Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматизация измерений, контроля и испытаний. Курсовое проектирование
.pdf
21
31
Сигнал трапециидальной формы
1
10
20
32
2
20
40
33
3
30
60
34
4
40
80
35
5
50
100
36
6
60
120
37
7
70
140
38
8
80
160
39
9
90
180
40
10
100
200
2
Т
х(t)
А
t
Т
τ
τ/3
х(t)
А
τ t T
Пример выполнения задания
Задан периодический сигнал прямоугольной формы (рис. 2.4) со следующими параметрами: амплитуда A = 1, период T = 50 с и длительность
импульса τ =
.
Рис. 2.4. Сигнал прямоугольной формы x(t)
Требуется составить аналитическое выражение, описывающее один
период сигнала x(t), рассчитать его спектр s(t) для трёх, пяти и семи гармоник и построить графики зависимостей x = f(t), s = f(t).
Один период сигнала прямоугольной формы описывается аналитическим выражением следующего вида:
22
.,0
τ,
τ0,
0,0
)(
Tt
TtA
tA
t
tx
s(t) =
1
0
),ωsinωcos(
2
n
nn
tnBtnA
A
(2.6)
Т
π2
T
dttx
T
A
0
0
,)(
1
(2.7)
T
n
dttntx
T
A
0
,)ωcos()(
2
(2.8)
T
n
dttntx
T
B
0
,)ωsin()(
2
(2.9)
(2.5)
Спектр сигнала s(t) с помощью ряда Фурье в тригонометрической
форме имеет следующий вид:
где ω =
Bn – коэффициенты разложения ряда Фурье, вычисляемые по формулам:
– угловая частота; n – номер гармоники; t – время; A0, Bn,
где x(t) – периодический сигнал.
Чтобы записать аналитическое выражение сигнала x(t) в среде
MathCAD, необходимо написать «x :=», а затем в главном меню программы выбрать «Вид – Панели инструментов – Программирование» или
на плавающей панели «Math» выбрать «Programming». На появившейся
плавающей панели выбрать элемент «Add Line», после чего на экране
появится вертикальная строка, представляющая тело программы, и вертикальный столбец с двумя полями ввода. Если поместить указатель
мыши на одно из полей и еще раз нажать на панели «Programming» на
элемент «Add Line», то справа от вертикальной черты появится ещё одно
поле для ввода операторов. Для описания сигнала нам потребуется три
поля ввода.
23
:)(tx
.
(2.10)
τ0if
:)(tAtx
.
(2.11)
2
:τ50:1:TTA
.otherwise 0
if)(
τ0if
:)( TtA
tA
tx
(2.12)
Чтобы записать первое условие нашего сигнала, нужно установить
указатель мыши в верхнюю область тела программы и на панели «Программирование» выбрать оператор «if» и ещё одно поле справа от этого
оператора. В поле, находящееся слева от оператора «if», вводится значение, удовлетворяющее условию, которое вводится в поле справа от этого
оператора.
Аналогично следует ввести остальные условия, входящие в аналитическое описание прямоугольного сигнала x(t).
Для ввода выражений отношения можно воспользоваться элементами, расположенными на панели «Boolean», которая находится на панели
«Math».
Полученное аналитическое выражение сигнала x(t) в среде MathCAD
будет иметь вид:
Для построения графика сигнала x = f(t) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов
график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится
область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «x(t)», а по оси абсцисс – «t». Далее двойным
щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси X – Y»
панели форматирования для удобства отображения нужно установить
размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить
24
толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку
N := 3 n := 1, 2, … N ω := 2
Т
π
,
(2.13)
A0 :=
Т
1
T
dttx0)(
,
(2.14)
An :=
Т
2
T
dttntx
0
ω)cos()(
,
(2.15)
Т
2
T
dttntx
0
)ωsin()(
x(t)
t
50 0 2
–2
«trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для
удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс вводом
соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. Поскольку
параметры сигнала по оси абсцисс изменяются от 0 до T = 50, эти значения и следует ввести. В результате получим график, изображённый на
рис. 2.5.
Рис. 2.5. График сигнала прямоугольной формы
в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25
Для записи разложения сигнала в тригонометрический ряд Фурье потребуется вызвать панель «Calculus» или в главном меню выбрать «Вид –
Панели инструментов – Калькуляция». На этой панели есть элементы
«Определённый интеграл» и «Суммирование по дискретному элементу».
Они необходимы для записи ряда Фурье и его коэффициентов разложения.
Полученное выражение для спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем следующим образом:
Bn :=
, (2.16)
25
s(t) :=
2
0
A
п
t
x(t)
s(t)
–2 2 0
50
+
(Aпcos(tnω) + Bnsin(tnω)). (2.17)
Чтобы добавить на график x = f(t) спектральную форму сигнала s =
f(t), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле, где записана
функция исходного сигнала x(t) и справа от неё ввести запятую, после
этого ниже появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует
ввести s(t). Графики сигнала прямоугольной формы и его спектральное
показание по первым трём гармоникам показаны на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его
спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 3
Аналогично строят графики для пяти (рис. 2.7) и семи
(рис. 2.8) гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно
лишь присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает спектр сигнала. При этом автоматически обновится
график зависимости s = f(t).
26
Рис. 2.7. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его
x(t)
s(t)
t
50 0 2
–2
50
x(t)
s(t)
t
2
–2
2
–2 0 50
0
спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5
Рис. 2.8. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его
спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7
Контрольные вопросы
1. Дайте определение кусочно-линейной функции.
2. Что такое негармонический сигнал.
3. Дайте определение периода сигнала.
4. Что такое периодический сигнал.
5. Дайте определение ряда Фурье в комплексной форме.
6. Дайте определение ряда Фурье в тригонометрической форме.
7. Что такое сигнал.
8. Дайте определение сигнала пилообразной формы.
27
9. Что представляет собой синтез сигнала из спектра.
10. Дайте определение синусоидального сигнала.
11. Что такое скважность сигнала.
12. Дайте определение частичных сумм ряда Фурье.
13. Как ведет себя амплитудный спектр сигнала прямоугольной фор-
мы с ростом числа гармоник?
14. Как изменится частота с увеличением периода колебаний?
15. Каким образом изменяется спектр сигнала с увеличением числа
гармоник?
16. Как связана форма сигнала и число гармоник?
17. Как связаны частота и угловая частота?
18. Какие типы сигналов вы знаете?
19. Какими параметрами характеризуется гармонический сигнал?
20. Как влияет номер гармоники на восстановленный сигнал?
21. Можно ли применять ряд Фурье для разложения непериодиче-
ского сигнала?
22. Сформулируйте условия Дирихле.
23. Чему равняется круговая частота?
24. Что такое амплитуда сигнала?
25. Что представляет собой амплитудный спектр сигнала?
26. Что такое гармоника?
27. Что такое чётные и нечётные гармоники?
28. Что представляет собой гармонический сигнал?
29. Что такое длительность импульса?
30. Что такое преобразование сигнала?
31. Что такое преобразование Фурье?
32. Как записывается разложение сигнала в спектр?
33. Дайте определение скважности импульса?
34. Что такое спектр?
35. Что такое треугольный сигнал?
36. Дайте определение фазы сигнала?
37. Что такое фазовый спектр сигнала?
38. Что представляет собой фронт сигнала?
39. Что такое частота колебаний?
28
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ
Номер
варианта
Непрерывная
функция x(t)
Запись функции
x(t) в MathCAD
Параметр
периода k
1
sin(ωt)
sin(ωt)
5
2
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
6
3
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
7
4
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
8
5
sin(ωt)
sin(ωt)
9
6
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
10
7
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
9
8
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
8
9
sin(ωt)
sin(ωt)
7
10
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
6
11
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
5
12
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
6
СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Задание
Для каждого варианта задана непрерывная периодическая функция,
описывающая сигнал x(t) с периодом T = kπ.
Требуется:
1. Написать программу в среде MathCAD, провести дискретизацию
функции x(t), при заданном периоде T построить график зависимости
непрерывной функции x = f(t) от времени, а также график дискретной v =
f(t) функций от времени для шага дискретизации Δt = 1, 2 и 3.
2. Провести квантование по времени и по уровню функции x(t), при
заданном периоде T построить график зависимости непрерывной функции x = f(t) от времени, а также график квантованной q = f(t) функции от
времени для шага квантования Δt = 0,5, 1 и 2.
Варианты заданий
Таблица 3.1
29
Окончание табл. 3.2
Номер
варианта
Непрерывная
функция x(t)
Запись функции x(t)
в MathCAD
Параметр
периода k
13
sin(ωt)
sin(ωt) 7 14
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
8
15
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
9
16
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
10
17
sin(ωt)
sin(ωt)
9
18
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
8
19
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
7
20
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
6
21
sin(ωt)
sin(ωt)
5
22
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
6
23
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
7
24
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
8
25
sin(ωt)
sin(ωt)
9
26
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
10
27
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
9
28
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
8
29
sin(ωt)
sin(ωt)
7
30
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
6
31
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
5
32
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
6
33
sin(ωt)
sin(ωt)
7
34
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
8
35
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
9
36
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
10
37
sin(ωt)
sin(ωt)
9
37
cosech(cosec(ωt))
csch(csc(ωt))
8
39
arcsin(sin(ωt))
asin(sin(ωt))
7
40
arctg(tg(ωt))
atan(tan(ωt))
6
Задана непрерывная функция x(t) = arctg(sin(ωt)) с периодом T = 5π.
Требуется:
1. Для этой функции написать программу в среде MathCAD, прове-
сти дискретизацию, построить график зависимости непрерывной функ-
Задание
30
ции x = f(t) от времени, а также график дискретной v = f(t) функций от
).ωsin(:)(
π
2:ω
π5:
ttx
T
T
(3.1)
m
n
tnttxtv
0
δ)()(
m
n
tnt0δ
.0,0
0,1
)(δ
t
t
t
otherwise.0
0if1
:)(δtt
.)(δ)(:)(
1:
0mn
tnttxtv
t
(3.5)
времени для шага дискретизации Δt = 1, 2 и 3.
2. Провести квантование по времени и по уровню функции x(t), при
заданном периоде T, построить график зависимости непрерывной функции x = f(t) от времени, а также график квантованной q = f(t) функции от
времени для шага квантования Δt = 0,5, 1 и 2.
Пример выполнения задания
1. В среде MathCAD заданная непрерывная функция имеет следую-
щий вид:
Дискретную последовательность или дискретный сигнал v(t) выражают через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим
образом:
, (3.2)
где δ(t) – дискретная дельта-функция; Δt – шаг дискретизации,
ных точек.
Одиночную дельта-функцию запишем в виде
Дельта-функция в среде MathCAD имеет вид
Дискретный сигнал равен
– последовательность дельта-функций; m – число дискрет-
(3.3)
(3.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]