Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматы и сети Петри. Учебное пособие
.pdf
Ct
)(00t
0
t
YCtY );(
)).,;(),1,;1(
),1,;1(),,1;1(),,1;1(),,;1((),;(
2121
2121212121
CCtCCtx
CCtxCCtxCCtxCCtxCCty
)).,;1((),;(
2121
CCtxCCty
)(CP
Рис. 6. Графическое изображение перехода клеточного автомата
Для полного определения поведения клеточного автомата в
дискретном пространстве – времени
конфигурация
в некоторый начальный момент времени
должна быть задана начальная
.
На выходе клеточного автомата образуется выходной сигнал
, (Y – выходной алфавит клеточного конечного автомата).
Образование выходного сигнала определяется функцией выходов,
которая может задаваться в двух вариантах. Для клеточного конечного
автомата Мили функция выходов имеет вид:
Для клеточного автомата Мура функция выходов имеет вид:
Если функции переходов и выходов в явном виде не зависят от
времени и пространства, а шаблон соседства автомата
путем
сдвига определяет шаблон в каждой точке пространства, то клеточный
конечный автомат представляет собой стационарную (не зависящую от
времени) и однородную (не зависящую от пространства) систему, или
однородную структуру.
Если отсутствует зависимость от входа, то такой клеточный
автомат является автономной системой.
31
При рассмотрении клеточных конечных автоматов предполагается,
0t
}1,0{X
)).,;(),1,;1(
),1,;1(),,1;1(),,1;1(),,;1((),;(
2121
2121212121
CCtCCtx
CCtxCCtxCCtxCCtxCCtx
что набор возможных состояний клеток включает специальное состояние
, называемое состоянием покоя. Кроме того, предполагается, что в
каждый момент времени все клетки, за исключением конечного числа,
находятся в состоянии покоя. Клетки, которые не находятся в состоянии
покоя, называются возбужденными. Конфигурация клеточного
конечного автомата, в которой все клетки, кроме их конечного числа,
находятся в состоянии покоя, называется финитной.
Таким образом, задав финитную начальную конфигурацию и
используя функцию перехода, можно рассчитывать конфигурацию
автомата в любой момент времени
, т.е. определить состояние
любой клетки в любой момент времени.
Аналитическое представление клеточных автоматов
В случае конечных алфавитов (входного, внутреннего и
выходного) клеточный конечный автомат может быть задан при помощи
таблиц. Однако их объем существенно больше, чем у конечного
автомата, за счет шаблона соседства. По этой причине затруднено
представление клеточного конечного автомата при помощи графов, так
как вершиной графа должно было бы считаться множество из пяти точек.
Пример. Рассмотрим аналитическое представление клеточного
конечного автомата. Ограничимся автономным клеточным автоматом
без выхода с одномерным состоянием и внутренним алфавитом
. В этом случае переходная функция имеет вид:
Табличное представление такой функции (таблица 13) должно
32
содержать 25 строк (так как используется двоичный внутренний алфавит
№
),
;1(
21
CC
tx
),1
;1(
21
CC
tx
),1
;1(
21
CC
tx
)1,
;1(
21
CC
tx
)1,
;1(
21
CC
tx
),;(
21
CCtx
1 0 0 0 0 0 …
2 0 0 0 0 1 …
3 0 0 0 1 0 …
… … … … … … …
31 1 1 1 1 0 …
32 1 1 1 1 1 …
.
...
...
......),,,,(
5432112345
5432234543211234
5433453211235445
211255221154321
ххххха
ххххахххха
хххахххахха
ххахахахаахххххх
о
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
ССССС
55
5
232С
и шаблон соседства содержит 5 точек).
Таблица 13
Переходная функция клеточного конечного автомата
В соответствии с таблицей 13, функция перехода рассмотренного в
примере автомата является функцией пяти переменных двузначной
логики. Такую функцию можно представить в виде многочлена
Жегалкина:
Число членов многочлена Жегалкина
. Коэффициенты этого многочлена определяются путем
составления по таблице и решения системы из 32 линейных уравнений с
32 неизвестными. После получения многочлена Жегалкина расчеты
конфигурации клеточного конечного автомата могут быть реализованы
на ЭВМ.
33
4. СЕТИ ПЕТРИ
Реальные системы функционируют во времени и происходящие в
них события длятся некоторое время. В синхронных моделях дискретных
систем события явно привязаны к определенным моментам времени, в
которые происходит одновременное изменение состояний всех
компонентов системы, трактуемое как изменение общего состояния
системы. Смена состояний происходит последовательно. Такой подход к
моделированию сложных систем имеет ряд недостатков, избавиться от
которых можно путем отказа от введения времени в модели дискретных
систем. Модели такого типа (в том числе и сети Петри) называют
асинхронными. Временные связи в них заменяются причинноследственными, что в некоторых случаях позволяет более наглядно
описать структурные особенности реальной системы [12].
Отказ от времени приводит к тому, что события в асинхронных
моделях рассматриваются или как элементарные, или как составные,
образованные из элементарных. При неформальном описании
функционирования асинхронных моделей (в частности, сетей Петри)
привлекаются временные отношения (раньше, позже, и т. д.), но следует
помнить, что они представляют собой лишь результаты причинноследственных отношений. В отличие от конечных автоматов, в терминах
которых описываются глобальные изменения состояния реальной
системы, сеть Петри конкретизирует внимание на локальных событиях
(им соответствуют переходы сети), на локальных условиях (им
соответствуют позиции), на локальных связях между событиями и
условиями. Поэтому сеть Петри более адекватно чем конечные автоматы
моделирует поведение распределенных асинхронных систем.
Важной особенностью сетей Петри является то, что они
представляют собой удобный аппарат для моделирования параллельных
34
процессов, т.е. процессов, протекающих в системе независимо один от
j
t
)(jtI
O
j
t
)(jtO
),,,( OITPC
),...,,(
21 n
pppP
0n
),...,,(
21 m
tttT
0m
PTI :
PTO:
i
p
j
t
)(jitIp
i
p
j
t
)(jitOp
i
p
j
t
другого. На выполнение таких процессов не накладываются какие-либо
условия синхронизации.
Структура и функционирование сети Петри
Сеть Петри состоит из четырех элементов: множества позиций P,
множества переходов T, входной функции I и выходной функции O.
Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями.
Входная функция I отображает переход
в множество позиций
называемых входными позициями данного перехода. Выходная функция
отображает переход
в множество позиций
, называемых
выходными позициями данного перехода. Таким образом, структура сети
Петри определяется ее позициями, переходами, входной и выходной
функциями.
Дадим формальное определение сети Петри. Сеть Петри C – это
четверка
позиций,
.
. Здесь
– конечное множество
– конечное множество переходов,
Множество позиций и множество переходов не пересекаются. Функция
является входной функцией – отображением из переходов в
комплекты позиций.
есть выходная функция – отображение
,
.
из переходов в комплекты позиций.
Позиция
если
является входной позицией перехода
;
является выходной позицией перехода
в том случае,
, если
.
С входными и выходными функциями связано понятие кратности
позиций сети Петри. Кратность входной позиции
для перехода
есть
число появлений данной позиции во входном комплекте перехода,
35
))(,(#
ji
tIp
. Кратность выходной позиции
i
p
j
t
))(,(#
ji
tOp
TPI :
TPO:
j
t
i
p
i
p
j
t
j
t
i
p
i
p
j
t
),,,( OITPC
),,,,(
54321
pppppP
),,,(
4321
ttttT
}{)(
11
ptI
},,{)(
5321
ppptO
},,{)(
5322
ppptI
}{)(
52
ptO
}{)(
33
ptI
}{)(
43
ptO
}{)(
44
ptI
},{)(
324
pptO
1))(,(#
11
tIp
0))(,(#
12
tIp
0))(,(#
13
tIp
0))(,(#
14
tIp
0))(,(#
15
tIp
0))(,(#
21
tIp
1))(,(#
22
tIp
1))(,(#
23
tIp
0))(,(#
24
tIp
1))(,(#
25
tIp
0))(,(#
21
tOp
0))(,(#
22
tOp
0))(,(#
23
tOp
0))(,(#
24
tOp
для перехода
есть число
появлений данной позиции во выходном комплекте перехода,
. Кратность позиции может быть в пределах от нуля до
бесконечности.
Входные и выходные функции используются для отображения
позиций в комплекты переходов, но их также можно использовать для
отображения переходов в комплекты позиций. Тогда
, и
. Такие входные и выходные функции называются
расширенными. Определим, что в данном случае переход
входом позиции
позиции
, если
, если
есть вход
есть выход
.
. Переход
является выходом
является
Пример. Представим сеть Петри аналитически [15], в виде
четверки
, и множество переходов
. Пусть задано множество позиций
. Пусть
входные и выходные функции данной сети определяются следующим
образом:
,
;
,
,
,
;
;
.
Кратности входных позиций для первого и второго переходов:
,
;
,
,
,
,
,
,
,
.
Кратности выходных позиций для второго перехода:
,
,
36
,
,
1))(,(#
25
tOp
. Аналогично определяются входные и выходные
{})(1pI
}{)(
11
tpO
},{)(
412
ttpI
}{)(
22
tpO
},{)(
413
ttpI
},{)(
323
ttpO
}{)(
34
tpI
}{)(
44
tpO
},{)(
215
ttpI
}{)(
25
tpO
),,,( OITPC
),,,( OITPC
),...,,(
21 n
pppP
NP:
),(CM
),,,( OITPC
),,,,( OITPM
кратности для остальных переходов.
Расширенные входные и выходные функции будут иметь вид:
,
,
,
,
,
;
;
;
;
.
Маркированная сеть Петри
Для полного описания функционирования сети Петри необходимо,
помимо четверки
, задать еще маркировку сети.
Маркировка есть присвоение фишек позициям сети Петри. Фишка –
это примитивное понятие сетей Петри (подобно позициям и переходам).
Количество и расположение фишек при выполнении сети могут
изменяться.
Маркировка сети Петри
отображающая множество позиций
неотрицательных целых чисел N:
Маркированная сеть Петри
структуры сети Петри
быть записана в виде
.
и маркировки . Такая сеть может
.
есть функция,
в множество
есть совокупность
Так как количество фишек, которое может соответствовать каждой
позиции, неограниченно, то в целом для сети Петри существует
бесконечно много маркировок.
37
Правила функционирования сети Петри
Tt
j
),,,( OITPC
Pp
i
))(,(#)(
jii
tIpp
j
t
Pp
i
))(,(#))(,(#)()('
jijiii
tOptIppp
)1,0,1,2,1(
1
t
1))(,(#1)(
111
tIpp
0))(,(#2)(
122
tIpp
0))(,(#1)(
133
tIpp
0))(,(#0)(
144
tIpp
0))(,(#1)(
155
tIpp
1
t
2
t
Выполнение сети Петри зависит от ее маркировки. Фишки
находятся в позициях и управляют выполнением переходов сети.
Переход сети запускается удалением фишек из его входных позиций и
образованием новых фишек в его выходных позициях. Переход может
запуститься только в том случае, когда он разрешен. Если у сети Петри с
некоторой маркировкой разрешены сразу несколько переходов, то
сработать может только один из них, неизвестно какой. В этом
заключается недетерминизм сети Петри.
Переход
маркировкой разрешен, если для всех позиций
неравенство
перехода
образуется новая маркировка сети ', определяемая для
каждой позиции сети
в маркированной сети Петри
выполняется
. В результате запуска разрешенного
соотношением:
.
Пример. Для рассмотренной в предыдущем примере сети Петри
зададим маркировку
. Определим разрешенность переходов
данной сети. Проверим выполнение условия разрешенности для
перехода
:
,
с
,
,
,
.
Для перехода
условия для перехода
условие выполняется. Проверим выполнение этого
:
38
0))(,(#1)(
211
tIpp
,
1))(,(#2)(
222
tIpp
1))(,(#1)(
233
tIpp
0))(,(#0)(
244
tIpp
1))(,(#1)(
255
tIpp
2
t
4
t
0))(,(#1)(
411
tIpp
0))(,(#2)(
422
tIpp
0))(,(#1)(
433
tIpp
1))(,(#0)(
444
tIpp
4
t
3
t
)1,0,1,2,1(
2
t
1001))(,(#))(,(#)()('
212111
tOptIppp
1012))(,(#))(,(#)()('
222222
tOptIppp
0011))(,(#))(,(#)()('
232333
tOptIppp
0000))(,(#))(,(#)()('
242444
tOptIppp
1111))(,(#))(,(#)()('
252555
tOptIppp
)1,0,0,1,1('
1
t
2
t
3
t
4
t
,
.
,
,
Переход
также разрешен. Проверим условия для перехода
.
,
,
,
.
Последнее условие для перехода
не выполняется, он не является
разрешенным. Аналогично можно проверить условия разрешенности для
перехода
. Он является разрешенным при заданной маркировке
.
Пусть переход
сработал. Определим маркировку сети:
,
,
,
,
.
Новая маркировка сети
переход
. Для него, в отличие от
,
и
. Теперь разрешен только
, по-прежнему выполняются
все условия разрешенности.
Так можно определить функционирование данной сети на любое
количество шагов вперед. Сеть может перейти в состояние, в котором ни
один из ее переходов не является разрешенным.
39
Графическое представление сети Петри
i
p
j
t
),( AVG
),...,,(
21 s
vvvV
),...,,(
21 r
aaaA
Aa
i
),(
kji
vva
Pv
j
Tv
k
Tv
j
Pv
k
TPV
Pp
i
Tt
j
))(,(#)),,((#
jiji
tIpAtp
))(,(#)),,((#
jiij
tOpApt
),( AVG
),,,( OITPC
Граф сети Петри обладает двумя типами узлов. Позиции сети
обозначаются на графе кружками, а переходы – планками. Позиции и
переходы графа соединяются ориентированными дугами. Дуга,
направленная от позиции
к переходу
, определяет позицию, которая
является входом перехода. Выходная позиция указывается дугой от
перехода к позиции. Кратные входные и выходные позиции
представляются кратными дугами.
Таким образом, граф сети Петри есть ориентированный
мультиграф (то есть допускается существование кратных дуг от одной
вершины к другой)
а
– множество дуг. Множество вершин V может быть
, где
– множество вершин,
разбито на два непересекающихся подмножества P и T (позиции и
переходы). При этом для любой направленной дуги
, то либо
,
, либо
и
.
, если
Структуру сети Петри можно преобразовать в граф, и наоборот.
Определим
. Определим A как комплект направленных дуг,
такой, что для всех позиций
и
есть граф сети Петри со структурой
Пример. Построим граф сети Петри со структурой, рассмотренной
в примере выше.
и переходов
. Тогда
.
верно
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]