Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр и нелинейного программирования. Учебное пособие.pdf
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 1 1 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2 1 1 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 1 2 2
( x ),e 3e 3e e e 0,
( x ),e e e e e 0,
e e e e 1,
( 2) (2 )
11
e e 0,
( 2) (2 )
22
e e 0,
( 2) ( 2 ) ( 2 ) (2 )
1 1 2 2
e 0, e 0, e 0, e 0
( 2 )
1e
( 2 )
1e
( 2 )
2e
( 2 )
2e
i
b
2
s
( 2 )
1e
( 2 )
2e
( 2 )
2e
i
b
1
s
3
-3 1 -1 0
1
s
-3 0 -2 2 0
2
s
1
-1 1 -1 0
( 2 )
1e
1
-1 1 -1
0
3
s
1 1 1 1 1
3
s
-1 2 0 2 1
max
z
-11
11
-1 1 0
max
z
11 0 10
-10
0
2
s
( 2 )
1e
( 2 )
2e
1
s
i
b
3
s
( 2 )
1e
( 2 )
2e
1
s
i
b
( 2 )
2e
-3/2 0 -1
1/2
0
( 2 )
2e
3/4
3/2
1/2
-1/4
3/4
( 2 )
1e
-1/2
-1 0 1/2
0
( 2 )
1e
1/4
-1/2
1/2
1/4
1/4
3
s
2 2 2
-1 1
2
s
1/2 1 1
-1/2
1/2
max
z
-4 0 0 5 0
max
z
2 4 4 3 2
( 2) ( 2 ) ( 2) (2 )
1 1 2 2
e 1 / 4, e 0, e 0, e 3 / 4
( 2 )
1 / 4
e.
3 / 4
( 2 )
e
( 3) ( 2 ) ( 2 )
5 / 2 1 / 4 5 / 2 h / 4
x x he h
15 / 2 3 / 4 15 / 2 3h / 4
.
Симплексные таблицы представлены ниже
Оптимальное решение этой задачи равно
откуда находим направление очередного шага
Найдем границы шага смещения h в направлении
будет оставаться во множестве допустимых решений. Имеем:
,
, при котором точка
71
3(5 / 2 h / 4 ) 15 / 2 3h / 4 15
5 / 2 h / 4 15 / 2 3h / 4 10
5 / 2 h / 4 0
15 / 2 3h / 4 0.
h [0;5].
( 3 ) ( 2) ( 2 )
x x he
( 2) ( 2 ) 2 2
2
(h) f ( x he ) (5 / 2 h / 4 8 ) (15 / 2 3h / 4 8 )
22
(h / 4 11 / 2) (3h / 4 1 / 2)
h [0;5].
2
(h) ( 8 5h) / 4
h 8 / 5
h 8 / 5
h 8 / 5
h 8 / 5
2
(h)
h [0;5].
( 3)
5 / 2 2 / 5 29 / 10
x.
15 / 2 6 / 5 63 / 10
( 3)
x
1
x
0 21 3
4
5 6 7 8
9
10
7
6
5
4
3
2
8
9
10
2
x
11
1
(0)
x
(2)
x
(1)
x
(3)
x
1
x
0 21 3
4
5 6 7 8
9
10
7
6
5
4
3
2
8
9
10
2
x
11
1
(0)
x
(2)
x
(1)
x
(3)
x
а) метод возможных направлений
б) метод условного градиента
Рисунок 15 - Иллюстрация итерационных процессов
Этой системе неравенств удовлетворяют все
Выберем h из
этого отрезка таким образом, чтобы значение целевой функции в точке
было максимальным.
Для этого найдем точку максимума функции
одной переменной h на отрезке
Производная
ложительна при
и отрицательна при
является точкой глобального максимума функции
максимума этой функции на отрезке
обращается в нуль в точке
, поэтому точка
и точкой локального
, по-
Получаем очередное приближение:
Итерационный процесс метода возможных направлений иллюстрируется
рисунком 15.
Заметим, что
— это точное решение задачи (38)-(39).
72
2.3.2. Метод условного градиента
( k )
x
( k )
x
( k )
f ( x ) 0
( k )
x
f ( x )
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
f x f x f x , x x x x
( k ) ( k )
k
f ( x ) f x , x x
( k )
f x f x
( k )
xx
( k )
x
( k 1 )x
( k 1 ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x x h x x ,
( k )
h
( k ) (k )
h min 1;h ,
( k )
h
f ( x )
( k )
x
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x h x x
( k )
h [0;1]
( k 1 )x
Опишем метод условного градиента. Пусть
— очередное приближе-
ние к оптимальному решению задачи выпуклого программирования (21)-(22) —
такая точка
множества допустимых решений, что
.
Тогда в окрестности точки
целевая функция
может быть пред-
ставлена в виде
.
Будем максимизировать на допустимом множестве линейную функцию
, (46)
которая является приближением разности
чины
Пусть
.
— решение вспомогательной задачи максимизации функции
с точностью до вели-
(46) при ограничениях (22).
Следующее приближение
к оптимальному решению исходной зада-
чи (21)-(22) построим по формуле
(47)
в которой величину шага смещения
выберем как
(48)
где
перемещении из точки
выбирается из условия наибольшего роста целевой функции
в точку
при
.
Тогда, поскольку множество допустимых решений выпукло,
точка
(47) останется допустимым решением.
Отметим, что вспомогательная задача максимизации функции (46) при
ограничениях (22) является также задачей выпуклого программирования. Процесс ее решение оказывается, однако, достаточно простым в случае, когда огра-
,
ничения (22) являются линейными.
ПРИМЕР 2. Требуется найти приближение к оптимальному решению за-
дачи выпуклого программирования (38)-(39) из примера 1, для чего провести
три первые итерации метода условного градиента, выбрав в качестве начального приближения вектор
73
( 0 )
1
x
8
.
( 0 )
1
x
8
( 0 )
1
( 0 )
2
xx
2( x 8 )
fx
2( x 8 )
2(1 8 ) 14
2(8 8 ) 0
( 0 ) ( 0 )
0 1 2 1
f ( x ) f x , x x 14( x 1) 0( x 8) 14x 14 max
12
12
1
2
3x x 15,
x x 10,
x 0,
x 0.
( 0 )
5
x
0
1
x
2
x
i
b
3
x
2
x
i
b
3
x
3 1 15
1
x
1/3
1/3
5
4
x
1 1 10
4
x
-1/3
2/3
5
max
f
-14 0 -14
max
f
14/3
14/3
56
( 0 )
h
f ( x )
( 0 )
1
x
8
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x h x x
( 0 )
( 0 )
( 0 )
1 5 1 1 4h
h
8 0 8
8 8h
Решение. Как было показано в примере 1, начальное приближение
является допустимым решением.
1-й шаг.
.
Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (46) при огра-
ничениях (39):
,
Оптимальное решение этой задачи равно
Симплексные таблицы представлены ниже
Выберем
из условия наибольшего роста целевой функции
перемещении из точки
в точку
.
при
Рассмотрим функцию
74
.
( 0 )
22
0
( 0 )
1 4h
( h ) f (1 4h 8 ) (8 8h 8 )
8 8h
2 2 2
16h 56h 49 64h 80h 56h 49
0
(h) 160h 56
h 56 / 160 7 / 20
h 7 / 20
h 7 / 20
( 0 )
h 7 / 20
0
(h)
( 0 )
h
( k ) ( k )
h min 1;h 1;7 / 20 7 / 20
( 1 )
x
( 1 )
x
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x h x x
1 5 1 1 4 7 / 20 12 / 5
7
.
8 0 8 8 8 7 / 20 26 / 5
20
( 1 )
x
( 1 )
1
( 1 )
2
xx
2( x 8 )
fx
2( x 8 )
2(12 / 5 8 ) 56 / 5
.
2(26 / 5 8 ) 28 / 5
( 1 ) ( 1)
1 1 2 1 2
56 12 28 26 56 28
f ( x ) f x , x x x x x x 56 max,
5 5 5 5 5 5
12
12
1
2
3x x 15,
x x 10,
x 0,
x 0.
( 1 )
5 / 2
x
15 / 2
( 1 )
h
f ( x )
( 1 )
12 / 5
x
26 / 5
.
Производная
поэтому точка
.
Величину шага смещения
и построим следующее приближение
ходной задачи:
2-й шаг.
Градиент целевой функции в точке
, положительна при
является точкой глобального максимума функции
выберем как
обращается в нуль в точке
и отрицательна при
к оптимальному решению ис-
равен
,
Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (46) при огра-
ничениях (39):
Оптимальное решение этой задачи равно
Симплексные таблицы представлены ниже
Выберем
из условия наибольшего роста целевой функции
перемещении из точки
при
75
1
x
2
x
i
b
3
x
2
x
i
b
3
x
4
x
i
b
3
x
3 1 15
1
x
1/3
1/3
5
1
x
1/2
-1/2
5/2
4
x
1 1 10
4
x
-1/3
2/3
5
2
x
-1/2
3/2
15/2
max
f
-56/5
-28/5
-56
max
f
56/15
-28/15
0
max
f
28/5
14/5
14
( 1 ) ( 1) ( 1 ) ( 1)
12 / 5
x h x x
26 / 5
( 1 )
( 1 )
( 1 )
5 / 2 12 / 5 12 / 5 h / 10
h
15 / 2 26 / 5
26 / 5 23h / 10
2
1
12 / 5 h / 10
( h ) f 12 / 5 h / 10 8
26 / 5 23h / 10
2
(26 / 5 23h / 10 8 )
22
h 28 23h 14
.
10 5 10 5
1
h 28 1
( h ) 2
10 5 10
23h 14 23 1
2 (53h 70 )
10 5 10 5
h 70 / 53
h 70 / 53
h 70 / 53
( 1 )
h 70 / 53
1
(h)
( 1 )
h
( 1 ) ( 1)
h min 1;h min 1;70 / 53 1
( 2 )
x
( 2 ) ( 1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 )
5 / 2
x x h ( x x ) x x x x .
15 / 2
( 2 )
x
(2)
1
( 2 )
2
xx
2( x 8 )
fx
2( x 8 )
2(5 / 2 8 ) 11
2(15 / 2 8 ) 1
в точку
Рассмотрим функцию
.
Производная
обращается в нуль в точке
тельна при
го максимума функции
Величину шага смещения
, поэтому точка
.
выберем как
и построим следующее приближение
задачи:
, положительна при
и отрица-
является точкой глобально-
к оптимальному решению исходной
3-й шаг.
Градиент целевой функции в точке
равен
Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (46) при огра-
ничениях (39):
76
.
( 2) ( 2 )
2 1 2
f ( x ) f x , x x 11( x 5 / 2) x 15 / 2 max,
12
12
1
2
3x x 15,
x x 10,
x 0,
x 0.
( 2 )
5
x
0
1
x
2
x
i
b
3
x
2
x
i
b
3
x
3 1 15
1
x
1/3
1/3
5
4
x
1 1 10
4
x
-1/3
2/3
5
max
f
-11
-1
-35
max
f
11/3
8/3
20
( 2 )
h
f ( x )
( 2 )
5 / 2
x
15 / 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
5 / 2
x h x x
15 / 2
( 2 )
( 2 )
( 2 )
5 5 / 2 5 / 2 5h / 2
h
0 15 / 2
15 / 2 15h / 2
2
5 / 2 5h / 2
( h ) f
15 / 2 15h / 2
22
(5 / 2 5h / 2 8 ) (15 / 2 15h / 2 8 )
2 2 2 2
5h 11 15h 1 5h 11 15h 1
.
2 2 2 2 2 2 2 2
2
5h 11 5
( h ) 2
2 2 2
15h 1 15 5
2 (50h 8 ) 5(25h 4 )
2 2 2 2
h 4 / 25
h 4 / 25
h 4 / 25
( 2)
h 4 / 25
2
(h)
( 2 )
h
Оптимальное решение этой задачи равно
Симплексные таблицы представлены ниже
Выберем
из условия наибольшего роста целевой функции
перемещении из точки
в точку
.
при
Рассмотрим функцию
Производная
обращается в нуль в точке
тельна при
максимума функции
Величину шага смещения
, поэтому точка
.
, положительна при
выберем как
77
.
и отрица-
является точкой глобального
( 2 ) ( 2 )
h min 1;h
min 1;4 / 25 4 / 25
( 3 ) ( 2 )
xx
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
5 / 2 5 5 / 2 29 / 10
4
h x x .
15 / 2 0 15 / 2 63 / 10
25
22
1 2 1 2
f ( x ;x ) nx 5x
12
12
1
2
x 2x 18;
2x x 16;
x 0;
x 0.
( 0 )
1
x.
1
и построим следующее приближение к оптимальному решению исходной задачи:
Задание для самостоятельного решения
Требуется найти максимальное значение функции
при ограничениях
, где n — номер варианта.
Вначале нужно проверить выполнение условия регулярности.
Затем нужно найти приближение к оптимальному решению задачи, для
чего провести три первые итерации метода возможных направлений, а затем
три первые итерации метода условного градиента, выбрав (для обоих методов)
в качестве начального приближения вектор
После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения» пакета
Microsoft Excel проверить правильность решения задачи.
78
79
80