Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматы и сети Петри. Учебное пособие
.pdf
автоматов состоит в том, что поведение даже обычных электронных
),(
/
),(
),(
),(
/
][tv
][tx
][ty
,
/
,
/
),,( PP
,
/
,
P
/
X
схем, которые должны работать детерминировано, из-за случайных сбоев
имеет стохастический, или вероятностный характер.
Функционирование вероятностных автоматов и представление
их с помощью таблиц
Определим вероятностный автомат с несколькими входами,
состояниями и выходами, в обозначениях, используемых в предыдущей
главе. Вероятностный конечный автомат [2] – такой автомат, который не
относит однозначно каждой паре
задает лишь условные вероятности появления пар
что реализовалась пара
).
Напомним, что – вариант сочетания алфавитов входов
– варианты сочетания алфавитов состояний
некоторую из пар
(при условии,
в предыдущий и
, а
, /,
последующие моменты времени соответственно, – вариант сочетания
алфавитов выходов
.
Определим вероятность, с которой срабатывает автомат:
,
где
– вероятность перехода автомата в состояние и появления
выходного сигнала при условии, что автомат находится в состоянии
, и на его вход поступил сигнал . Кроме того, для вероятностного
конечного автомата не задается однозначно начальное состояние 0, а
задаются лишь безусловные вероятности, с которыми каждое из
состояний
может оказаться начальным:
21
)0(0
)( PP
.
(0)
01P
(0)
1
X
P
)0(
P
X
1
. . .
. . .
)0(
P
)0(1
P
. . .
)0(
P
. . .
)0(
P
),(
/
),(
/
10
,
/
,
P
X Y
P 1
,
/
,
При этом должны выполняться требования:
1)
2)
Начальные безусловные вероятности
;
.
могут быть
представлены в виде таблицы 10.
Таблица 10
Распределение вероятностей начальных состояний
Функционирование вероятностного конечного автомата можно
описать с помощью совместных законов распределений состояний и
выходов, каждый из который задается в виде таблицы (таблица 11). Для
каждой пары
задается совместное условное распределение ве-
роятностей. Число таких распределений равно числу возможных пар
. При этом для каждого распределения должны выполняться тре-
бования:
1)
2)
;
.
Справедливость этих требований вытекает из свойств вероятности.
22
Таблица 11
P
,
1
/
P
…
,
/
P
…
,
/
P
P
Y
X
1
… …
,
1
/
P
1
,
1,1
/
P
…
,
/
,1
P
…
,
/
,1
P
… … … … . . .
…
. . .
,
/
P
,
/
1,
P
…
,
/
,
P
…
,
/
,
P
… … … … … … …
,
/
P
,
/
1,
P
…
,
,
/
P
…
,
/
,
P
1
,
/
,
P
),(
/
),(
Y
PP
,
/
,
,
/
10
,
/
P
X
P 1
,
/
Совместный закон распределения состояний и выходов
Возможно,
при некоторых и . Тогда в силу
второго условия только одна из вероятностей в таблице равна единице, а
остальные нулю. В этом случае вероятностный автомат сводится к
детерминированному – для пары
переход в
. Таким образом, детерминированный конечный
возможен единственный
автомат является частным случаем вероятностного автомата.
Совместные законы распределения всегда порождают частные
законы распределений. Для состояний вероятностного автомата
выполняются следующие соотношения:
1)
;
2)
3)
;
.
23
Соотношение 1) задает вероятности появления состояний ,
...1
/
X
PP
,
/
,
,
/
10
,
/
P
Y
P 1
,
/
...1
/
,
/
,
/
,
/
,
PPP
V
X
/
,
Y
, при условии, что автомат был в состоянии
, и на вход
пришел сигнал . Аналогично для выходов вероятностного автомата:
1)
2)
3)
;
.
;
Соотношение 1) задает вероятности появления выходов ,
, при условии, что автомат был в состоянии
, и на вход
пришел сигнал .
Вероятностные автоматы Мили и Мура, цепи Маркова
Понятия вероятностных автоматов Мили и Мура вводятся по
аналогии с понятиями детерминированных автоматов Мили и Мура.
Если у вероятностного конечного автомата выход зависит от входа
и предыдущего состояния и выполняется условие:
,
,
,
,
то этот автомат называется вероятностным автоматом Мили.
Данное требование означает выполнение условия независимости
распределений для определения нового состояния автомата и
определения его выходного сигнала, т.е. означает, что новое состояние и
новый выход определяются не как пара, а независимо друг от друга.
Вероятностный конечный автомат, у которого выход не зависит от
входа, а зависит только от текущего состояния, называется
24
вероятностным автоматом Мура. В этом случае для каждой пары
),(
/
,
/
P
P
PPP
,
/
,
/
,
,
/
,
P
/
,
,
/
,
PP
V
X
VX
y
y
X
/
X
/
P
X
/
,
][tx
0
0,1,2,...tZ
0
Zt
][tx
задается
, для каждого задается
и должно
выполняться условие:
.
Вероятностный конечный автомат называется автономным, если
все совместные законы распределения
одинаковы при различных
вариантах сочетания алфавитов входов, т.е. не зависят от входов:
,
.
Количество совместных законов распределения у такого автомата
совпадает с количеством его состояний
(а не
вероятностного автомата).
Если выходной сигнал вероятностного конечного автомата
, как у
определяется детерминировано, т.е. не участвует в совместных законах
распределения, то такой автомат называется
детерминированным
вероятностным конечным автоматом.
Таким образом, для автономного
детерминированного
вероятностного конечного автомата достаточно задать для каждого
варианта сочетаний алфавитов состояний в предшествующий момент
времени
времени
закон распределения состояний в данный момент
, т.е.
,
. Такой вероятностный конечный
автомат называется марковской цепью.
Рассмотрим случайный дискретный процесс или случайную
последовательность
,
, характеризуемую следую-
щими свойствами:
1. В любой момент времени
25
состояние процесса
может
принять значение из конечного множества состояний
}{X
][tx
t
1t
1t
)]/([][
/],1[],1[
,
/
],1[ tttttt
PPP
X
/
,
X
/
X
tt
P 1
],1[
,
/
X
/
, т.е.
равно одному из в любой момент времени;
2. Вероятность перейти в состояние в любой момент времени
при условии, что в момент
реализовалось состояние /,
зависит только от состояния / и не зависит от предшествующих
состояний.
Такая случайная последовательность называется конечной
марковской цепью. Она дискретна как по времени, так и по состояниям.
Переход конечной марковской цепи из состояния в момент времени
в состояние в момент времени t полностью описывается переходной
матрицей марковской цепи:
,
.
Переходная матрица марковской цепи имеет порядок, равный
количеству состояний цепи
. Строки ее занумерованы
предшествующими состояниями, а столбцы – последующими (таблица
12). Так как в каждой строке матрицы записаны вероятности всех
возможных переходов из состояния
, то сумма по строке равна
единице:
,
.
26
Таблица 12
Zt
PP
tt ],1[
0
Zt
...][...
]0[]0[
PP
X
X
P 1
]0[
]1[t
P
],1[ tt
P
],1[]1[][ tttt
PPP
X
/
X
1
… …
'
1
1
/
1
P
…
/
1
P
…
/
1
P
…
… … … … …
'
1
/
P
…
/
P
…
/
P
…
… … … … …
'
1
/
P
…
/
P
…
/
P
Переходная матрица неоднородной марковской цепи
Если все переходные матрицы совпадают при любом
,
, то такая марковская цепь называется однородной.
, т.е.,
Для полного определения поведения марковской цепи следует
задать также начальное распределение вероятностей состояний, т.е.
строку по всем состояниям исследуемого автомата:
,
.
При этом должно выполняться требование:
.
При задании начального распределения отмечается, с какой
вероятностью марковская цепь может в нулевой момент времени
оказаться в том или ином состоянии. По известному распределению
вероятностей
в переходной матрице
распределение вероятностей в момент времени t:
27
можно определить
.
3. КЛЕТОЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
1t
t
Теория конечных автоматов берет свое начало с середины
пятидесятых годов, когда Дж. фон Нейман поставил перед собой задачу
доказать возможность существования самовоспроизводящихся
автоматов. Если такой автомат снабдить надлежащими инструкциями, он
построит копию самого себя. При доказательстве возможности
существования таких машин Нейман использовал понятие клеточного
пространства, эквивалентного шахматной доске бесконечных размеров.
Каждая клетка такого пространства может находиться в любом
состоянии из конечного числа состояний, в том числе и в состоянии
покоя. На состояние любой клетки оказывает воздействие конечное
число соседних клеток. Во времени состояния клеток изменяются
дискретно, в соответствии с определенными правилами перехода.
Пример. Удивительно простой пример самовоспроизводящейся
системы был предложен в 1960 г. Э. Фридкином. В этой системе ячейки
могут находиться в двух состояниях, и каждая ячейка имеет четырех
соседей. Правила перехода сводятся к следующему. Каждая клетка,
имеющая в момент времени t четное число живых соседей, в момент
времени
станет пустой. Каждая клетка, имеющая в момент времени
нечетное число живых соседей, в следующий момент времени
переходит в ненулевое состояние, или сохраняет его.
Наиболее практичным приложением теории клеточных автоматов,
по мнению некоторых ученых, являются вопросы разработки
электронных цепей, способных к самовосстановлению. Самым
известным примером клеточного автомата является игра «Жизнь»,
предложенная американским математиком Дж. Конвеем в 1970 г. Она
представляет собой стилизованную модель развития колонии живых
организмов [20].
28
Функционирование клеточных автоматов
,...)3,2,1(
0
Zt
ZZСССС ),(
21
),(
21
СС
,...}1,0,1{...,Z
XCCtxCtx ),;();(
21
)),( ),,;(()(
2121
CCCCCtxt
Как уже было сказано, клеточные конечные автоматы
функционируют в дискретном времени
дискретном клеточном пространстве
– координаты,
– множество целых чисел [3].
и в двумерном
, где
Клеточное пространство представляется в виде плоскости, которая имеет
решетчатую структуру (рис. 5). Каждый элемент решетки клеточного
автомата называется клеткой.
Рис. 5. Клеточное пространство
В каждый момент времени t каждая клетка C характеризуется
определенным значением из некоторого множества. О клетке говорят,
что она имеет соответствующее значение, либо находится в
определенном состоянии. Пусть клетка C в каждый момент времени
находится в некотором состоянии
(X –
внутренний алфавит клеточного конечного автомата, некоторое
конечное множество). Распределение состояний всех клеток в некоторый
момент t называется конфигурацией и обозначается так:
.
Конфигурация клеточного пространства в данный момент времени
обозначается , а в предшествующий момент – /.
29
Для определения состояния решетки клеточного автомата в
)).,;(),1,;1(),1,;1(
),,1;1(),,1;1(),,;1((),;(
212121
21212121
CCtCCtxCCtx
CCtxCCtxCCtxCCtx
VCCt ),;(
21
),(21CC
)(CP
)).1,(),1,(),,1(),,1(),,((),()(
212121212121
ССССССССССССРСР
дискретном времени задается переходная функция состояний клеточного
автомата:
Здесь
– входное воздействие в каждый момент времени t в
каждой клетке C (V– входной алфавит автомата). При этом пара
пробегает всю решетку клеточного автомата.
Состояние в данный момент времени t в клетке C зависит от
состояния в этой клетке в предыдущий момент времени и, кроме того, от
состояния в предыдущий момент в соседних клетках клеточного
пространства. Если новое состояние клетки зависит от текущего еѐ
состояния, то о соответствующем клеточном автомате говорят, что он
является автоматом с клетками с памятью, иначе – автоматом с клетками
без памяти. Соседями данной клетки называются клетки, расположенные
рядом с ней, причем понятие «рядом» определяется для каждого
клеточного автомата по-своему. В случае ортогонального двумерного
пространства соседними можно считать четыре клетки, имеющие с
данной общую сторону (окрестность фон Неймана), или все восемь
клеток, которые соприкасаются с данной (окрестность Мура).
Для автоматов, которые будут рассмотрены далее, графический
характер перехода клетки из одного состояния в другое представлен на
рис. 6. Выделенные точки образуют шаблон соседства данного
клеточного автомата – множество клеток, состояние которых в
предыдущий момент времени влияет на состояние данной клетки в
текущий момент времени.
Шаблон соседства для клетки C клеточного автомата обозначается
:
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]