Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Учебное пособие
.pdf
x
x
x
x
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Использование выражения (1.4) в качестве условия окончания допустимо, но не имеет преимуществ перед априорной оценкой количества шагов.
1.2. Метод простых итераций
Исходное уравнение () 0fx заменяют эквивалентным ()
Если на отрезке [
a, b] функция ()
непрерывна и () 1x
рационный процесс, построенный по формуле
с любой точностью при любом
из этого интервала.
0
()
, то ите-
x
, сходится
1
nn
x
.
Геометрическая интерпретация итерационного процесса представлена на рис. 1.3 и 1.4. Корнем исходного нелинейного уравнения явля-
11
ется абсцисса точки пересечения кривой ) ( yx
х
x
с прямой y
На рис. 1.3 показаны примеры сходящегося итерационного процесса,
на рис. 1.4 – расходящегося.
Рис. 1.3
.
Рис. 1.4
Скорость сходимости метода зависит от ()
[
a, b] выполняется условие ()xq
(1.2) с
C = q и p = 1. Если q < 1/2, то в качестве условия окончания
можно использовать условие (1.4), а при
ваться условием (1.3), приняв
, тогда справедливо неравенство
q > 1/2 необходимо пользо-
1
q
()
g
.
. Пусть на отрезке
q
Сказанное выше означает: скорость сходимости и сходимость вообще зависят от преобразования исходного уравнения в эквивалентное.
12
При наличии некоторой информации о поведении ()fx на отрезке
f
x
x
M
x
fx
f
x
[a, b] можно предложить универсальный способ преобразования, который гарантирует сходимость. Если на отрезке [a, b] функция ()
первая производная непрерывны и 0()mfx M
но принять ()
fx , где
1
[a, b] будет меняться в интервале от 0 до
, то за ()
. В этом случае ()
m
11
.Если производная
x и ее
мож-
на отрезке
M
()fx
отрицательна и (0)mfx M
нужно взять
1
.Обобщая, получим
m
вии знакопостоянства
()
, то для гарантии сходимости
1
fx
max ( )
[,]
ab
на отрезке [a, b].
при усло-
1.3. Метод Ньютона
Итерационная формула метода Ньютона наиболее очевидным образом выводится из уравнения касательной к графику функции, в точ-
() ( ) –()( )
yx f x f x x x
ке
,( )
xfx
11
nn
оно имеет вид
Следующее приближение вычисляется как абсцисса точки пересечения
касательной с осью Ox. Абсцисса определяется из приведенного выше
уравнения при ()0
yx
:
n
. (1.5)
xx
1
nn
()
fx
1
n
()
fx
1
n
111
nnn
.
На рис. 1.5 показана иллюстрация итерационного процесса, построенного по такой формуле.
Аналогичную расчетную формулу можно было получить, используя разложение ()
x в окрестности точки
()() ()( )
fx fx f x x x
fx
111
nnn
()
1
n
( ) ...
xx
n
2
13
в ряд Тейлора:
1n
2
1
(1.6)
x
x
x
f
M
M
Рис. 1.5
Заменив ()fx в уравнении первыми двумя членами разложения, получим уравнение
fx f x x x
111
nnn
. Новым приближением
() ()( )0
будем считать решение этого уравнения относительно x.
Очевидно, что итерационный процесс будет сходиться только при
соблюдении ряда условий. Во-первых, если корень локализован на от-
[, ]
резке [a, b] и соответственно
ab, то ()fx обязана быть непре-
0
рывной и непрерывно дифференцируемой на этом отрезке. Во-вторых,
*
0()fx
, следовательно,
*
– простой корень. Кроме того, сходи-
мость будет зависеть от выбора начального приближения. Пусть вторая производная также непрерывна, и обе производные не меняют знак
на отрезке [a, b], тогда за
ции совпадает со знаком второй производной:
С помощью разложения ()
следует взять точку, в которой знак функ-
0
()( 0)fx f x
00
.
x в ряд можно оценить скорость сходи-
мости метода в малой окрестности корня при соблюдении перечисленных выше условий. Можно показать, что для n ≥ 1 неравенство (1.2) бу-
дет выполняться с параметрами p = 2,
. Для этого вначале следует воспользоваться формулой
min ( )
mfx
1
axb
Cm , где
2
2
1
,
max ( )
2
axb
fx
14
конечных приращений Лагранжа
f
x
x
xx
x
x
M
x
*
,()
x
и, поскольку
n
Затем нужно подставить
() () 0()
fx f x x x
(x
fx M x x
111
nnnn
/2() ( )
. После чего следует объединить два нера-
nnn
21
2
*
()0fx
, дать оценку
в формулу (1.6) и, учитывая, что
n
согласно формуле (1.5), получить
венства в оценку погрешности на n-м шаге:
() () ()
xfx f xx
nn
**
,
nn
*
xfxm .
()/
1
M
*
. (1.7)
xx xx
nnn
2
m
2
1
2
1
Учитывая монотонный характер сходимости, можно записать
xxx
, что позволяет заменить
11nn n
на
*
x .
1n
*
xx
в формуле (1.7)
1nn
Согласно неравенству (1.7) в условии окончания (1.3) следует при-
2 ε
1
нять
Если
(ε)mg
xx x
0
*
xxx
. На практике обычно используют условие (1.4).
2
mm
**
11
;
MM
22
, следовательно, использование условия (1.4)
1nnn
, то для всех n ≥ 1 справедливо
оправданно.
Вычисление производной на каждом шаге может затруднить практическое использование метода Ньютона. Ниже приводятся его модификации, в которых используются приближенные значения производной.
1.4. Метод секущих
Значение производной в расчетной формуле метода Ньютона заме-
()()
fx fx
12
nn
няют приближением
следующий вид:
()
fx
n
1
xx
nn
1
xx
nn
12
()()
xxfx
12 1
nn n
fx fx
()()
nn
12
, тогда она принимает
. В геометрическом
15
смысле
x
x
x
проходящей через точки
представляет собой точку пересечения секущей – прямой,
n
xfx
(),
11
nn
и
xfx
(),
22
nn
с осью Ox,
как показано на рис. 1.6. Для обеспечения сходимости итерационного
процесса к начальному приближению предъявляются такие же требования, как и в методе Ньютона. Скорость сходимости в окрестности
корня будет ниже квадратичной, но выше линейной.
Рис. 1.6
Для вычисления очередного приближения требуются два предыдущих. Если начальное приближение
отрезка, содержащего корень, то для определения
выбрано как одна из границ
0
можно сделать
1
шаг внутрь отрезка на величину требуемой точности вычислений, как
показано на рис. 1.7.
Рис. 1.7
Уточнение корня можно прекратить, когда выполнится условие (1.4).
16
1.5. Метод хорд
f
x
f
f
f
f
M
M
xa
x
x
Приближенное значение производной для расчетной формулы метода Ньютона можно определить следующим образом:
() ( )
bfx
()
fx
n
bx
сти метода Ньютона,
()
fx
b и
0
считываться как
xx
или
1
nn
зависит от поведения функции ()
неподвижной точки: чем она ближе к корню, тем выше скорость. По-
следнее утверждение доказывается тем, что близость неподвижной
точки к корню повышает точность аппроксимации производной.
На рис. 1.8 видно, что расстояние между соседними приближениями не характеризует расстояние до корня. Это происходит потому, что
в данном конкретном случае скорость сходимости оказалась слишком
низкой. Если ()
рость сходимости можно неравенством (1.2) с параметрами p = 1,
m
11
C
, где
m
1
ства сперва следует получить оценку погрешности и по двум соседним
приближениям, а затем свести ее к неравенству (1.2) в силу монотонности последовательности приближений, так же как при обсуждении
метода Ньютона.
Пусть
() (ξ)( )
Лагранжа
()( )
fbx
fx f x x
n
n
при условии, что выполнены условия сходимо-
n
() ()
xfa
n
()()
xafx
nn
()()
xa
n
xx
nn
11
xfa
1
n
(0() )fbfb
и
. Следующее приближение будет рас-
()()
bx fx
1
() ( )
fb f x
соответственно. Скорость сходимости
.xa Если (0() )fafa
0
11
nn
(1.8)
1
n
x на отрезке [a, b] и от положения
x сохраняет знак на отрезке [a, b], то оценить ско-
max ( )
axb
fx
min ( )
mfx
. Для доказатель-
1
axb
, тогда по формуле конечных приращений
*
b
. Если заменить 1()
1
n
,
*
,ξ ()
x
, а 1() ( )
1
n
fb f x
fx в числителе
n
,
1
0()fx
,
0
11
nn
,
1
n
(),
, то
n
17
дроби (1.8) согласно первому соотношению и использовать ()f
x
x
M
f
() ( )
fb f x
сто
*
()
bx
()
f
()
f
(ξ)
и получим
m, то можно записать:
11
1
n
, то получится
n
1
xx x
xx xx
11
nn n
() (ξ)
*
ff
nnn
xx xx
nn n
. Отнимем от обеих частей уравнения
(ξ)
f
()
*
xx xx
.
nnn
, а поскольку () (ξ)ff
1
Mm
11
m
1
(ξ)
f
11
f
()
*
()
()
1
Рис. 1.8
вме-
или
n
Грубая интерпретация полученной оценки такова: чем слабее меняется ()
ски значимое следствие состоит в том, что если
x на отрезке [a, b], тем выше скорость сходимости. Практиче-
2 Mm, то для оста-
11
новки итерационного процесса достаточно выполнения условия (1.4).
1.6. Обусловленность задачи уточнения корня
и устойчивость методов
Итерационные методы устойчивы к ошибке, возникающей на некоторой итерации. Можно считать такую ошибку ухудшением начального приближения. Если оно не выходит за пределы области сходимости,
18
то внесенная ошибка будет затухать. Теоретически вычисления схо-
f
f
f
f
f
f
x
f
f
дятся с любой точностью, но на практике это не так.
Значения функции ()
x вычисляются на ЭВМ с погрешностью,
связанной как с округлением, так и приближенными методами вычисления элементарных функций. Если функция непрерывна, то найдется
некоторая малая окрестность корня, в которой значение ()
меньше границы погрешности вычисления ()
можно назвать
интервалом неопределенности корня, поскольку не-
x . Такую окрестность
x окажется
возможно точно определить, какое именно значение x из интервала
обращает ()
зависеть от скорости изменения ()
ным числом обусловленности можно считать
x в ноль. Величина интервала неопределенности будет
x в окрестности корня. Абсолют-
1
.
*
()
x
После того как очередное приближение попало в интервал неопределенности корня, следует прекратить вычисления и считать, что получен максимально точный в данных условиях результат. Оценивать
реальную величину интервала неопределенности на практике затруднительно, но попытаться определить попадание в него возможно. Для
этого нужно сравнивать расстояния между соседними приближениями:
выполнение
неравенства
вать о попадании
n
xx x x
может свидетельство-
112nn n n
в интервал неопределенности.
1.7. Задание для самостоятельной работы к главе 1
1. Для каждого корня уравнения () 0fx задать отрезок, содержа-
щий корень, с помощью построения графика функции ()
доступном математическом программном пакете. Границами отрезка
выбрать ближайшие к корню целые числа. При необходимости скорректировать значения границ так, чтобы выполнялись условия сходимости метода Ньютона; поведение производных проанализировать
по графикам. В том же или подобном программном средстве вычислить значения корней максимально точно. Варианты ()
в таблице.
19
x в любом
x приведены
()fx
x
x
f
x
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
x
25 10
42
15 12 10xxx
42
224 8xxx
x
exx
2
32
2
5sin() 1
43
45ln()10xx x
2
5cos() 1
20sin( ) 5xx
74ln()7xx x
xxx
xxx
2
x
2
75xx x
43
2. Выполнить уточнение корней тремя методами:
методом Ньютона;
1)
методом простых итераций;
2)
одним из методов, заданных преподавателем (половинного деле-
3)
ния, методом хорд или секущих).
Для выполнения этого задания следует реализовать итерационный
процесс соответствующих методов с помощью доступных систем программирования. Для работы с дробными числами использовать
32-битное представление. При разработке алгоритмов стараться по
возможности
числять ()
значение). Для метода Ньютона и его модификаций вычисления вести
до выполнения условия (1.4), задать точность 10
минимизировать вычислительные затраты (не вы-
x повторно, если можно использовать ранее вычисленное
–3
. В методах, исполь-
зующих в качестве начального приближения одно значение, попытаться (вопреки теоретическим представлениям) использовать как
0
различные концы отрезков. Вывести промежуточные результаты (приближенные значения на каждой итерации), объяснить полученные
результаты.
3. Для каждого метода и каждого корня экспериментально подобрать минимальное значение заданной погрешности, при которой вычисления сходятся к конечному значению (не возникает переполнения)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]