Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматизация измерений, контроля и испытаний. Курсовое проектирование
.pdf
61
табл. 5.1, найти значение интерполяционной функции в заданной точке и
Номер
вари-
анта
Тип
интерполя-
ции
Точки для
интерполяции
Найти значение
интерполяцион-
ной функции в
точке
1
Линейная
(0; 4,3), (1; 2,7), (2; 3,4), (3; 4,4),
(4; 3,1), (5; 5,5), (6; 5,7)
1,5
2
Кубическая
(0; 4,9), (1; 2,3), (2; 3,9), (3; 4,2),
(4; 3,4), (5; 5,3), (6; 5,3)
2,5
3
Линейная
(0; 4,1), (1; 2,2), (2; 3,1), (3; 4,5),
(4; 3,5), (5; 5,5), (6; 5,4)
3,5
4
Кубическая
(0; 4,5), (1; 2,5), (2; 3,5), (3; 4,9),
(4; 3,8), (5; 5,7), (6; 5,1)
4,5
5
Линейная
(0; 4,7), (1; 2,9), (2; 3,2), (3; 4,3),
(4; 3,3), (5; 5,4), (6; 5,7)
5,5
6
Кубическая
(0; 4,4), (1; 2,4), (2; 3,6), (3; 4,1),
(4; 3,7), (5; 5,9), (6; 5,8)
1,5
7
Линейная
(0; 4,3), (1; 2,1), (2; 3,8), (3; 4,6),
(4; 3,9), (5; 5,2), (6; 5,9)
2,5
8
Кубическая
(0; 4,6), (1; 2,6), (2; 3,3), (3; 4,8),
(4; 3,2), (5; 5,1), (6; 5,1)
3,5
9
Линейная
(0; 4,2), (1; 2,2), (2; 3,7), (3; 4,7),
(4; 3,5), (5; 5,6), (6; 5,4)
4,5
10
Кубическая
(0; 4,8), (1; 2,3), (2; 3,1), (3; 4,2),
(4; 3,4), (5; 5,3), (6; 5,3)
5,5
11
Линейная
(0; 4,4), (1; 2,9), (2; 3,9), (3; 4,4),
(4; 3,1), (5; 5,5), (6; 5,9)
1,5
12
Кубическая
(0; 4,9), (1; 2,5), (2; 3,4), (3; 4,3),
(4; 3,8), (5; 5,8), (6; 5,5)
2,5
построить графики зависимостей исходных данных y= f(x) и интерполяционной функции A = f(t).
Таблица 5.1
Варианты заданий
62
Продолжение табл. 5.1
Номер
вари-
анта
Тип
интерполя-
ции
Точки для
интерполяции
Найти значение
интерполяционной
функции в точке
13
Линейная
(0; 4,2), (1; 2,7), (2; 3,2), (3; 4,5),
(4; 3,7), (5; 5,7), (6; 5,7)
3,5
14
Кубическая
(0; 4,1), (1; 2,6), (2; 3,5), (3; 4,9),
(4; 3,3), (5; 5,4), (6; 5,8)
4,5
15
Линейная
(0; 4,3), (1; 2,4), (2; 3,6), (3; 4,8),
(4; 3,9), (5; 5,9), (6; 5,4)
5,5
16
Кубическая
(0; 4,5), (1; 2,1), (2; 3,9), (3; 4,6),
(4; 3,6), (5; 5,1), (6; 5,8)
1,5
17
Линейная
(0; 4,1), (1; 2,8), (2; 3,3), (3; 4,6),
(4; 3,5), (5; 5,6), (6; 5,9)
2,5
18
Кубическая
(0; 4,7), (1; 2,2), (2; 3,7), (3; 4,1),
(4; 3,2), (5; 5,3), (6; 5,2)
3,5
19
Линейная
(0; 4,3), (1; 2,9), (2; 3,8), (3; 4,7),
(4; 3,4), (5; 5,5), (6; 5,7)
4,5
20
Кубическая
(0; 4,5), (1; 2,5), (2; 3,1), (3; 4,3),
(4; 3,9), (5; 5,8), (6; 5,1)
5,5
21
Линейная
(0; 4,2), (1; 2,4), (2; 3,4), (3; 4,4),
(4; 3,1), (5; 5,7), (6; 5,3)
1,5
22
Кубическая
(0; 4,8), (1; 2,3), (2; 3,5), (3; 4,5),
(4; 3,7), (5; 5,5), (6; 5,5)
2,5
23
Линейная
(0; 4,1), (1; 2,7), (2; 3,2), (3; 4,9),
(4; 3,3), (5; 5,9), (6; 5,8)
3,5
24
Кубическая
(0; 4,4), (1; 2,1), (2; 3,2), (3; 4,8),
(4; 3,1), (5; 5,2), (6; 5,6)
4,5
25
Линейная
(0; 4,2), (1; 2,6), (2; 3,8), (3; 4,6),
(4; 3,2), (5; 5,1), (6; 5,4)
5,5
26
Кубическая
(0; 4,6), (1; 2,8), (2; 3,3), (3; 4,2),
(4; 3,3), (5; 5,6), (6; 5,1)
1,5
27
Линейная
(0; 4,9), (1; 2,9), (2; 3,8), (3; 4,7),
(4; 3,5), (5; 5,4), (6; 5,9)
2,5
63
Окончание табл. 5.1
Номер
варианта
Тип
интерполя-
ции
Точки для
интерполяции
Найти значение
интерполяцион-
ной функции в
точке
28
Кубическая
(0; 4,4), (1; 2,5), (2; 3,5), (3; 4,6),
(4; 3,1), (5; 5,8), (6; 5,5)
3,5
29
Линейная
(0; 4,7), (1; 2,2), (2; 3,4), (3; 4,4),
(4; 3,9), (5; 5,5), (6; 5,7)
4,5
30
Кубическая
(0; 4,1), (1; 2,4), (2; 3,1), (3; 4,5),
(4; 3,4), (5; 5,3), (6; 5,3)
5,5
31
Линейная
(0; 4,2), (1; 2,3), (2; 3,2), (3; 4,9),
(4; 3,6), (5; 5,7), (6; 5,2)
1,5
32
Кубическая
(0; 4,5), (1; 2,7), (2; 3,6), (3; 4,3),
(4; 3,7), (5; 5,9), (6; 5,8)
2,5
33
Линейная
(0; 4,3), (1; 2,1), (2; 3,9), (3; 4,2),
(4; 3,3), (5; 5,4), (6; 5,5)
3,5
34
Кубическая
(0; 4,9), (1; 2,8), (2; 3,7), (3; 4,6),
(4; 3,2), (5; 5,6), (6; 5,6)
4,5
35
Линейная
(0; 4,6), (1; 2,6), (2; 3,5), (3; 4,1),
(4; 3,1), (5; 5,8), (6; 5,9)
5,5
36
Кубическая
(0; 4,2), (1; 2,3), (2; 3,8), (3; 4,4),
(4; 3,5), (5; 5,1), (6; 5,4)
1,5
37
Линейная
(0; 4,5), (1; 2,9), (2; 3,6), (3; 4,9),
(4; 3,9), (5; 5,7), (6; 5,1)
2,5
38
Кубическая
(0; 4,9), (1; 2,5), (2; 3,2), (3; 4,5),
(4; 3,4), (5; 5,3), (6; 5,3)
3,5
39
Линейная
(0; 4,1), (1; 2,2), (2; 3,1), (3; 4,2),
(4; 3,7), (5; 5,5), (6; 5,5)
4,5
40
Кубическая
(0; 4,7), (1; 2,4), (2; 3,4), (3; 4,3),
(4; 3,2), (5; 5,2), (6; 5,1)
5,5
64
Контрольные вопросы
1. Полиномом какой степени является интерполяционный полином
Лагранжа при п + 1 узлах?
2. Используют ли метод Лагранжа при экстраполяции?
3. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
4. К какому классу относится функция, задаваемая интерполяцион-
ной функцией Лагранжа?
5. Как определить погрешность интерполяции в узле?
6. Как влияет количество узлов интерполяции на её точность?
7. Каким путём можно повысить точность интерполяции?
8. Применяют ли метод Ньютона для экстраполяции?
9. Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при
использовании основного метода Ньютона?
10. Как можно повысить точность интерполяции, применяя метод
Ньютона?
11. В чём заключается разница между первой и второй интерполяци-
онными формулами Ньютона?
12. Какой приём можно использовать для оценки погрешности ин-
терполяции таблично заданной функции?
13. Какую степень будет иметь интерполяционный полином при трёх
заданных точках методом Ньютона?
14. Сколько существует интерполяционных полиномов степе-ни п?
15. Что такое сплайн?
16. Каковы основные возможности сплайновой интерполяции?
17. Что называют кубическим сплайном?
18. Через сколько исходных точек проходит один кубический поли-
ном в кубическом сплайне?
19. Сколько коэффициентов, подлежащих определению, содержит
кубический сплайн?
20. Какую функцию называют гладкой?
21. Могут ли узлы сплайнов располагаться неравномерно?
22. Укажите недостатки сплайновой интерполяции.
65
ГЛАВА 6. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДАННЫХ
Экстраполирование (от лат. extra – сверх вне и … polio – приглажи-
ваю, выправляю), экстраполяция функции – продолжение функции за
пределы её области определения, при котором продолженная функция
(как правило, аналитическая) принадлежит заданному классу.
Экстраполяция – несколько более широкое понятие, чем интерполяция. Она сводится к восстановлению функции в точках за пределами заданного интервала.
Экстраполяцию функций обычно проводят с помощью формул, в которых использована информация о поведении функций в некотором конечном наборе точек (узлах интерполяции), принадлежащих её области
определения.
Если используемая информация о значениях функции f: [a, b] → R в
узлах хk [a, b], k = 0, 1, …, п, то интерполяционный многочлен Лагранжа Ln, будучи определён на всей числовой оси, является, в частности, экстраполяцией функции f вне отрезка [a, b] в классе многочленов
степени не выше п.
Обычно, как и в рассмотренном примере, при экстраполировании
функции используют её значения не во всей области определения, а
только в её части, т.е. фактически проводится экстраполирование значений сужения заданной функции на указанной части. В этом случае экстраполяционные формулы дают также значения (вообще говоря, приближённые) функции и в соответствующих точках её области определения.
Задание
Задан вектор исходных значений данных y в виде 7 пар точек. Для
каждого варианта (табл. 6.1) заданы: количество последовательных элементов вектора у, согласно которым строят экстраполяцию m и количество элементов вектора предсказаний n.
Необходимо по m элементам вектора y экстраполировать данные на n
точек и построить графики зависимостей исходных yi = f(i) и спрогнозированных данных Aj = f(j), где i – порядковый номер исходных данных; j
– порядковый номер прогнозируемых точек.
66
Варианты заданий
Номер
варианта
Массив точек
Прогнозирование
по m элементам
вектора y
Предсказать
n элементов
вектора y
1
(0; 1,5), (1; 2,4), (2; 2,2), (3; 3,6),
(4; 3,6), (5; 4,1), (6; 4,9)
6
6
2
(0; 1,8), (1; 2,1), (2; 2,6), (3; 3,3),
(4; 3,3), (5; 4,5), (6; 4,8)
5
7
3
(0; 1,3), (1; 2,7), (2; 2,8), (3; 3,5),
(4; 3,2), (5; 4,8), (6; 4,2)
4
8
4
(0; 1,4), (1; 2,5), (2; 2,5), (3; 3,7),
(4; 3,7), (5; 4,4), (6; 4,5)
6
9
5
(0; 1,9), (1; 2,2), (2; 2,3), (3; 3,4),
(4; 3,9), (5; 4,7), (6; 4,7)
5
10
6
(0; 1,6), (1; 2,6), (2; 2,1), (3; 3,9),
(4; 3,5), (5; 4,9), (6; 4,1)
4
6
7
(0; 1,7), (1; 2,8), (2; 2,4), (3; 3,2),
(4; 3,1), (5; 4,1), (6; 4,4)
6
7
8
(0; 1,2), (1; 2,3), (2; 2,9), (3; 3,1),
(4; 3,2), (5; 4,6), (6; 4,3)
5
8
9
(0; 1,1), (1; 2,1), (2; 2,7), (3; 3,6),
(4; 3,6), (5; 4,3), (6; 4,8)
4
9
10
(0; 1,8), (1; 2,5), (2; 2,2), (3; 3,3),
(4; 3,5), (5; 4,2), (6; 4,6)
6
10
11
(0; 1,6), (1; 2,4), (2; 2,6), (3; 3,5),
(4; 3,7), (5; 4,5), (6; 4,5)
5
6
12
(0; 1,1), (1; 2,7), (2; 2,8), (3; 3,8),
(4; 3,9), (5; 4,8), (6; 4,7)
4
7
13
(0; 1,2), (1; 2,9), (2; 2,4), (3; 3,7),
(4; 3,3), (5; 4,4), (6; 4,2)
6
8
14
(0; 1,9), (1; 2,3), (2; 2,1), (3; 3,4),
(4; 3,1), (5; 4,9), (6; 4,4)
5
9
15
(0; 1,7), (1; 2,8), (2; 2,5), (3; 3,9),
(4; 3,5), (5; 4,7), (6; 4,8)
4
10
16
(0; 1,3), (1; 2,2), (2; 2,3), (3; 3,1),
(4; 3,8), (5; 4,1), (6; 4,1)
6
6
Таблица 6.1
67
Продолжение табл. 6.1
Номер
вариан-
та
Массив точек
Прогнозирова-
ние по m эле-
ментам вектора
y
Предска-
зать n эле-
ментов век-
тора y
17
(0; 1,5), (1; 2,1), (2; 2,1), (3; 3,6),
(4; 3,4), (5; 4,6), (6; 4,9)
5
7
18
(0; 1,2), (1; 2,6), (2; 2,4), (3; 3,3),
(4; 3,3), (5; 4,2), (6; 4,5)
4
8
19
(0; 1,9), (1; 2,4), (2; 2,9), (3; 3,4),
(4; 3,2), (5; 4,4), (6; 4,6)
6
9
20
(0; 1,7), (1; 2,7), (2; 2,6), (3; 3,8),
(4; 3,9), (5; 4,5), (6; 4,4)
5
10
21
(0; 1,3), (1; 2,5), (2; 2,5), (3; 3,7),
(4; 3,7), (5; 4,3), (6; 4,7)
4
6
22
(0; 1,8), (1; 2,8), (2; 2,8), (3; 3,5),
(4; 3,6), (5; 4,6), (6; 4,2)
6
7
23
(0; 1,6), (1; 2,3), (2; 2,2), (3; 3,9),
(4; 3,5), (5; 4,9), (6; 4,1)
5
8
24
(0; 1,1), (1; 2,9), (2; 2,3), (3; 3,2),
(4; 3,4), (5; 4,8), (6; 4,8)
4
9
25
(0; 1,4), (1; 2,5), (2; 2,7), (3; 3,1),
(4; 3,1), (5; 4,1), (6; 4,9)
6
10
26
(0; 1,5), (1; 2,2), (2; 2,5), (3; 3,6),
(4; 3,6), (5; 4,2), (6; 4,3)
5
6
27
(0; 1,8), (1; 2,6), (2; 2,9), (3; 3,4),
(4; 3,8), (5; 4,7), (6; 4,7)
4
7
28
(0; 1,3), (1; 2,7), (2; 2,1), (3; 3,8),
(4; 3,2), (5; 4,5), (6; 4,5)
6
8
29
(0; 1,2), (1; 2,1), (2; 2,4), (3;
3,5), (4; 3,9), (5; 4,4), (6; 4,2)
5
9
30
(0; 1,9), (1; 2,4), (2; 2,6), (3;
3,3), (4; 3,4), (5; 4,1), (6; 4,4)
4
10
31
(0; 1,7), (1; 2,8), (2; 2,8), (3;
3,7), (4; 3,3), (5; 4,9), (6; 4,8)
6
6
32
(0; 1,2), (1; 2,3), (2; 2,5), (3;
3,9), (4; 3,7), (5; 4,3), (6; 4,1)
5
7
68
Окончание табл. 6.1
Номер
вариан-
та
Массив точек
Прогнозирова-
ние по m эле-
ментам вектора
y
Предска-
зать n эле-
ментов век-
тора y
33
(0; 1,1), (1; 2,6), (2; 2,3), (3; 3,4),
(4; 3,8), (5; 4,2), (6; 4,6)
4
8
34
(0; 1,6), (1; 2,9), (2; 2,1), (3; 3,6),
(4; 3,2), (5; 4,8), (6; 4,9)
6
9
35
(0; 1,5), (1; 2,4), (2; 2,7), (3; 3,8),
(4; 3,5), (5; 4,5), (6; 4,5)
5
10
36
(0; 1,8), (1; 2,5), (2; 2,5), (3; 3,1),
(4; 3,6), (5; 4,1), (6; 4,2)
4
6
37
(0; 1,2), (1; 2,2), (2; 2,2), (3; 3,7),
(4; 3,4), (5; 4,7), (6; 4,1)
6
7
38
(0; 1,2), (1; 2,8), (2; 2,9), (3; 3,3),
(4; 3,9), (5; 4,9), (6; 4,4)
5
8
39
(0; 1,4), (1; 2,1), (2; 2,8), (3; 3,5),
(4; 3,2), (5; 4,4), (6; 4,3)
4
9
40
(0; 1,7), (1; 2,6), (2; 2,4), (3; 3,2),
(4; 3,3), (5; 4,6), (6; 4,7)
6
10
Пример выполнения задания
Задан массив данных в виде пар точек: (0; 1,7), (1; 2,6), (2; 2,5), (3;
3,4), (4; 3,3), (5; 4,2), (6; 4,1). Требуется по этим шести точкам экстрапо-
лировать данные на пять точек.
В среде MathCAD массив исходных данных удобно записать в виде
транспонированной матрицы. Для этого нужно выбрать в главном меню
программы «Вид – Панели инструментов – Матрица» или на уже открытой плавающей панели «Math» элемент «Matrix». После чего необходимо
присвоить переменной y элемент «Матрица» и установить для неё параметры: одну строку и семь столбцов по числу точек. Затем ввести заданные точки и транспонировать матрицу, выбрав на панели «Matrix» элемент «Транспонирование матрицы»:
у := (1,7 2,6 2,5 3,4 3,3 4,2 4,1)Т. (6.1)
69
Для экстраполяции данных в MathCAD имеется инструмент, который
учитывает распределение данных вдоль всего интервала – это функция
predict(у, m, n), где у – вектор действительных значений, взятых через
равные промежутки значений аргумента; m – количество последовательных элементов вектора у, согласно которым строят экстраполяцию; n –
количество элементов вектора предсказаний. В функцию predict(у, m, n)
встроен линейный алгоритм предсказания поведения функции, основанный на анализе, в том числе осцилляции.
т := 6 п := 5
А := predict(у, т, п). (6.2)
Затем зададим области изменения исходных данных i и прогнозируемых точек j:
i := 0, 1, … т, j := 0, 1, … п. (6.3)
После чего построим графики заданной выборки данных и точек, полученных путём экстраполяции. Для этого нужно выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее
на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график»,
после чего на рабочей области программы MathCAD появится область
построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «yi», через запятую «Ai», а по оси абсцисс – «i» и «j + m +
1». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения
графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для
этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в
поле «Вес» выбрать «2», для строки «trace 2» сделать то же самое. Кроме
того, для удобства отображения графика можно выбрать типы линий для
графика исходных и экстраполированных значений. Чтобы установить
график в виде пунктирной линии нужно выбрать значение «dash» в
столбце свойств линии. Кроме того, можно выбрать фигуры, отображающие точки на графике, для этого в строке свойств, в столбце «Символ»,
для исходных точек выбран тип «dmdn», а для предсказанных значений –
тип «box».
График массива данных yi = f(i) и Aj = f(j) показан на рис. 6.1.
70
Рис. 6.1. График массива данных yi = f(i) и Aj = f(j)
y
i
Aj
i, j+m+1
8
6
4
2
0
0 3 6 9 12 15
Контрольные вопросы
1. Что такое экстраполяция?
2. Чем экстраполяция отличается от интерполяции?
3. В каких задачах анализа данных целесообразно использовать
экстраполяцию?
4. Как влияет количество элементов вектора, используемых для
экстраполяции, на качество прогнозирования?
5. Как связано качество прогнозирования с удалённостью экстра-
полируемых данных от начала экстраполяции?
6. Что такое экстраполяция?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]