Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории игр и нелинейного программирования. Учебное пособие.pdf
Для
1
p
11
1 p 1 1 p
11
1 p 1 1 p .
1
1
p;
2
2
1
p.
2
2
1
q;
2
2
1
q;
2
v 0.
22
22
B
A
1
B
2
B
1
A
11
a
12
a
1
p
2
A
21
a
22
a
2
p
1
q
2
q
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
a p a p v B
a p a p v B
12
p p 1
2
v v p
2
p
0
1
p1
1
1
p0
1
p
0
1
p1
1
1
p0
v
11
a
21
a
v
12
a
22
a
x0
1
A
x1
2
A
1
A
2
A
II
II II
II
откуда
имеем уравнение
Аналогично найдем:
Следовательно, оптимальная стратегия для каждого из игроков со-
стоит в том, чтобы случайным образом чередовать обе свои чистые стратегии, пользуясь одинаково часто каждой из них; при этом средний выигрыш будет равен нулю.
Графическое решение игры 2х2
Решению игры
претацию. Пусть имеется игра
можно дать простую геометрическую интер-
с матрицей, приведенной ниже.
Согласно соотношениям для стратегий А имеем (4)
(6)
Принимая во внимание, что
, выражения (6) представляют
собой линейные функции одной переменной, например
зим их в графическом виде.
Возьмем участок оси абсцисс длиной 1 (рисунок 1). Левый конец
участка (точка с абсциссой
конец участка (
) – стратегию
перпендикуляра к оси абсцисс: ось
) будет изображать стратегию
. Проведем через точки
и ось
. На оси
. Изобра-
, правый
и
два
будем
21
откладывать выигрыши при стратегии
1
A
II II
2
A
*
A
S
1
B
II
II II
11
a
21
a
11
BB
1
B
12
A
11
AA
S,
pp
11 1 12 2
a p a p
11
BB
2
p.
11
BB
1
B
1
B
2
B
*
A
S
1
B,
2
B,
12
B NB ,
2
p
2
A
; на оси
– выигрыши при
стратегии
.
Рисунок 1 – Стратегия В1 Рисунок 2 – Оптимальная стратегия
Рассмотрим стратегию противника
, она дает две точки на осях
и
точки прямую
дем применять смешанную стратегию
игрыш, равный в этом случае
мой
выигрыш при стратегии
с ординатами соответственно
. Очевидно, если мы при стратегии противника
; абсцисса этой точки равна
будем условно называть «стратегией
и
. Проведем через эти
бу-
то наш средний вы-
изобразится точкой М на пря-
Прямую
изображающую
».
Очевидно, точно таким же способом может быть построена и стра-
тегия
(рисунок 2).
Нам нужно найти оптимальную стратегию
, т. е. такую, для кото-
рой минимальный выигрыш (при любом поведении В) обращался бы в
максимум.
Для этого построим нижнюю границу выигрыша при стратегиях
т. е. ломаную
отмеченную на рисунке 2 жирной линией. Эта
нижняя граница будет выражать минимальный выигрыш игрока А при
любых его смешанных стратегиях; точка N, в которой этот минимальный
выигрыш достигает максимума, и определяет решение и цену игры. Нетрудно убедиться, что ордината точки N есть цена игры v, а ее абсцисса
равна
– частоте применения стратегии
в оптимальной смешанной
22
стратегии
*
A
S
2
A
2
B
22
va
1
A
2
A
22
a
1
B
2
B
.
В нашем случае решение игры определялось точкой пересечения
стратегий. Однако это не всегда будет так; на рисунке 3 показан случай,
когда, несмотря на наличие пересечения стратегий, решение дает для
обоих игроков чистые стратегии (
В данном случае матрица имеет седловую точку, и стратегия
и
), а цена игры
.
яв-
ляется заведомо невыгодной, т. к. при любой чистой стратегии противника она дает меньший выигрыш, чем
.
Рисунок 3 – Седловая точка
Рисунок 4 – Невыгодная стратегия В2
В случае, когда заведомо невыгодная стратегия имеется у противника, геометрическая интерпретация имеет вид, представленный на рисунке 4. В данном случае нижняя граница выигрыша совпадает со страт егией
; стратегия
для противника является заведомо невыгодной.
Геометрическая интерпретация дает возможность представить наглядно также нижнюю и верхнюю цены игры (рисунок 5).
Рисунок 5 - Нижняя и верхняя цена игры
23
Пример 2. Решите матричную игру
23
A
50
max 2;0 0
min 5;3 3
P p; 1 p
v2р 5 1 р
v3р 0 1 р
2p 5(1 p )
3p 0(1 p )
*
P 0,5; 0,5 , 1,5
Q q; 1 q
v 2q 3(1 q )
v 5q 0(1 q)
q
-
3
А1 0
A2 5
1
q*=0
А
1
A2 N
*
p
1
5
B
1
0
B
2
3
-
*
p*=0,
B
1
B2 N
.
Решение. Проверим, есть ли в игре седловая точка. Нижняя цена игры
, верхняя цена игры
.
, следовательно,
седловой точки нет. Решение ищем среди смешанных стратегий. Для первого
игрока ищем смешанную стратегию
, где 0 р 1.
Изображаем две прямые (рисунок 6):
В1В1:
и В2В2:
.
Рисунок 6 - Решение игры для первого игрока
Наивысшая точка нижней огибающей N определяет решение первого иг-
рока. Для нахождения её координат необходимо решить систему уравнений
этих прямых:
N(0,5; 1,5)
Для второго игрока ищем смешанную стратегию
, где 0 q 1.
.
Изображаем две прямые (рисунок 7):
A1A1:
и A2A2:
.
Рисунок 7 - Решение игры для второго игрока
24
Низшая точка верхней огибающей N определяет решение второго игрока.
2p 3(1 p )
5p 0(1 p )
*
Q 0,3; 0,7 , 1,5
*
P 0,5; 0,5
*
Q 0,3; 0,7 , 1,5
2 3 1
А 4 5 6
7 10 8
3 2 1 4
А 10 4 3 10
2 4 1 2
2 3 5 0
3 7 9 6
А
5 3 2 4
8 5 3 5
Для нахождения её координат необходимо решить систему уравнений этих
прямых:
Ответ:
Задания для решения в аудитории
I. Исследуйте игры, заданные следующими матрицами:
1.
.
N(0,3; 1,5)
;
.
.
2.
.
3.
25
4.
4 8 9 6 5
6 2 5 7 7
А
5 1 3 6 6
4 0 5 5 6
5 1 4 6 4
12 22
А
32 2
.
II. Решить задачи теории игр.
1. Решить задачу с платежной матрицей 2×2 аналитическим методом.
26
2. Составить платежную матрицу и решить игру.
Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт
зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует
1000 костюмов и 2300 платьев, а при прохладной погоде - 1400 костюмов и 700
платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны 20 , а платья - 5 рублям, цена реализации соответственно равна 40 рублей и 12 рублей. Определить
оптимальную стратегию предприятия.
27
4. Решить задачи теории игр графическим и аналитическим методами.
52 22
А
22 49
а) Обувная фабрика планирует выпуск моделей обуви А и В. Спрос на эту
продукцию неопределен, однако можно предположить, что он может принимать одно из двух состояний (1 и 2). В зависимости от этих состояний прибыль
предприятия различна и определяется матрицей
. Найдите опти-
мальное соотношение между объемами выпуска каждой из моделей, при котором предприятию гарантируется средняя величина прибыли при любом состоянии спроса.
28
б) Банк заинтересован в покупке акций некоего АО. Стремясь сделать по-
12
A ,A .
12
B ,B .
0,608 1,000
1,000 0,440
купку более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, которая может быть как правдивой, так и ложной -
Продавец может поверить, может нет -
Условие – игровая матрица, в которой данные о величине возможной успешности сделки – прирост стоимости по отношении к вложенным средствам:
Необходимо выбрать стратегию банка, при которой результат окажется
максимально возможным.
29
Графическое решение игр 2хn и mх2
2 n,
1
A,
2
A,
1
B,
2
B , ...,
n
B
ij
a
12
B MNB
12
*
A
11
AA
S
pp
2
p
2
A
2
B
4
B
3
B
1
B
*
A
S
1
B
3
B
mn
Решение игры 2хn
Совершенно аналогично может быть решена любая игра
где у
нас имеются всего две стратегии, а у противника – произвольное число.
Пусть мы располагаем двумя стратегиями:
стратегиями:
. Матрица
состоит из двух строк и n
а противник – n
столбцов. Аналогично случаю двух стратегий дадим задаче геометрическую интерпретацию; n стратегий противника изобразятся n прямыми
(рисунок 8). Строим нижнюю границу выигрыша (ломаную
) и
находим на ней точку N с максимальной ординатой. Эта точка дает реше-
ние игры (стратегию
абсцисса равна частоте
стратегии
); ордината точки N равна цене игры, а
.
Рисунок 8 – Решение игры 2х4 для игрока А
В данном случае оптимальная стратегия противника получается
применением смеси двух «полезных» стратегий:
ся в точке N. Стратегия
– невыгодной при оптимальной стратегии
является заведомо невыгодной, а стратегия
. Если А будет придержи-
и
, пересекающих-
ваться своей оптимальной стратегии, то выигрыш не изменится, какой бы
из своих «полезных» стратегий ни пользовался В, однако, он изменится,
если В перейдет к стратегиям
В теории игр доказывается, что у любой конечной игры
или
.
име-
ется решение, в котором число «полезных» стратегий той и другой стороны не превосходит наименьшего из двух чисел т и п. В частности, из
30