Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Учебное пособие.pdf
Из формулы (6.10) видно, что ток в цепи с емкостью является
синусоидальным и опережает напряжение по фазе на угол π/2 (рис.
6.4 б). Рассмотрим процесс протекания тока в цепи с емкостью подробнее. Под действием приложенного к конденсатору напряжения
происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение заряженных
частиц, входящих в состав молекул его вещества, в противоположных направлениях. Электрически нейтральные при отсутствии
внешнего электрического поля молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, т. е. системы двух противоположных
по знаку точечных зарядов. В процессе поляризации в диэлектрике
происходит движение элементарных частиц в пределах молекулы,
образующее ток поляризации или ток смешения. На рисунках 6.5,
б, в показаны действительные мгновенные значения потенциалов
точек а и d. В первую четверть периода (0 < t < T/4) потенциал точки а (рис. 6.5 б) положительный и увеличивается от 0 до + U
. По-
m
ляризация диэлектрика тока в цепи пропорциональна скорости изменения потенциала точки а.
а) б) в)
Рисунок 6.5. Определение фазы тока в цепи с емкостью:
а – изменение напряжения и тока; б – направление тока в первую
четверть периода, с, в – направление тока во вторую четверть
периода
Ток в цепи направлен от точки а, имеющей в данный промежуток времени больший потенциал, и совпадает по направлению с
напряжением. В момент времени t = Т/4 потенциал точки а достигает значения +U
и в течение ∆t → 0 не изменяется, вследствие
m
чего ток i = 0 (рис. 6.5 а).
Во вторую четверть периода (Т/4 < t < T/2) потенциал точки а
71
остается положительным, но уменьшается от + Um до нуля. Пла-
.
)/(1
U
CU
m
m
C
I
m
ω
ω
==
стина b конденсатора, заряженная до потенциала +U
, оказывается
m
в таких условиях, когда ее потенциал больше потенциала точки а.
Направление тока изменяется на противоположное (рис. 6.5 в), т. е.
ток становится отрицательным. Наибольшая разность потенциалов
имеет место при T = T/ 2. В этот момент времени ток достигает отрицательного максимума. Дальше процесс повторяется.
Величина 1/(ωС) в знаменателе правой части (6.11) имеет размерность сопротивления, обозначается Х
и называется емкостным
с
сопротивлением:
X
= 1/ (ωC) = 1/ (2πfC) (6.12)
c
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и
емкости конденсатора.
Таким образом,
I
= U
m
(6.12а)
m/Хс
Поделив обе части этого уравнения, получим выражение закона Ома для действующих значений тока и напряжения:
I = U/X
.
с
Комплексный ток на основании (6.10).
I
= ωCUm = Um/ 1/(2πfC).
m
(6.13)
С учетом выражения (6.12) можно найти соотношение между
комплексным напряжением и током в цепи с емкостью.
Рассмотренные выше простые цепи синусоидального тока в
зависимости от включенных в цепь электрических элементов поразному реагируют на приложенное синусоидальное напряжение.
В дальнейшем будут рассмотрены более сложные электрические
схемы, анализ которых основан на математическом аппарате простых цепей.
72
Вопросы для самопроверки
1. Что такое синусоидальный ток и поясните его физический
смысл?
2. Как можно доказать периодические электрические колебания,
объясните на примере механических колебаний маятника?
3. Что такое значение периодически изменяющейся величины,
перечислите эти величины?
4. Что такое частота колебаний, какая промышленная частота
принята у нас и в США, объясните почему такая частоты при-
меняются?
5. Почему энергию передают при большем значении тока и пояс-
нить и обоснуйте ответ? Ответить на вопросы: какова его
мощность, ток, сопротивление и напряжение.
6. Напишите уравнение, где к конденсатору подведено синусои-
дальное напряжение?
7. Что такое активное сопротивление? Какие виды сопротивле-
ний вы знаете? Ответ поясните.
8. Почему активное сопротивление при синусоидальном токе
больше сопротивления постоянному току?
9. Докажите теоретически, почему активное сопротивление при
синусоидальном токе больше сопротивления постоянному то-
ку
10. Какие материалы обладают активным сопротивление и что
такое резистор?
11. Что такое ток поляризации или ток смешения?
12. Что такое сдвиг фаз, почему он важен в электротехнике?
13. Что такое конденсатор и из чего он состоит, единицы измере-
ния? Запишите уравнение для конденсатора и поясните его фи-
зический смысл.
14. Объясните причину образования активного сопротивления в
проводниках.
15. Что такое индуктивность, элемент индуктивности, единицы
измерения назовите пример аналога для более глубокого усво-
ения индуктивности при механических колебаниях пружины?
16. Что такое индуктивное сопротивление
17. Что такое емкостное сопротивление?
73
Задачи для самостоятельной работы.
1. Как записывается закон Ома для цепи якоря мотора, подклю-
ченного к источнику постоянного тока?
2. Рассмотрите мотор постоянного тока с независимым возбуж-
дением (в нем индуктором является или постоянный магнит,
или электромагнит, обмотка которого пытается независимо от
обмотки якоря). Запишите закон сохранения энергии для такой
цепи.
3. Чему будет равна полезная мощность? (см. условие задачи
№ 4).
4. Рассчитать нагрузку для электромотора, вращающего вентиля-
тор циркуляционной установки, принять равной мощность
установки 10 кВт.
5. Рассчитать допустимый вакуум в лампах накаливания.
6. Рассчитать звукоизоляцию для материалов, бетон, кирпич фа-
нера и др., (данные взять со справочника). Что может быть
общего между теплопроводностью и шумоизоляцией? Ответ
поясните.
7. Цепь с активным сопротивлением r = 40 Ом, индуктивностью
L = 350 Гн и емкостью C = 40 мкФ включена на напряжение
U = 125 В с частотой f = 50 Гц. Определить индуктивное и
емкостное сопротивления, активную, реактивную и полную
мощность, полное сопротивления цепи, напряжение на индук-
тивность, напряжения на емкость, амплитуду этих напряже-
ний, действующее значение тока и угол сдвига фаз.
Тема 7. Мощность цепи синусоидального тока
Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока
равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:
р = ui.
Если к цепи приложено напряжение
u = U
то в общем случае ток в цепи i = I
sinωt,
m
sin(ωt − φ) (рис. 7.1). Сле-
m
довательно,
р = U
sinωt sin (ωt − φ) = = 2UI (sin2 ωt cosφ − sinωt cosωt
mIm
sinφ).
74
После преобразований получим
,
0
TPpdt
cр
T
=
∫
∫
=
T
cр
pdt
T
P
0
1
p = UI [cos φ − cos (2ωt − φ)] (7.1)
Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную UI c osφ, не изменяющуюся во времени, и
переменную UI cos (2ωt − φ), изменяющуюся периодически с частотой 2ω.
Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой (рис. 7.1).
При этом мощность положительна, если напряжение и ток
совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток
имеют разные знаки.
Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия
передается от источника к приемнику и наоборот.
Для количественной оценки электроэнергетических процессов
удобнее использовать среднее значение мощности P
, которое
cp
можно найти, вычислив работу, совершаемую за один период:
откуда
Рисунок 7.1. Изменение напряжения, тока и мощность в цепи при
последовательном соединении элементов с активным и реактивным
сопротивлениями
75
Подставив вместо р выражение (7.1), получим
0)2cos(
0
=−
∫
T
dtt
ϕω
2
2
2
a
a
GU
R
U
RIIUP
a
=+==
Так как,
= UI cosφ,
P
cp
, то
т. е. среднее значение мощности равно постоянной составляющей
мгновенного значения мощности.
Средняя мощность характеризует интенсивность передачи
электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразования в
другие виды энергии, т. е. активный необратимый процесс [17].
Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью
P = UI cosφ (7.2)
и выражают в ваттах, киловаттах и мегаваттах.
Активная мощность цепи синусоидального тока равна произведению действующих значений напряжения и тока и косинуса угла между их векторами. Для цепи, состоящей из элемента только с
активным сопротивлением R (φ = 0)
p = UI(1 − cos2ωt).
Напряжение и ток (рис. 7.2 а) совпадают по фазе, и мгновенное
значение мощности всегда положительно (рис. 7.2 б). Это указыва-
ет на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или
другие виды энергии. Среднее значение мощности или активная
мощность
Р = UI,
так как cosφ = 1.
Поскольку напряжение U
на элементе R совпадает по фазе с
a
током (φ = 0), то активная мощность Р цепи может быть определена как
В цепи с индуктивностью L угол ϕ = π/2 (рис. 7.2 а) и формула
(7.1) принимает вид
р = − UIsin2ωt (7.3)
76
т. е. мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую (рис. 7.2 б).
Рисунок 7.2. Изменение напряжения и тока (а) и мощности (б)
в цепи с индуктивностью
Первую четверть периода ток совпадает по направлению с
ЭДС самоиндукции е
индуктивной катушки, мощность отрица-
L
тельна, и энергия передается от катушки к источнику питания.
Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия
поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода
ток опять совпадает по направлению с e
, и запасенная в магнитном
L
поле катушки энергия передается источнику питания (мощность
отрицательна). Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При
этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена
между источником в приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена
электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q
, рав-
L
ной амплитуде мгновенного значения мощности, т. е.
Q
= UI
L
Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных
77
(Вар), киловольт-амперах реактивных (кВ·Ар) и т. д.
2
2
2
L
L
UB
X
U
IXIUQ
L
L
LLL
====
Напряжение на элементе с индуктивностью U = U
= XLI, по-
L
этому реактивную мощность можно также определить по формулам
,
= 1/XL – индуктивная проводимость.
где B
L
Если в цепь включен конденсатор емкостью С, то φ = − π/2
(рис. 7.3 а) и мгновенное значение мощности
P = UI sin2ωt,
которое отличается от (7.3) только знаком. Изменение мощности
для этой цепи показано на рисунке 7.3 б.
Рисунок 7.3. Изменение напряжения и тока (а) и мощности (б)
в цепи с емкостью
В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией
между источником питания и конденсатором. При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля освобождается
78
и возвращается источнику. Электроэнергетический процесс в цепи
2
2
2
СС
С
ССС
UB
X
U
IXIUQ
С
====
характеризуется только реактивной мощностью:
,
= l/Xc – емкостная проводимость.
где B
c
В общем случае, когда электрическая цепь состоит из элементов с активным R и реактивным X сопротивлениями, угол сдвига
по фазе между напряжением и током в цепи φ = 0 − π/2 (рис. 7.1 а),
а мгновенное значение мощности (рис. 7.1 б) описывается уравнением (7.1).
Заштрихованная площадь, ограниченная положительным значением мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной
отрицательным значением мощности и осью абсцисс. Это означает,
что в итоге часть электроэнергии передается от источника приемнику и преобразуется в нем в другие виды энергии. Количественно
процесс преобразования электроэнергии оценивается активной
мощностью (7.2).
Составляющая мощности UIcos(2ωt − φ) изменяется с двойной
частотой относительно линии, параллельной оси абсцисс и расположенной выше нее на значение активной мощности Р. Амплитуда
UI переменной составляющей мощности называется полной мощностью и обозначается S.
Полную мощность выражают в вольт-амперах (В·А), киловольт-амперах (кВ·А) и т. д. Ее можно вычислять по формулам:
S = UI = ZI
2
= U2 /Z = YU2 , (7.4)
где Y = 1/Z − полная проводимость цепи.
То, что мгновенные значения мощности в некоторые промежутки времени принимают отрицательные значения, свидетельствует об обмене электроэнергией между источником питания и
приемником электроэнергии. Обмен количественно оценивается
реактивной мощностью Q = U
ная составляющая напряжения U
I. Так как в общем случае реактив-
p
= Usinϕ, то реактивная мощность
p
цепи
Q = UIsinφ. (7.5)
Реактивная мощность цепи может быть вычислена как
79
2
X
.22QPS +=
U
p
2
XIQ ===
BU
2
,
P
где В = 1/Х − реактивная проводимость цепи.
Если цепь включает элементы и с индуктивным, и с емкостным сопротивлениями, то ее реактивное сопротивление
X = X
− Хс , а
L
Q = (X
− XC) I2 = XLI2 − XCI2 = QL − QC .
L
Таким образом, реактивная мощность цепи равна разности реактивной индуктивной и реактивной емкостной мощностей.
Реактивная мощность положительна, если Q
тельна, если Q
> QL. Соотношение между полной, активной и ре-
c
> Qc и отрица-
L
активной мощностями можно получить, воспользовавшись формулами (7.2), (7.4) и (7.5):
2
Р
+ Q2 = (UI)2 (cos2 φ + sin2 φ) = (UI)2 = S2.
Следовательно, полная мощность равна корню квадратному из
суммы квадратов активной и реактивной мощностей. Кроме того,
P = S cosφ = UI cosφ = U
Q = S sinφ = UI sinφ = U
L. (7.6)
a
L. (7.7)
p
Рассматривая выражения (7.6) и (7.7) и треугольник напряжений, можно сделать вывод, что активная мощность определяется
произведением составляющих напряжения и тока, совпадающих по
фазе, а реактивная мощность − произведением составляющих
напряжения и тока, находящихся в квадратуре (сдвинутых по фазе
на угол π/2). Косинус угла сдвига фаз называют коэффициентом
мощности:
cosφ = P/(UI) = P/S
Он показывает, какая доля полной мощности составляет активную мощность или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии. Когда cosφ = 1, т. е. когда Z = R, ак-
тивная мощность равна полной мощности. Коэффициент мощности
− важный эксплуатационный параметр электроприемников.
Так как
I = Р/(Ucоsφ),
то, чем выше cоsφ, тем при меньшем значении тока в цепи может
80