Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Учебное пособие
.pdf
Уменьшение шага до значения
h уменьшает погрешность,
опт
но дальнейшее уменьшение шага приводит к возрастанию погрешности.
4.2. Задание для самостоятельной работы к главе 4
1. Запрограммировать приближенные вычисления первой произ-
водной функции
2
1, 10, 10
. В программе использовать 32-битное представление веще-
()fxvx
ственных чисел. Формула вычисления производной задается преподавателем. Выполнить вычисления с различным шагом: 10
Экспериментально подобрать оптимальный шаг, т. е. шаг, позволяющий
добиться наилучшей точности. Объяснить полученные результаты.
2. Для функции, заданной таблицей значений согласно варианту
задания в табл. 3.2, выполнить вручную (в любом доступном математическом программном обеспечении) расчеты коэффициентов кубического сплайна по формулам (3.3), (3.7), (3.9–3.11). Для рассчитанных
сплайнов построить графики.
3. Разработать программную реализацию построения
сплайна по формулам (3.3), (3.7), (3.9–3.11) для произвольной таблицы
значений функции. Сравнить результаты работы программы с графиками, построенными в п. 2. Рассчитать и построить графики первой
и второй производной полученного приближения функции. Для первой
производной использовать выражение (4.3). Непрерывность производ-
ных дополнительно подтвердит отсутствие ошибок в реализации
сплайна.
Для решения системы уравнений (3.11) использовать реализацию
метода прогонки
из соответствующего задания. Графики отобра-
жать как кусочно-линейную аппроксимацию с малым (~10
Точки исходной таблицы отобразить отдельно. Ограничений на
среду разработки не накладывается, однако рекомендуется использовать современные высокоуровневые возможности, позволяющие не
тратить время на программирование построения графиков (компонент
Chart в C# Windows Forms, библиотека QCustomPlot в Qt/C++, компонент Tchart в Embarcadero C++ Builder и т. п.).
Отчет должен содержать:
результаты, полученные в п. 1, с объяснением;
2
, где v – номер варианта, в точках 10–2, 10–1,
–1
, 10–2, ..., 10–8.
кубического
–2
) шагом.
51
исходную таблицу значений функции;
результаты и промежуточные данные расчетов вручную в сто-
ронних программных пакетах (систему уравнений, коэффициенты
сплайнов, графики);
тексты разработанных программ;
результаты, полученные с помощью разработанных программ
(графики сплайнов и производных с выделением точек таблицы).
52
f
f
f
5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
b
Пусть требуется найти значение ()
функция, непрерывная на интервале (a, b). В большинстве существу-
ющих методов численного интегрирования для повышения точности
исходный интервал (a, b) разбивается на n меньших интервалов
(),
xx
ii
, где 0, ,in;
1
ax x x b
. Интеграл при этом
01 n
вычисляется как сумма площадей «полосок», получаемых при таком
разбиении. Отличие методов состоит в способе аппроксимации ()
на интервале
(),
xx. В методах Ньютона – Котеса для аппрокси-
1
ii
мации используются полиномы различных степеней, к этой группе относятся методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
5.1. Метод прямоугольников
xdx, где ()fx – некоторая
a
x
Геометрически очевидно, что интеграл можно приближенно заменить площадью прямоугольника. Если площадь прямоугольников
определить как произведение значения подынтегральной функции и
()
hx x
величины
, называемой шагом интегрирования, то будет
1
ii
получено приближенное равенство
называемое
b
() () ()
a
методом левых прямоугольников. Иллюстрация работы
nn
11
xdx hf x h f x
ii
ii
00
, (5.1)
этого метода показана на рис. 5.1.
53
Рис. 5.1
f
x
x
x
f
R
x
R
x
Соотношение (5.1) можно интерпретировать как замену функции ()
x на каждом интервале 1(),
xx интерполяционным много-
ii
членом нулевой степени.
Для интервала от
Тейлора вблизи точки
() ()( )() ()...
fx fx x x f x f x
до ixh, используя разложение ()fx в ряд
i
, можно записать
i
xx
i
2!
2
,
iii i
()
тогда
xh
i
() ( )
fxdx xfx
x
i
xh xh
() ()
23
xx xx
ii
fx fx
232!
.
ii
() () ...
ii
xx
ii
() () ( )
xh f x h
ii
2
h
2
h
i
i
x
i
3
Это означает, что величина погрешности
2
(, )
xh есть величина порядка
ii
.
Mfx
1,
i
max ( )
(, )
xh
ii
h
, а точнее
2
на отдельном шаге
i
2
h
ii
M , где
1,
2
54
Общая погрешность метода R представляет собой сумму по всем
R
R
f
f
x
1
n
R
шагам
, для которой справедливо неравенство
i
0
i
22
n
1
hhh
MnM baM
i
11 1
222
0
()
, (5.2)
max ( )
Mfx
где
.
1
(, )
ab
Если вычислить площадь прямоугольников, как показано на
рис. 5.2, то метод следует назвать
методом правых прямоугольников.
Оценка погрешности при этом не меняется. Таким образом,
b
() ( )
xdx h f x
a
n
1
i
. (5.3)
i
Рис. 5.2
Метод прямоугольников можно существенно улучшить, если выбирать для аппроксимации значение ()
x
1
ii
ке
x
, в результате чего расчетная формула примет вид
x в середине интервала – точ-
2
b
fxdx hf
()
a
1
n
i
xx
0
ii
2
1
. (5.4)
55
Вычисления по формуле 5.4 называют методом средних прямо-
f
x
угольников
. Геометрическая интерпретация метода приведена на
рис. 5.3.
Рис. 5.3
При анализе погрешности можно заметить, что второй член разло-
жения ()
x в ряд Тейлора вблизи точки
xx
1
ii
xx
22
h
i
числении интеграла сократится:
h
xh
i
()() ()
xxfxdx fx
x
i
2
()
xx
2
i
x
i
при вы-
()()
xhx xx
fx
xhx xx
() 0
fx
ii
()
ii ii
22
22
22
22
hh
22
56
.
Вследствие этого оценка погрешности изменится в лучшую строну:
R
f
2
h
()
Mba
2
24
, (5.5)
где
max ( )
Mfx
.
2
ab
(, )
5.2. Метод трапеций
В методе трапеций аппроксимация ()fx осуществляется полиномом первой степени, как показано на рис. 5.4. Значение интеграла на
(),
каждом интервале
xx
ii
трапеции с основаниями, равными значениям функции на границах
интервала, и высотой, равной величине шага:
x
i
x
i
вычисляется как площадь прямоугольной
1
1
fxdx fx fx
() ( ) ( )
h
ii
2
.
1
Рис. 5.4
Значения функции на концах отрезка входят только в крайние трапеции, остальные учитываются в двух. Таким образом, приближенное
значение интеграла вычисляется по формуле
b
() ( ) 2 ( ) ( )
xdx f x f x f x
a
h
0
2
57
1
n
in
1
i
. (5.6)
Погрешность метода трапеций того же порядка относительно шага
R
x
x
x
x
интегрирования, как и у средних прямоугольников, но оценка выше,
чем у метода средних прямоугольников:
2
h
()
Mba
12
. (5.7)
2
5.3. Метод Симпсона
В методе Симпсона подынтегральная функция ()fx заменяется
интерполяционным полиномом второй степени
,
,
проходящей через три точки
i
1i
, как показано на рис. 5.5.
2i
Рис. 5.5
()Px
– параболой,
2
Выражение для 2()Px можно записать в форме Ньютона:
xx
() ( ) ( ) ( )
Px fx fx fx
21
xx xx
.
ii
2
Если обозначить
Pz fx fx fx
() () ( ) ()
21
zz h
2
iii
1
2
h
xz
, тогда получим
i
h
()2( ) ( )
fx fx fx
2
i
iii
h
()2( ) ( )
fx fx fx
ii i
z
h
ii i
58
12
12
() 3()4( ) ( )
f
fx fx fx fx
Интеграл по интервалу
ции в точках:
2() 3()4( ) ( )
hf x f x f x f x
h
3
z
iiii
.
iiii
(2 )
6() 9( ) 12( ) 3( )
2
h
2
z
fx fx fx
()2( ) ( )
ii i
2
h
2
(, )
xx
ii
x
2
i
() ()
P x dx P z dz
22
x
i
2
(2 )
h
4
h
3
h
()2( ) ( )
fx fx fx
2
6
h
fx fx fx fx
4() 8( ) 4( )
ii i
ii i i
fx fx fx
ii i
выражается через значения функ-
2
2
12
12
12
h
0
12
12
12
h
fx fx fx
() 4( ) ( )
ii i
3
12
.
С учетом полученного выражения общая формула примет вид
b
fxdx fx fx fx
( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) ...
a
h
3
2( ) 4( ) ( )
xfxfx
. (5.8)
nnn
012
21
На рис. 5.6 проиллюстрировано применение формулы (5.8) при
n = 4. При уменьшении h следует учитывать, что для корректной работы метода n может быть только четным.
59
R
M
f
Рис. 5.6
Метод Симпсона представляет собой метод второго порядка аппроксимирующего многочлена и при этом имеет четвертый порядок
точности относительно шага. Оценка погрешности определяется неравенством
4
где
max ( )
4
axb
()
IV
fx
.
h
180
()
Mba
4
, (5.9)
5.4. Методы более высоких порядков
При аппроксимации подынтегральной кривой многочленом k-й
степени требуется как минимум (k + 1) точка, а формула для вычисления значения интеграла при минимально возможном n = k будет иметь
следующий вид:
x
k
() ω ()
xdx ch f x
x
0
k
0
0
i
.
ii
Коэффициенты методов Ньютона – Котеса представлены в табл. 5.1.
При уменьшении изменений h следует учитывать, что n должно
быть кратно k.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]