Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр и нелинейного программирования. Учебное пособие.pdf
0
21 3 4 5 6 7 8 9 10
1
7
6
5
4
3
2
8
9
10
1
x
2
x
1
l
E
11
12
2
l
-1-2
-1
3
l
C
A
B
12
3 2 7xx
12
10 8xx
12
18 4 12xx
22
12
( 3) ( 4) 65xx
22
12
324
( 3) ( 4)
101
xx
D
2
x
1
x
1 2 2
2( x 3) 2( x 4 )x 0
1
2 kac
2
( x 3 )
x k .
( x 4 )
21
10( x 4) x 3
12
12
x 10x 43;
10x x 8,
*
1
123
x
101
*
2
422
x
101
22
min
123 422 324
F 3 4 .
101 101 101
(2;12)
Рисунок 13 - Интерпретация решения задачи из примера 1
Рассматривая
как неявную функцию переменной
уравнение окружности, получим
откуда
Приравнивая найденное выражение числу 10, получаем одно из уравне-
ний для определения координат точки Е:
Присоединяя к нему уравнение ограничивающей прямой, на которой ле-
жит точка Е, получим систему
Таким образом,
откуда
;
и дифференцируя
.
.
.
нимает в точке С
уравнений прямых, на пересечении которых находится точка С.
Как видно из рисунка 13, максимальное значение целевая функция при-
. Ее координаты определены путем решения системы
51
1 2 1
1 2 2
10x x 8, x 2,
18x 4x 12. x 12.
22
max
F 2 3 12 4 1 64 65.
12
F 3x 4x
22
12
12
x x 25,
x x 4,
12
x ,x 0.
22
12
x x 25
12
x x 4
0 2 3 4 5 6
4
5
8
N
12
3 4 25xx
22
12
25xx
12
4xx
E
2
x
1
x
1
1 7
2
7
6
3
D
F kac
kk
12
3x 4x h
F
k
Таким образом, максимальное значение функции
Пример 2. Найти максимальное и минимальное значения функции
(18)
при условиях
(19)
(20)
Решение. Область решений задачи (18) — (20) изображена на рисунке
14. На этом рисунке построены две линии уровня, представляющие собой пря-
мые. Из рисунка 2 видно, что максимальное значение целевая функция задачи
принимает в точке Е, в которой прямая касается окружности
нимальное в точке D, где прямая касается гиперболы
.
, а ми-
Рисунок 14 - Интерпретация решения задачи из примера 2
угловых коэффициентов прямой
и касательной к окружности в точке Е.
Для определения координат точки Е воспользуемся равенством
Для углового коэффициента прямой
52
, (где h — некоторая постоянная)
получим
21
h3
xx
44
, откуда
F
k 3 4
kac
k
22
12
x x 25
1
x
1 2 2
2x 2x x 0
2 1 2
x x x
F kac
kk
12
x x 3 4
12
1 2 1
2
2 2 2
2
1 2 2
x 3 4 x
x 3 4 x x 3
9 16 1 x 25
x x 25 x 4
*
1
x3
*
2
x4
22
max
F 3 4 25
F kac
kk
12
3x 4x h
12
x x 4
12
x x 4
1
x
2 1 2
x x x 0
2 2 1
x x x
F kac
kk
21
x x 3 4
1
1 2 1 2
12
22
12
22
2
x 4 3 3
x 4 3x x 4 3 x
x 4 3x
x x 4
4 3x 4 x 1 3
x 1 3
*
1
4
x
33
*
2
1
x3
min
4 1 8
F 3 4
3 3 3 3
.
Для определения углового коэффициента
дифференцируем уравнение окружности
ременной
Приравнивая
ординат точки Е:
, получим
, получаем одно из уравнений для определения ко-
. В качестве второго уравнения возьмем уравнение
или
касательной к окружности
как неявную функцию пе-
.
ограничивающей окружности. Таким образом, для определения координат точки Е имеем систему
.
С учетом неотрицательности переменных
Значит,
.
;
.
Для определения координат точки D также воспользуемся равенством
угловых коэффициентов прямой
уже к гиперболе
Дифференцируя уравнение
Откуда,
В результате, для определения координат точки D имеем систему
С учетом неотрицательности переменных
Значит,
в точке D.
по переменной
или
;
.
и касательной, теперь
, получим
.
.
.
;
.
53
Задания для самостоятельного решения
2
2 1 1
F x x 6x
12
12
12
2
2x 3x 24,
x 2x 15,
3x 2x 24,
x 4.
1. Найти максимальное значение функции
при условиях
54
2. Найти максимальное и минимальное значения функции
22
12
F ( x 4) ( x 3)
12
12
12
2x 3x 6,
3x 2x 18,
x 2x 8.
при условиях
55
3. Найти максимальное значение функции
12
F x x
12
12
12
6x 4x 12,
2x 3x 24,
3x 4x 12.
при условиях
56
4. Найти минимальное значение функции
22
12
F 9( x 5) 4( x 6 )
12
12
2
3x 2x 12,
x x 6,
x 4.
виях
при усло-
57
5. Найти максимальное значение функции
12
F 4x 3x
22
1 1 2 2
1
2
x 2x x 2x 34 0,
x 1,
x 1.
при условиях
58
6. Найти максимальное значение функции
12
F x x
22
1 1 2 2
12
x 2x x 2x 14 0,
2x x 10.
при условиях
59
2.2. Выпуклое программирование
12
x ,x X
[0;1]
1 2 1 2
f x (1 )x f( x ) (1 ) f ( x )
12
x ,x X
[0;1]
1 2 1 2
f x (1 )x f( x ) (1 ) f ( x )
1 - Выпуклая вниз
(выпуклая) на множестве X
функция;
2 - Выпуклая вверх
(вогнутая) на множестве X
функция.
n
xR
1 2 n
f ( x ) f ( x ,x ,...,x ) max
ii
( x ) b ,i 1,2,...,m,
i
( x ),
(i 1,2,...,m)
m
nm
i i i
i1
L x,y f x y, b x f x y b x , x R ,y R
1 1 m
y ,y ,...,y
T
m
1 2 m
y y y ... y R
n
xR
ii
( x ) b ,(i 1,2,...,m)]
n m n m
( x ,y ) R ( x R ,y R )
2.2.1. Краткие теоретические сведения
Функция f(x) называется выпуклой вниз (просто выпуклой) на множестве
X , если для любых
и любых
выполняется неравенство
Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на множестве X , ес-
ли для любых
и любых
выполняется неравенство
Задача выпуклого программирования формулируется так. Требуется найти
вектор
, доставляющий выпуклой вверх дифференцируемой функции
максимум на множестве допустимых решений, заданных ограничениями
у которых все
ции.
Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (21)-(22) на-
зывается функция
при этом координаты
множителями Лагранжа для задачи выпуклого программирования (21)-(22).
Говорят, что задача выпуклого программирования (21)-(22) удовлетворя-
ет условию регулярности, если существует хотя бы одна внутренняя точка
множества допустимых решений, определяемого неравенствами (22) [т. е. та-
кая точка
, что
Точка
(21)
(22)
— выпуклые вниз дифференцируемые функ-
, (23)
вектора
называются
.
называется седловой точкой функ-
60