. 1. Конечный автомат «умный отец»
под
с выходной
4
Сына, получившего одну и ту же оценку – двойку, дома ожидает
2,2,2
2,5,2,2
][tv
0
,][ ZtVtv
X
[]xt
0
[ ] ,x t X t Z
0
[ ] ,y t Y t Z
различная реакция отца в зависимости от предыстории его учебы. Отец
помнит, как сын учился раньше, и строит свое воспитание с учетом его
предыдущих успехов и неудач. Например, после третьей двойки в
истории
сына встретят ремнем, а в истории
– будут
успокаивать. Каждая предыстория определяет текущее состояние
автомата, при этом некоторые входные предыстории эквивалентны (те,
которые приводят автомат в одно и то же состояние). Таким образом,
все то, что конечный автомат «знает» о прошлом, определяется его
текущим состоянием.
Конечными автоматами удобно моделировать технологические
процессы, характеризующиеся многостадийностью обработки сырья. В
общем случае производственный процесс можно представить в виде
конечного автомата, который имеет несколько входов (сырье,
полуфабрикаты), состояний (технологических параметров по каждому
агрегату), и выходов (свойств готовой продукции).
Определим конечный автомат формально [4].
Конечный автомат можно представить как математическую схему
(F – схему, от англ. finite automata), характеризующуюся шестью
составляющими.
1. Конечный входной алфавит V. Входные сигналы
в любой
момент времени принимают значения из этого входного алфавита:
.
2. Конечный внутренний алфавит
. Состояние автомата
принимает значения из этого внутреннего алфавита:
.
3. Конечный выходной алфавит Y:
.
4. Начальное состояние (состояние в начальный момент времени):
5
0
[0]xx
.
][tx
]1[tx
][tv
])[ ],1[(][ tvtxtx
][ty
])[ ],1[(][ tvtxty
])[(][ txty
5. Функция переходов – закон, определяющий смену состояний
автомата. Позволяет определить, в каком состоянии
окажется
конечный автомат в некоторый момент времени t, если в
предшествующий момент он был в состоянии
поступил сигнал
:
.
, а на вход
6. Функция выходов – закон, определяющий выходную реакцию
автомата
. Функции выходов могут быть разными и
определяются типом конечного автомата. Наиболее
распространенные типы конечных автоматов – автоматы Мили
(Mealy) и Мура (Moore).
Для автомата Мили выход определяется состоянием
автомата в предыдущий момент времени и сигналом, поступившим
на вход в данный момент:
.
Для автомата Мура выход определяется состоянием автомата
в тот же момент времени и не зависит от входного сигнала:
.
Из сравнения законов функционирования видно, что, в отличие от
автомата Мили, выходной сигнал в автомате Мура зависит только от
текущего состояния автомата и в явном виде не зависит от входного
сигнала. Для полного задания автомата Мили или Мура дополнительно к
законам функционирования необходимо указать начальное состояние и
определить внутренний, входной и выходной алфавиты.
Функции переходов и выходов могут задаваться различными
способами. Чаще всего используются табличные и графические способы
задания.
6
Автомат, задаваемый F-схемой:
0
, , , , ,F V X Y x
]1[t
0,1,2,...t
][tx
][tv
]1[t
]1[tx
]1[ty
функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого
являются такты. Такты – это примыкающие друг к другу равные
интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные
значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. По
способу формирования тактов автоматы делятся на синхронные и
асинхронные. Синхронные автоматы обмениваются входными и
выходными сигналами с окружающей средой в моменты времени,
определяемые дополнительным синхронизирующим устройством
(датчиком тактов). Для асинхронных автоматов такт формируется
внешней средой (вход и выход в асинхронном автомате могут
формироваться в произвольное время). Изменение входа для
,
асинхронного автомата означает начало следующего такта
, и
рассматривается как причина изменения состояния.
Принципы работы конечного автомата с несколькими
входами, состояниями и выходами
В каждый момент
автомат находится в определенном состоянии
мать на входном канале сигнал
в
выходного сигнала
- м такте в новое состояние
на выходном канале. Таким образом, автомат
дискретного времени конечный
и способен восприни-
, на который он реагирует переходом
и выдачей некоторого
осуществляет преобразования символов, потактно воспринимая входные
символы и формируя выходные, меняя при этом свои состояния.
Рассмотрим подробнее множества, которым могут принадлежать
входные и выходные сигналы, а также состояния конечного автомата.
В общем случае входные воздействия поступают в автомат по
нескольким входным каналам, а информация на выходе устройства
7
считывается по нескольким выходным каналам. Состояний у конечного
])[],...,[(][
1
tvtvtv
m
1
[ ] [ ],..., [ ]
n
x t x t x t
1
[ ] [ ],..., [ ]
l
y t y t y t
1
...
m
V V V
1
...
n
X X X
1
...
l
Y Y Y
21
,vv
21
, xx
1
y
2
y
21
VVV
21
XXX
21
YYY
автомата также может быть несколько. Тогда входные и выходные
алфавиты и алфавиты состояний удобно представлять в виде декартова
произведения нескольких алфавитов, каждый из которых соответствует
определенному каналу. Пусть
– вектор,
составленный из скалярных входов, где m – число входов. Аналогично,
, где n – число состояний;
, где l –
число выходов.
В этом случае алфавиты представляют собой прямые произведения
более простых алфавитов:
,
,
.
Автомат, у которого m входов, n состояний и l выходов, можно
рассматривать как декартово произведение нескольких более простых
автоматов.
Пример. Рассмотрим конечный автомат с двумя входами,
двумя состояниями
и двумя выходами,
и
. Каждый вход,
состояние и выход автомата принимает значения из своего алфавита.
,
Алфавиты имеют вид:
,
,
. Схематически
такой автомат изображен на рис. 2.
Рис. 2. КА с двумя входами, двумя состояниями и двумя выходами
Функции переходов и выходов в случае нескольких входов,
выходов и состояний допускают развернутую запись. Функции
переходов для автоматов Мили и Мура:
8
])[],...[];1[],...,1[(][
11
tvtvtxtxtx
mnii
ni ,...,1
Функции выходов для автомата Мили:
])[],...[];1[],...,1[(][
11
tvtvtxtxty
mnjj
lj ,...,1
])1[],...,1[(][
1
txtxty
njj
lj ,...,1
i
ij
a
mi ,...,1
ii
Jj ,...,1
i
J
i
k
kj
b
kk
Jj ,...,1
k
J
k
nk ,...,1
p
pj
c
pp
Jj ,...,1
p
J
p
lp ,...,1
; ,,...,1 ,},...,{...},...,{},...,{
1 1
1221111
21
m
iJj
imJmJJ
i
i
m
ijaaaaaaV
][tv
; ,,...,1 ,},...,{...},...,{},...,{
1 1
1221111
21
n
kJj
knJnJJ
k
k
n
kjbbbbbbX
][tx
; ,,...,1 ,},...,{...},...,{},...,{
1 1
1221111
21
l
pJj
plJlJJ
p
p
l
pjccccccY
,
.
Функции выходов для автомата Мура:
Алфавиты входов, состояний и выходов могут иметь различную
размерность.
Положим,
– составляющие алфавитов состояний;
– составляющие алфавитов входов;
– номера входов;
,
– размерность алфавита
,
– размерность алфавита
– номера состояний;
,
,
го входа;
го состояния;
.
.
– составляющие алфавитов выходов;
,
– размерность алфавита
– номера выходов.
Таким образом, получим:
– вариант сочетания алфавитов входов
– вариант сочетания алфавитов состояний
го выхода;
;
;
9
– вариант сочетания алфавитов выходов
][ty
),,(
/
)(
/
),,(
/
),(
/
]).[],1[(][
]),[],1[(][
tvtxty
tvtxtx
0
[0]xx
0
Zt
],..2[],1[],0[ vvv
],...2[],1[],0[ yyy
])[(][ txty
])1[(]1[ txty
])1[(]1[ txty
])1[],[(( tvtx
])[],1[(][ tvtxty
С учетом данных обозначений, функции переходов и выходов
конечного автомата можно записать:
.
для автомата Мура;
для автомата Мили.
Штрих означает предшествующий момент времени.
Эквивалентность конечных автоматов Мили и Мура
Пусть мы имеем автомат Мили с одним входом, одним выходом и
одним состоянием
Задано начальное состояние автомата
,
Входная последовательность
таким автоматом в выходную последовательность
.
будет отображаться
Установим связь выходной реакции автомата Мура с входной
последовательностью. Это можно сделать следующим образом: функцию
выходов автомата Мура
функцией
или
. Получим
сдвинем на один такт, заменив
. Отсюда видно, что автомат
Мура можно рассматривать как автомат Мили со сдвинутой на такт
выходной реакцией. Такое сведение автомата Мура к эквивалентному
автомату Мили называется интерпретацией автомата Мура автоматом
Мили.
Автоматы Мура можно считать частным случаем автоматов Мили,
если нас интересует не истинное время появления выходных символов, а
лишь порядок их следования во времени (отображение входной
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]