Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматы и сети Петри. Учебное пособие
.pdf
последовательности в выходную). Если реакции автоматов Мили и
/
/
Мура на одно и то же входное слово совпадают, то такие автоматы
называются эквивалентными. Строгое определение эквивалентности
состоит в следующем: два автомата с одинаковыми входными и
выходными алфавитами называются эквивалентными, если после их
установки в начальное состояние индуцируемые ими отображения
входных последовательностей в выходные совпадают.
Для каждого автомата Мили может быть построен эквивалентный
ему (интерпретирующий) автомат Мура и наоборот. Переход от автомата
Мура к эквивалентному ему автомату Мили осуществляется достаточно
легко. Переход от автомата Мили к эквивалентному ему автомату Мура
более сложен.
Представление конечных автоматов таблицами
Так как количества значений входов, состояний и выходов
конечны, то конечный автомат может быть представлен в табличной
форме. Табличный аналог функции переходов автомата называется
таблицей переходов, аналог функции выходов – таблицей выходов.
Таблицы переходов и выходов могут быть представлены таблицей
с одним входом (таблица 1). Все возможные значения входов для
удобства записываются в первый столбец блоками. В этом случае
каждому сочетанию алфавитов входов ставятся в соответствие все
возможные комбинации состояний
переходит автомат из состояния
. Состояние , в которое
при входном воздействии ,
заносится в третий столбец таблицы.
Выход конечного автомата Мили определяется состоянием
автомата в предыдущий момент времени и сигналом, поступившим на
11
вход в данный момент. При представлении конечного автомата Мили
1
,... ,
l
yy
),...,(
1
м
l
м
yy
i
x
m
vv ,...,
1
//
1
,...,nxx
n
xx ,...,
1
l
yy ,...,
1
для КА
Мили
м
l
м
yy ,...,
1
для КА
Мура
111
,...,maa
)(
1
/
1
/
11
,...,nbb
)(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
… … …
…
…
m
mjj
aa ,...,
1
1
)(
/
1
/
11
,...,nbb )(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
111
,...,nbb
)(
1
…
n
njj
bb ,...,
1
1
)(
…
n
nJJ
bb ,...,
1
1
)(
…
…
l
ljj
cc ,...,
1
1
)(
…
…
…
м
lj
м
j
l
cc ,...,
1
1
)(
м
…
… … …
…
…
m
mJJ
aa ,...,
1
1
)(
/
1
/
11
,...,nbb )(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
таблицей с одним входом выходы заносятся в столбец
.
Выход конечного автомата Мура зависит только от состояния
автомата в данный момент времени и не зависит от входа. При
представлении автомата Мура таблицей с одним входом выходы
заносятся в столбец
автомата
. Верхний индекс м употребляется в обозначениях, чтобы
, если рассматривается состояние
выход автомата Мура отличить от выхода автомата Мили.
Таблица 1
Таблица переходов и выходов конечного автомата
12
Таблицы переходов и выходов могут быть представлены табли-
/
//
1
,...,nxx
m
vv ,...,
1
/
1
/
11
,...,nbb
)(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
111
,...,maa
)(
1
… … … … …
…
… … … … …
m
mjj
aa ,...,
1
1
)(
…
…
n
njj
bb ,...,
1
1
)(
…
…
…
… … … … …
m
mJJ
aa ,...,
1
1
)(
… … … … …
//
1
,...,nxx
m
vv ,...,
1
/
1
/
11
,...,nbb
)(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
111
,...,maa
)(
1
… … … … …
…
… … … … …
m
mjj
aa ,...,
1
1
)(
…
…
l
ljj
cc ,...,
1
1
)(
…
…
…
… … … … …
m
mJJ
aa ,...,
1
1
)(
… … … … …
цами с двумя входами (таблицы 2 и 3). Каждому столбцу таблицы
переходов поставлено в соответствие одно состояние автомата, каждой
строке – один входной сигнал. На пересечении столбца / и строки в
таблице переходов записывается состояние , в которое должен
перейти автомат из состояния / под действием входного сигнала .
На пересечении столбца
и строки в таблице выходов
автомата Мили записывается выходной сигнал , выдаваемый
автоматом в состоянии / при поступлении на вход сигнала .
Таблица 2
Таблица переходов автоматов Мили и Мура
Таблица 3
Таблица выходов автомата Мили
13
У конечного автомата Мура нет таблицы выходов, аналогичной
l
yy
/
1
/
,...,
/
1
/
11
,...,lcc
)(
/
1
…
//
1
,...,
1 l
ljj
cc
)(
/
…
//
1
,...,
1 l
lJJ
cc
)(
/
//
1
,...,nxx
m
vv ,...,
1
/
1
/
11
,...,nbb
)(
/
1
…
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
111
,...,maa
)(
1
… … … … …
…
… … … … …
m
mjj
aa ,...,
1
1
)(
…
…
n
njj
bb ,...,
1
1
)(
…
…
…
… … … … …
m
mJJ
aa ,...,
1
1
)(
… … … … …
автомату Мили. Это объясняется тем, что выходы непосредственно
зависят от состояний, и не зависят от входов. Поэтому для автомата
Мура таблица выходов сводится к строке сочетания значений выходов,
соответствующих определенному сочетанию состояний, и располагается
над значениями состояний таблицы переходов. Такая таблица называется
отмеченной таблицей переходов конечного автомата Мура (таблица 4).
Таблица 4
Отмеченная таблица переходов конечного автомата Мура
Эквивалентный (интерпретирующий) конечный автомат Мили для
автомата Мура можно описать не отмеченной таблицей, а двумя
таблицами с двумя входами. Таблица переходов интерпретирующего
автомата Мили аналогична таблице переходов автомата Мура.
Интерпретирующая функция выходов определяется как суперпозиция
функции переходов автомата Мура с его функцией выходов. Таблица
выходов интерпретирующего автомата определяется по следующей
схеме:
1. Рассматривается сочетание входа и состояния . Из таблицы
14
переходов (таблица 2, одинаковая для автоматов Мили и Мура) по
)(
)(
/
)(
/
сочетанию значений входов
определяется новое состояние
и предыдущего состояния
. Это нужно для того, чтобы
определить выход автомата Мура, соответствующий сочетанию
входа и состояния .
2. В заголовке отмеченной таблицы переходов автомата Мура
(таблица 4) выбирается состояние /, совпадающее с состоянием
. Определяется соответствующий этому состоянию выход
автомата Мура
. Выход автомата Мура определяется по
отмеченной таблице переходов, так как у него нет таблицы
выходов.
3. По таблице выходов автомата Мили определяется выход ,
соответствующий сочетанию входа и состояния .
4. Составляется таблица выходов интерпретирующего автомата
Мили. В нее для рассмотренных и / заносится выход , если
он совпадает с выходом автомата Мура /. Если выходы Мили и
Мура не совпадают, то заносится знак «пустое множество».
5. Рассматривается следующее сочетание входа и состояния.
Конечные автоматы могут быть представлены с помощью матрицы
соединений (таблица 5). Матрица соединений представляет собой
квадратную матрицу, порядок которой равен количеству состояний
автомата. Столбцы и строки матрицы соответствуют различным
состояниям автомата. Элементами матрицы служат дроби, в числителе
которых – значения входов, обеспечивающие заданный переход
состояний, а в знаменателе – соответствующие значения выходов. На
15
пересечении строки и столбца k располагается сочетание значений
k
n
xx ,...,
1
//
1
,...,nxx
111
,...,nbb
)(
1
…
n
njj
bb ,...,
1
1
)(
…
n
nJJ
bb ,...,
1
1
)(
/
1
/
11
,...,nbb
)(
/
1
… … … … …
…
… … … … …
//
1
,...,
1 n
njj
bb
)(
/
…
…
)(
/
)(
…
…
…
… … ... … …
//
1
,...,
1 n
nJJ
bb
)(
/
… … … … …
входов , вызывающее переход автомата из состояния в состояние
. В знаменателе указывается сочетание значений выходов , которое
появится при осуществлении данного перехода. Если указанных дробей
несколько, то ставится их дизъюнкция, а если таких дробей нет, то
ставится ноль. Для удобства составления таблицы соединений все
возможные сочетания входов и выходов получают свои коды (номера
или буквы), что позволяет не загромождать матрицу. Информация о
кодах входов и выходов приводится отдельно.
Матрица соединений конечного автомата обладает тем свойством,
что в любой ее строке каждая буква входного алфавита должна
встречаться не более одного раза. Это условие связано с однозначностью
функций переходов и выходов автомата и называется условием
однозначности.
Таблица 5
Матрица соединений конечного автомата
Представление конечных автоматов графами
При графическом способе автомат задается в виде
ориентированного графа, вершины которого соответствуют состояниям,
16
а дуги – переходам между ними. Дуга, направленная из вершины
i
x
i
x
j
x
k
v
])[ ],1[(][ tvtxtx
m
y
i
x
i
x
i
x
j
x
i
x
j
x
}2,1{
1
v
}3,2{
2
v
},{1bax
},2,1{2cx
321
}3,2,1{ yyy
])[ ],1[(][ tvtxtx
])[ ],1[(][ tvtxty
/2/
1
,xx
21
,vv
а 1
а 2
a с
b 1
b 2
b c
1 2
a 2
b 2
b c
a c
a 1
a 2
1 3
a c
a 2
b 1
a 1
b c
b 2
2 2
b c
b 2
b c
a 2
b c
b 2
2 3
b c
b 1
a c
b c
b 1
b c
,
задает переход в автомате из состояния
дуги записывается входной сигнал
в состояние
. В начале этой
, вызывающий данный переход.
Таким образом, дуги соответствуют функции переходов
. Для графа автомата Мили выходной сигнал
формируемый на переходе, записывается в конце дуги, а для автомата
Мура – рядом с вершиной
формируется. Если переход в автомате из состояния
, отмеченной состоянием
, в котором он
в состояние
производится под действием нескольких входных сигналов, то дуге
графа, направленной из
в
, приписываются все эти входные и
соответствующие выходные сигналы.
Пример. Предположим, что конечный автомат имеет 2 входа, 2
состояния, 3 выхода. Входные алфавиты:
,
. Алфавиты
,
состояний:
,
. Выходные алфавиты:
.
Зададим конечный автомат Мили с помощью таблиц с двумя
входами. Функции переходов и выходов автомата Мили имеют вид:
,
.
Таблица 6
Таблица переходов для автоматов Мили и Мура
17
Таблица 7
/2/
1
,xx
21
,vv
а 1
а 2
a с
b 1
b 2
b c
1 2
2 3 1
3 2 1
1 1 1
2 1 2
3 3 3
3 2 1
1 3
2 2 1
2 1 3
1 3 2
2 2 3
3 2 1
1 2 3
2 2
3 3 3
3 3 2
1 2 3
2 1 3
3 2 1
1 1 2
2 3
2 2 2
3 2 1
3 3 1
2 2 2
1 2 3
3 3 2
])[ ],1[(][ tvtxtx
])[(][ txty
321
,, yyy
1 2 3
2 3 1
3 3 1
2 1 3
1 2 3
3 3 3
/2/
1
,xx
21
,vv
а 1
а 2
a с
b 1
b 2
b c
1 2
a 2
b 2
b c
a c
a 1
a 2
1 3
a c
a 2
b 1
a 1
b c
b 2
2 2
b c
b 2
b c
a 2
b c
b 2
2 3
b c
b 1
a c
b c
b 1
b c
Таблица выходов для автомата Мили
Представим конечный автомат Мура с теми же алфавитами
отмеченной таблицей переходов. Функции переходов и выходов
автомата Мура имеют вид:
,
.
Таблица 8
Отмеченная таблица переходов для автомата Мура
Используя отмеченную таблицу переходов автомата Мура и
таблицу выходов автомата Мили, можно построить таблицу выходов
интерпретирующего автомата Мили для данного автомата Мура. Для
этого выходные реакции автоматов Мили и Мура на одни и те же
входные воздействия и состояния в соответствующий момент времени
сравниваются, и в таблицу выходов интерпретирующего автомата
заносятся совпадающие выходы.
18
Таблица 9
/2/
1
,xx
21
,vv
а 1
а 2
a с
b 1
b 2
b c
1 2
2 3 1
1 3
1 2 3
2 2
3 3 3
2 3
3 3 1
Таблица выходов для интерпретирующего автомата Мили
Представим конечные автоматы графами. Чтобы избежать
загромождения рисунков, ограничимся рассмотрением нескольких
переходов для каждого из автоматов.
Рис. 3. Граф конечного автомата Мили
Рис. 4. Граф конечного автомата Мура
19
2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
][tv
]1[tx
Xtx ][
P
P
][tv
},{ bax
}1,0{v
2/12/1
01
)0(P
10
2/12/1
)1(P
b
В предыдущей главе рассматривались детерминированные
конечные автоматы, состояния которых в текущий момент времени
однозначно определяются состояниями в предыдущий момент времени и
входными воздействиями в текущий момент времени. Наряду с
детерминированными автоматами естественно рассматривать
вероятностные конечные автоматы. Например, в вероятностном автомате
без выхода входное воздействие
состояния
в любое состояние
может перевести автомат из
с некоторой вероятностью
. Таким образом, переход от одного состояния к другому в
вероятностном автомате осуществляется случайным образом. Функцию
переходных вероятностей можно задать посредством системы
квадратных матриц, каждая из которых соответствует определенному
входному воздействию
. Строки и столбцы переходной матрицы
соответствуют состояниям вероятностного автомата в предыдущий и
последующий такты соответственно.
Пример. Рассмотрим вероятностный конечный автомат без
выхода, с одним состоянием и одним входом [7]. Алфавит состояния
, входной алфавит
.
Пусть матрицы переходных вероятностей, соответствующие двум
возможным входным воздействиям, имеют вид:
,
.
В таком автомате при подаче на вход нуля с вероятностью 1
сохранится состояние а, а при подаче единицы – сохранится состояние
. Во всех прочих случаях равновероятны переходы в любое из
состояний а или b.
Практическая аргументация в пользу исследования вероятностных
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]